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1、第二章 数 列第一课时 2.1 数列的概念与简单表示 问题提出 1.到目前为止，第29届北京奥运会,中国 ，美国，英国，澳大利亚，韩国，所 获得的金牌数分别是多少？中国队所获 得的金牌、银牌、铜牌数分别是多少？ 2.如果在某次数学考试中，甲、乙、丙 、丁的成绩依次是90，85，95，78. 在 另一次数学考试中，甲、乙、丙、丁的 成绩依次是85，95，90，78.那么这两次 考试的结果一样吗？3.在大自然中，不同类型的花卉，其花 瓣数量也不全相同，如百合花3瓣，梅花 5瓣，飞燕草8瓣，万寿菊13瓣等，你能 看出这几个数字呈现了什么数学规律吗 ？4.生活离不开数字，在特定背景下研究 数字的排列或
2、变化规律，也就成为一个 数学问题，我们将对此作些了解和学习.知识探究（一）：数列的基本概念 思考1：从1984年洛杉矶奥运会到2008年 北京奥运会，中国体育代表团每届获得 的金牌数，按先后次序排成怎样的一列 数？思考2：在某次庆典活动中，举办方为了 加大保洁力度，在1km长的路段上从起点 开始，每隔10m放置一个垃圾桶.那么由 近到远各垃圾桶与起点的距离排成怎样 的一列数？思考3：某种放射性物质不断变化为其他 物质，每经过一年剩留的质量约是原来 的84%，设这种物质最初的质量为1，那 么该物质各年开始时的剩留量依次排成 怎样的一列数？思考4：传说古希腊毕达哥拉斯学派的数 学家经常在沙滩上研究
3、数学问题，他们 在沙滩上画点或用小石子来表示数字.下 图中各三角形分别表示哪些数？这些数 有什么排列规律吗？思考5：下图中各正方形分别表示哪些数 ？这些数与相应正方形的序号有什么关 系？思考6：在上述问题中，若抛开具体背景 抽象数字特征，所得到的每一列数都称 为数列，那么数列应如何定义？按照一定顺序排列着的一列数称为数列思考7：将相同的一组数按不同顺序排列 时，所得到的数列是否为同一个数列？ 思考8：由数字1，2，3，4一共可以组成 多少个不同的数列？知识探究（二）：数列的相关概念 思考1：数列中的每一个数叫做这个数列 的项.数列中的每一项都和它的序号有关 ，排在第一位的数称为这个数列的第1项
4、 （通常也叫做首项），排在第二位的数 称为这个数列的第2项，排在第n位 的数称为这个数列的第n项.如果用ak表 示数列的第k项，那么数列一般形式可以 怎样表示？ 简记为an 思考3：对于不同的数列，其项数有多有 少，根据项数多少的不同，数列可分为 哪几种类型？分别叫什么名称？项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列. 思考4：数列中各项的大小是可以变化的 ，在一个数列中，各项的数可以重复吗 ？思考5：根据数列中各项大小的变化规律 ，数列又可分为哪几种类型？分别叫什 么名称？ 递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前 一项的数列；递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前 一项的数列
5、；摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一 项，有些项小于它的前一项的数列；常数列：各项都相等的数列.思考6：如何用数学式子表示递增数列、 递减数列和常数列？递增数列： 递减数列： 常数列： 思考7：由数组成的集合称为数集，那么 数列与数集有什么区别？思考8：将所有正奇数按从小到大的顺序 组成数列：1，3，5，7，. 这个数列 的第n项是什么？思考9：我们把an=2n1称为数列：1，3 ，5，7，的通项公式，一般地，数列 的通项公式是什么概念？如果数列的第n项与序号n之间的关系可 以用一个式子来表示，那么这个公式叫 做这个数列的通项公式，即用序号n表示 第n项an的一个代数式.思考10：对任意
6、给定的一个数列都能写 出其通项公式吗？同一个数列的通项公 式的外在形式是否唯一？理论迁移例1 判断下面的数列哪些是递增数列 、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）全体自然数构成数列： 0 ，1，2，3，.（2）19962002年某市普通高中生人数 （单位：万人）构成数列： 82，93，105，119，129，130，132.（3）无穷多个3构成数列： 3，3，3，3，.（4）目前通用的人民币面额按从大到小 的顺序构成数列（单位：元）： 100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2 ，0.1，0.05，0.02，0.01.（5）1的1次幂，2次幂，3次幂，4次 幂构成数列： 1，1，1，
7、1，.（6） 的精确到1，0.1，0.01，0.001 ，的不足近似值与过剩近似值分别 构成数列：1，1.4，1.41，1.414，；2，1.5，1.42，1.415，.例2 写出下面数列的一个通项公式， 使它的前4项分别是下列各数. （1）1， ， ， ,； （2）2，0，2，0，.（3）3，5，7，9，； （4）2，4，8，16，.例3 根据下面数列an的通项公式 ，写出其前5项：(1) ; (2) .例4 已知数列an的通项公式为 ，试判断 和 是不是它的项？如果是，是第几项？小结作业1.数列源于记数，它强调数的排列顺序 ，两个数列相同当且仅当组成数列的各 数相同，且排列顺序一致.2.数
8、列的类型是根据不同的分类标准来 划分的，同一类型的数列都具有某种共 同性质，其中递增数列和递减数列统称 为单调数列.3.数列由其通项公式所确定，由数列的 前几项写通项公式，就是找出数列的各 项随项数变化的内在规律，在数学上是 一种不完全归纳法.对于一个给定的数列 ，其通项公式的外在形式可能不唯一， 也可能用初等方法不能写出其通项公式.作业：P31练习：4. P33习题2.1A组：1，2，3. 第二章 数 列第二课时 2.1 数列的概念与简单表示 问题提出1.数列的定义是什么？按照一定顺序排列着的一列数称为数列2.有穷数列、无穷数列、递增数列、递 减数列、摆动数列、常数列分别有什么 含义？3.什
9、么叫数列的通项公式？如何理解一 个数列与其通项公式的对应关系？如果数列的第n项与序号n之间的关系可 以用一个式子来表示，那么这个公式叫 做这个数列的通项公式，即用序号n表示 第n项an的一个代数式.4.数列的通项公式是表示数列的一种方 法，但不是唯一方法，对此，我们将作 进一步探究.知识探究（一）：数列与函数的关系 思考1：数列中的项与项的序号是一种对 应关系？这种对应关系是函数吗？思考2：数列是一种特殊的函数，数列的 通项公式相当于函数的解析式，数列的 各项就是当自变量从小到大依次取值时 所对应的一列函数值，那么，这种函数 的定义域是什么？ 正整数集N*或其有限子集 1，2，3，n思考3：函
10、数 与 ，当x依 次取1，2，3，时，其函数值构成的数 列各有什么特点？ 思考4：函数有哪几种表示法？相应地 数列有哪几种表示法？通项公式法、列表法、图象法.思考5：数列的图象有什么特点？位于y轴右侧一群孤立的点（离散点）. 思考6：数列 ， ， ， 和数列 , , , , , ,用通项公式法分别怎样表示？知识探究（二）：数列的递推公式 思考1：有5个猴子共同分享一堆苹果， 它们先后来到苹果前，第一个猴子将所 有苹果平均分成5份，还剩1个，丢掉， 自己拿走其中1份；第二个猴子又将余下 的苹果平均分成5份，还剩1个，丢掉， 自己拿走其中1份；依次类推.那么第n 个猴子与第n1（n2）个猴子所得的
11、 苹果数应满足什么关系？思考2：如果数列an满足，那么数列an是否确定？思考3：上述给出数列的方法叫做递推法 ，其中 称为递推公式， 一般地，数列的递推公式是什么概念？数列的项与项之间的 关系式称为递推公式思考4：递推法表示数列需要哪些要素？初始项和递推公式 思考5：数列1，1，2，3，5，8，13，21 ，34，55，89，称为斐波那契数列 ，该数列的递推公式是什么？用递推法 如何表示这个数列？ 思考5： 称为数列 an的前n项和，记作Sn，那么Sn1表示 什么？an，Sn，Sn1三者之间有什么关系 ？例1下图中的三角形称为谢宾斯基三 角形，在下图四个三角形中，着色三角 形的个数依次构成一个
12、数列的前4项， 写出这个数列的一个通项公式，并在直 角坐标系中画出它的图象.理论迁移例2 设数列an满足 ，写出这个数列的前5项.例3 已知数列an满足 求这个数列的通项公式.例4 已知数列an满足,求这个数列的通项公式.1.数列是一种特殊的函数，其特殊性主 要体现在函数的自变量只能依次取正整 数.小结作业2.表示数列的方法有通项公式法、列表 法、图像法、递推法四种，其中通项公 式法和递推法是最常用的方法，并且二 者可以相互转化.3.数列的递推公式是反映数列相邻几项 的关系式，根据数列的递推公式和初始 项求数列的通项公式，是数列问题的一 个重要题型，它有许多方法和技巧，需 不断总结.作业：P33习题2.1A组：4，5，6.
