《2013-2014学年高一数学同步课件函数模型及其应用几类不同增长的函数模型(新人教A版必修1)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013-2014学年高一数学同步课件函数模型及其应用几类不同增长的函数模型(新人教A版必修1)（38页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 32 函数模型及其应用 32.1 几类不同增长的函数 模型 【课标要求】 1掌握常见增长函数的定义、图象、性 质，并体会其增长快慢；理解直线上升， 对数增长，指数爆炸的含义 2会分析具体的实际问题，建模解决实 际问题 【核心扫描】 1利用函数模型解决实际问题(重点) 2三种函数模型性质的比较 3在实际应用中选择哪种函数模型(难 点、易混点) 新知导学 1三种函数模型的性质函数 性质 yax(a 1)y logax (a1)yxn (n0)在(0， ) 上的增减 性单调递 增单调递 增单调递 增图象的变 化随x增大逐 渐变陡随x增 大逐 渐变 缓随n值 而不 同 2.三种函数的增长速度比较 (
2、1)在区间(0，)上，函数yax(a1) ，ylogax(a1)和yxn(n0)都是 ，但 不同，且不在同一个“档次” 上 (2)在区间(0，)上随着x的增大，y ax(a1)增长速度越来越快，会超过并远 远大于yxn(n0)的增长速度，而y logax(a1)的增长速度则会 (3)存在一个x0，使得当xx0时，有 .增函数增长长速度 越来越慢logaxxnax 温馨提示：能用指数型函数f(x)abxc(a ，b，c为常数，a0，b1)表达的函数 模型，其增长特点是随着自变量x的增大 ，函数值增大的速度越来越快，常称之为“ 指数爆炸” 互动探究 探究点1 函数yx2与y2x在(4，)上 哪一个
3、增长得更快些？ 提示 y2x的增长速度远远快于yx2的 增长速度 探究点2 在区间(0，)上，当a1，n 0时，是否总有logaxxnax成立？ 提示 不是，但总存在x0，使得当a1， n0，xx0时，logaxxnax成立 探究点3 当实际问题 提供的两个变量的数 量关系有怎样的增长规 律时，我们选择 一次函数模型，对数函数模型，指数函数 模型？ 提示 均匀增长，增量恒定时，一般选择 一次函数模型，缓慢增长，增量逐渐变小 时，一般选择对数函数模型；急剧增长， 增量快速增大时，选择指数函数模型. 类型一 直线型与指数型函数的应用 【例1】 甲、乙两城市现有人口总数为 100万人，甲城市人口的年
4、自然增长率为 1.2%，乙城市每年增长人口1.3万试解 答下面的问题 ： (1)写出两城市的人口总数y(万人)与年份x( 年)的函数关系式； (2)计算10年、20年、30年后两城市的人 口总数(精确到0.1万人)； (3)对两城市人口增长情况作出分析 参考数据：(11.2%)101.127，(1 1.2%)201.269，(11.2%)301.430. 思路探索 分别根据增长率和增长量， 建立函数模型，进行数据运算，作出分析 判断 解 (1)1年后甲城市人口总数为： y甲1001001.2%100(11.2%)； 2年后甲城市人口总数为： y甲100(11.2%)100(1 1.2%)1.2
5、% 100(11.2%)2； 3年后甲城市人口总数为：y甲100(1 1.2%)3； x年后甲城市人口总数y甲100(1 1.2%)x，乙城市人口总数y乙1001.3x. (2)10年、20年、30年后甲、乙两城市人 口总数(单位：万人)如下表：10年 后20年 后30年 后 甲 112.7 126.9 143.0 乙113126139 (3)甲、乙两城市人口都是逐年增长，而甲 城市人口增长的速度快些从中可以体会 到，不同的函数增长模型，增长变 化存在 很大差异 规律方法 1.本题涉及到平均增长率的问 题，求解可用指数型函数模型表示，通常 可以表示为yN(1p)x(其中N为原来的 基础数，p为
6、增长率，x为时间)的形式 2在实际中，有关人口增长、银行利率 、细胞分裂等增长问题，都常用到指数型 函数模型 【活学活用1】 某医药研究所开发一种新 药，如果成年人按规定的剂量服用，据监 测，服药后每毫升血液中的含药量y(毫克) 与时间 t(小时)之间近似满足如图所示的 曲线 (1)写出服药后y与t之间的函数关系式y f(t)； (2)进一步测定：每毫升血液中含药量不 少 于0.25毫克时，药物对治疗疾病有效求 服 药一次治疗疾病的有效时间 规律方法 解决此类问题首先要明确各 个量所代表的实际意义，然后利用对数运 算性质或换底公式求解 【活学活用2】 溶液酸碱度是通过pH刻画 的pH的计算公式
7、为pHlgH，其中 H表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩 尔/升 (1)根据对数函数性质及上述pH的计算公 式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓 度之间的变化关系； (2)已知纯净 水中氢离子的浓度为H 107摩尔/升，计算纯净 水的pH. 解 (1)根据对数的运算性质， 有pHlgHlgH1. 在(0，)上，随着H的增大，H1 减小， 从而lg H1减小，即pH减小 所以，随着H的增大，pH减小 (2)当H107时， pHlg Hlg1077， 所以纯净 水的pH是7，酸碱度为中性 类型三 几种函数模型的比较 【例3】 某汽车制造商在2013年初公告： 随着金融危机的解除，公司计划2013年生
8、 产目标定为43万辆已知该公司近三年 的汽车生产量如下表所示：年 份201020112012产 量8(万) 18(万) 30(万) 如果我们分别将2010,2011,2012,2013定 义为 第一、二、三、四年现在你有两个 函数模型：二次函数模型f(x)ax2bx c(a0)，指数函数模型g(x)abxc(a0 ，b0，b1)，哪个模型能更好地反映该 公司年销量y与年份x的关系？ 思路探索 把点(1,8)，(2,18)，(3,30)代 入两个模型求相应曲线验证 x4时，y 值与43的误差得出结论 规律方法 (1)此类问题求解的关键是首 先利用待定系数法求出相关函数模型，也 就是借助数据信息，
9、得到相关方程，进而 求出待定参数 (2)理解“模型能更好反映该公司年销量y与 年份x的关系”的含义，在此基础上利用既 定值来检验模型的优劣 【活学活用3】 函数f(x)lg x，g(x)0.3x 1的图象如图 (1)指出C1，C2分别对应图 中哪一个函数 ； (2)比较两函数的增长差异(以两图象交 点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行 比较) 解 (1)由函数图象特征及变化趋势 ，知 曲线C1对应 的函数为g(x)0.3x1， 曲线C2对应 的函数为f(x)lg x. (2)当x(0，x1)时，g(x)f(x)； 当x(x1，x2)时，g(x)f(x)； 当x(x2，)时，g(x)f(x
10、) 函数g(x)0.3x1呈直线增长，函数f(x) 随着x的逐渐增大，其函数值变 化的越来 越慢，为“蜗牛式”增长 方法技巧 运用图象特征确定增长型函数 模型 几种常见的增长型函数增长变 化趋 势不同，呈直线上升，指数爆炸，“蜗牛 式”增长，反映在图象上，通常是观察图 象上升得快慢，即随着自变量的增大，图 象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平 缓的函数是对数函数 【示例】 函数f(x)2x和g(x)x3的图象如 图 所示设两函数的图象交于点A(x1，y1)， B(x2，y2)，且x1x2. (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数 ； (2)结合函数图象，判断f(8)，g(8)，f(2
11、012)， g(2 012)的大小 思路分析 (1)随着自变量x的增大，图象 位于上方的函数是指数函数y2x，另一个 函数就是幂函数yx3.(2)利用零点存在性 定理找出交点所在的区间，然后结合图象 比较大小 解 (1)C1对应的函数为g(x)x3， 曲线C2对应 的函数为f(x)2x. (2)g(1)1，f(1)2，g(2)8，f(2)4 ， f(9)512，g(9)729，f(10)1 024， g(10)1 000. f(1)g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(9)， f(10)g(10) 因此1x12,9x210， 从而x18x22 012. 由图象知，当x1xx2时，f(x)g(
12、x)， 则f(8)g(8)， 当xx2时，f(x)g(x)，且g(x)在(0，) 上是增函数，故f(2 012)g(2 012)g(8) f(8) 题后反思 1.(1)要熟记基本函数图象的特 点，并把握好指数函数、对数函数、幂函 数图象的增长特点 (2)结合图象分析图中曲线的特点与区别， 联想对应的函数解析式 2解答题目要步骤完整，需要下总结性 结论的，最后一定要点明，以规范步骤 课堂达标 1当x越来越大时，下列函数中，增长速 度最快的应该 是 ( ) Ay2x Bylog2x Cyx2 Dy2x 解析 指数函数yax，在a1时呈爆 炸式增长，增长速度最快 答案 D 2(2013济南高一检测)
13、某林区的森林蓄 积量每年比上一年平均增长10.4%，要增 长到原来的x倍，需经过 y年，则函数y f(x)的图象大致是 ( ) 解析 设该林区的森林原有蓄积量为a ， 由题意，axa(10.104)y，故y log1.104x(x1)， yf(x)的图象大致为D中图象 答案 D 3四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化 的数据如下表： x051015202530 y151305051 13 02 0053 13 04 505y25 94.4 781 78 5.233 73 36.73 1 051.2 1072.28 1 08 y35305580105130155 y45 2.31 0 71
14、.42 9 51.14 0 71.046 11.01 5 11.005关于x呈指数型函数变变化的变变量是_ 解析 指数型函数的增长呈“爆炸式”增长 ，由表中数据，呈指数型变化的变量为y2. 答案 y2 5有一种树木栽植五年后可成材在栽 植后五年内，年增加20%，如果不砍伐， 从第六年到第十年，年增长10%，现有两 种砍伐方案： 甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年 后砍伐 乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五 年再砍伐一次 请计 算后回答：十年内哪一个方案可以 得到较多的木材？ 解 设树林最初栽植量为a，甲方案在10 年后树木产量为 y1a(120%)5(110%)5 a(1.21.1)54a. 乙方案在10年后树木产量为 y22a(120%)52a1.254.98a. y1y24a4.98a0， 因此，乙方案能获得更多的木材(不考虑 最初的树苗成本，只按成材的树木计算) 课堂小结 三种函数模型的选取 (1)当增长速度变化很快时，常常选用指 数函数模型 (2)当要求不断增长，但又不会增长过 快 ，也
