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1、 线性控制系统 Linear Control Systems张国山天津大学电气与自动化工程学院 第2章：信号与系统 Chapter 2: Signals and Sytemsl2.1 Introductionl信号的表示与分类(representation and classification)l信号强度的测量(strength measure)l信号的范数和性质(norms and properties)l信号空间(signal space)2.2 信号与范数 Signals and their Normsl信号可以定义为向量空间的一个点(point) 。l某性质P，定义l Sx: PlS为
2、满足性质P的信号x的集合。l信号的能量(energy content)：限制能量的 信号集：信号空间(signal spaces)l一些基本概念：l测度为零的集合S(a subset S of measure zero)l可测函数(measurable function)l“几乎处处”(almost everywhere)l勒贝格可测函数(Lebesgue measurable function)l勒贝格积分(Lebesgue integrals)l黎曼积分(Rieman integrals)L2与L空间lL2空间：l两个不同的信号空间：l 与l赋范空间(normed space)l信号的平方
3、可以理解成功率(power)，信 号平方的积分可以理解成能量(energy)。由内积诱导的范数(norms induced by inner products)l内积l由内积诱导的范数l或lCauchy-Schwarz 不等式(inequality):信号的正交(orthogonal)l信号的正交：两个信号的内积等于零：l 与l(f is orthogonal to g.)l子空间的正交与直和：频域信号 Signals in the Frequency Domainl傅氏变换(Fourier transform):l2范数：lL2空间的内积l时频域之间的关系：l 和哈代空间Hardy Spac
4、eslG.H.Hardy 1877-1947l哈代空间是指在开右半平面解析和有界 的函数集，即lH2 是哈代空间(H2 space):时频域的同构(isomorphism) l 与 分别同构(isomorphic)于l 与 (Paley-Wiener Theorem)l同构：元素一一对应l 运算关系对应L信号和有限能量信号 L Signals and Bounded Power Signalsl控制中广泛使用的信号：L2和Ll设 是m维向量，则l less sup=essential supremum l除了测度为0的集合以外的最大值(上确界) 2.3 系统与范数 Systems and th
5、eir Normsl信号通过一个装置实现从输入到输出传递，因 此可以看成从输入空间到输出空间的一个映射 。l l系统可以按不同方式分类：l因果的(causal)与非因果的(non-causal)l时变的(time-varying)与时不变的(time invariant)l线性的(linear)与非线性的(nonlinear)线性系统的特征l线性系统信号传输的时频关系为l(卷积 convolution integral)lG(s)被称为系统的传递矩阵l2.3.1 传递矩阵的性质 (略)2.3.2 无穷范数和2范数 -Norms and 2-NormslL空间定义为lL范数的定义为lL范数与L2
6、范数之关系l满足矩阵范数不等式传递矩阵的H空间H space of transfer matriceslH空间定义为lRL空间：没有极点在虚轴上的矩阵空间lRH空间：没有极点在闭右半平面的矩阵空间系统的2-范数 2-norm of a systeml系统(矩阵传递函数)的2-范数：l矩阵2-范数是向量2-范数的更一般形式2.4 H2范数的计算 Computation of H2 Norml设G(s)是稳定的，严格真的有理传递函数，且 (A, B, C)为其一个实现，A稳定，则在零初始 条件下，有l则传递函数及其拉氏逆变换为l 帕斯瓦定理 Parsevals Theoreml帕斯瓦定理l得2-范
7、数l这里，l是能控性格拉姆矩阵(controllability gramian).l或P可以由Lyapunov方程解出l则可计算2-范数l同理可得l同理可得：lQ为对称阵(observability gramian)且满足2.5 H范数的计算 Computation of H Norml从H范数的定义l可以计算H范数，但过于复杂。l这里 表示矩阵G的最大奇异值 (largest singular value)l考虑矩阵 的值“小(small)”，指其最大 奇异值小，反之，考虑矩阵 的值“大 (large)”，指其最小奇异值大。一个算法A algorithml设 且 l 取l 或记lH称为哈密尔
8、顿矩阵(Hamiltonian matrix).l则H矩阵在虚轴上没有特征值.l算法：取 ，计算H矩阵特征值，如果有虚轴 上的特征值，则增大 ，否则，减小 .2.6 H范数与有关的代数关系 H Norm and Associated Algebraic Relationshipl定理2.1 下面条件是等价的：l(a) l(b)l没有虚轴上的特征值. l(c) l(d) 关于哈密尔顿矩阵 On Hamiltonian matrixl涉及Riccati方程解及能稳性，内容较多 ，从略。 2.7 全通系统 All Pass Systemsl一些概念：l全通(all pass)系统，带通(band p
9、ass)系统，低通 (low pass)系统，高通(high pass)系统.lG称为全通的，如果l对于全通系统，可推得l如果S1与S2同维数，则全通系统状态空间描述l定理2.2 设l 是能检测的， 对称且满足Lyapunov 方程l则下面各式成立：l(a) 当且仅当A是稳定的；l(b) 暗含 ； l(c) ， 是能控的，且 l 暗含 。 2.8 伴随算子 The Adjoint Operatorl定义：l性质：2.9 逆系统 Inverse Systemsl系统l的逆系统 l如果两个系统表示为：l则求逆系统l转换关系l变换l得逆系统 求两个系统乘积l乘积表示系统串联l使用关系 时l得乘积系统 l 总 结 Summaryl理解信号的概念，信号的强度，信号与 系统的关系；l熟悉L2与L空间，及H2与H，RH空 间的含义；l掌握H2范数与H范数的计算方法；l会求系统的逆与乘积。作业l教材P33：7，8，10
