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1、第1页 *选修 不等式选讲第一讲 不等关系与基本不等式第2页 *教材知识整合回归教材1.含有绝对值不等式(1)定理:对任意实数a和b,有|a+b|a|+|b|,其中等号成立的条件为ab0.说明:定理中的b以-b代替,则有|a-b|a|+|b|.其中等号成立的条件为ab0.对任意实数a和b,有|a|-|b|ab|a|+|b|.第3页 *(2)绝对值不等式的解法解含有绝对值的不等式,关键在于利用绝对值的意义,设法去掉绝对值符号,把它转化为一个或几个普通不等式或不等式组,常用的方法有定义法平方法公式法等.第4页 *2.平均值不等式定理1:对任意实数a,b,有a2+b22ab(当且仅当a=b时取“=”
2、号).定理2:对任意两个正数a,b,有 sqrtab(当且仅当a=b时取“=”号),即两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值.第5页 *定理3:对任意三个正数a,b,c,有a3+b3+c33abc(当且仅当a=b=c时取“=”号).定理4:对任意三个正数a,b,c有 (当且仅当a=b=c时取“=”号),即三个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值.第6页 *基础自测第7页 *1.(2010陕西)不等式|2x-1|k恒成立,则实数k的取值范围是_.第16页 *解析:设f(x)=|x+2|+|x+1|,则如图,显然函数f(x)在(-,-2)上单调递减,在(-1,+)上单调递增,在-2,-1上为
3、常数1,所以函数f(x)的最小值为1.因为不等式|x+2|+|x+1|k恒成立,所以k5;当-3x2时,g(x)=5;当x2时,g(x)5.综上可得,g(x)的最小值为5.从而,若f(x)+f(x+5)m即g(x)m对一切实数x恒成立,则m的取值范围为(-,5.第20页 *解法二:(1)同解法一.(2)当a=2时,f(x)=|x-2|.设g(x)=f(x)+f(x+5).由|x-2|+|x+3|(x-2)-(x+3)|=5(当且仅当-3x2时等号成立)得,g(x)的最小值为5.从而,若f(x)+f(x+5)m即g(x)m对一切实数x恒成立,则m的取值范围为(-,5.变式2:对于任意实数a(a0
4、)和b,不等式|a+b|+|a-b|a|(|x-1|+|x-2|)恒成立,求实数x的取值范围.第21页 *第22页 *题型三 基本不等式的证明第23页 *第24页 *第25页 *第26页 *点评不等式的证明常用方法有:比较法分析法与综合法,在解决问题时注意结合平均值不等式来证明. 第27页 *第28页 *第29页 *解题方法拾遗第30页 *第31页 *点评利用平均值不等式可以求最值问题,但要注意不同的重要不等式的变式形式,求得的值域范围是不同的,我们在选择重要不等式时要恰当的放缩,并要注意判断“等号”是否成立.第32页 *考向精测1.若不等式|x+1|+|x-3| 对任意的实数x恒成立,则实数
5、a的取值范围是_.解析:因为|x+1|+|x-3|4,所以由题意可得 4恒成立,当a0时,由基本不等式可知 4,所以只有a=2时成立,所以实数a的取值范围为aR|a0.x-2.第34页 *当-1x2时,原不等式可化为(x+1)-(x-2)x2+1,解得当x2时,原不等式可化为(x+1)+(x-2)x2+1,解得xR.x2.综上所述,原不等式的解集为(-,-2)( ,+).第35页 *教师备课资源第36页 *第37页 *第38页 *答案:B答案:B第39页 *2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为_.解析:解法一:|x-1|+|x+2|代表点x到点-2与1的距离之和,当在点-2与点1之间时,其距离之和最小,最小值为3.解法二:由绝对值不等式的性质知|x-1|+|x+2|x-1-x-2|=3.当x-1与x+2异号时,即-2x1等号成立.函数f(x)的最小值是3.第40页 *第41页 *3.已知不等式|x+1|+|x-2|m的解集是R.(1)求实数m的取值范围;(2)在(1)的条件下,当实数m取得最大值时,试判断 是否成立?并证明你的结论.第42页 *解:(1)由绝对值不等式性质知:|x+1|+|x-2|x+1+2-x|=3对xR恒成立,故|x+1|+|x-2|m的解集为R,只须m3即可.m的取值范围是(-,3.第43页 *
