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1、概率论 第二节 随机事件的概率概率的定义概率的性质等可能概型（古典概型）几何概型概率论 研究随机现象,不仅关心试验中会出现哪些事件， 更重要的是想知道事件出现的可能性大小， 也就是事件的概率.概率是随机事件 发生可能性大小 的度量事件发生的可能性 越大，概率 就越大！概率论 例如, 了解发生意外人身事故的可能性大小, 确定保险金额.概率论 例如, 了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小,合理配置服务人员.概率论 例如,了解每年最大洪水超警戒线可能性大小, 合理确定堤坝高度.概率论 1)一、概率的定义1.概率的统计定义(Frequency Approach)概率论 试验试验 者抛币币次数n “
2、正面向上”次数nA 频频率De Morgan208410610.518Bufen404020480.5069Pearson1200060190.5016Pearson24000120120.5005抛掷钱币试验记录可见, 在大量重复的试验中, 随机事件出现的 频率具 有稳定性. 即通常所说的统计规律性.概率论 )概率论 常常把这样的试验结果称为“等可能的”.1, 2, ，N 试验结果你认为哪个 结果出现的 可能性大？2.概率的古典定义(Classical Approach)(equally likely)概率论 2 3479108615例如, 一个袋子中装有10 个大小、形状完全相同的球. 将
3、球编号为110. 把球搅匀, 蒙上眼睛, 从中任取一球.1324 5 6 7 8 91010个球中的任一个被 取出的机会都是1/10概率论 我们用 i 表示取到 i 号球, i =1,2,10 . 称这样一类随机试验为古典概型. 34791086152且每个样本点(或者说基本事件) 出现的可能性相同 .=1,2,10 ,则该试验的样本空间: 如i =2概率论 称这种试验为等可能随机试验或古典概型.若随机试验满足下述两个条件：(1) 它的样本空间只有有限多个样本点；(2) 每个样本点出现的可能性相同.定义定义: :概率论 记 A=摸到2号球P(A)=?P(A)=1/10记 B=摸到红球P(B)=
4、?P(B)=6/10 22 3479 1086151324 5 6概率论 概率论 概率论 概率的频率定义和古典定义都有较严重的缺陷。 在概率的频率定义中，“n很大”是含糊不清的； 在概率的古典定义中，“可能性相同”也是含糊不清的。 因此，数学家得到了概率的公理化定义。 3.概率的公理化定义 (The Axioms of Probability)概率论 二、概率的性质概率论 概率论 概率论 概率论 概率论 概率论 概率论 概率论 性质3的推论概率论 概率论 三、等可能概型（古典概型）三、等可能概型（古典概型）概率论 给出一个记号，它是组合数的推广，规定 概率论 概率论 概率论 概率论 概率论 概
5、率论 例5（女士品茶）一位常饮奶茶的女士称：她能从一 杯冲好的奶茶中辨别出该奶茶是先放牛奶还是先放茶 冲制而成.做了10次测试，结果是她都正确地辨别出 来了.问该女士的说法是否可信？ 概率论 10次试验一共有 个等可能的结果解 假设该女士的说法不可信，即纯粹是靠运气猜对的。在此假设下，每次试验的两个可能结果为： 奶茶 或 茶奶 且它们是等可能的，因此是一个古典概型问题。若记则 只包含了 个样本点中一个样本点，故由实际推断原理，假设错误，该女士的说法可信实际推断原理概率很小的 事件在一次 试验中实际 上几乎不会 发生概率论 概率论 概率论 概率论 概率论 概率论 概率论 古典概率计算练习古典概率
6、计算练习把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写在七张同 样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中 任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序 排成一列，假设排列结果恰好拼成一个英文单词：C ISN C EE问：在多大程度上认为这样的结果是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？例1概率论 拼成英文单词SCIENCE 的情况数为:故该结果出现的概率为：这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义 ：如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事 件在1260次试验中大约出现1次 .解: 七个字母的排列总数为7！这样小概率的事件在一次抽卡的试验中就发生了, 人们有比较大的把握怀疑这是魔术.具体地说，可以
7、99.9%的把握怀疑这是魔术.概率论 解=0.3024允许重复的排列问错在何处？某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可 能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码 由五个不同数字组成的概率.计算样本空间样本点总数和所求事件 所含样本点数计数方法不同.从10个不同数字中 取5个的排列例2概率论 例3 设有N件产品, 其中有M件次品,现从这N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.这是一种无放回抽样.解: 令B=恰有k件次品P(B)=？次品 正品M件次 品N-M件正品概率论 解: 把2n只鞋分成n堆,每堆2只的分法总数为:而出现事件A的分法数为n!,故n双相异的鞋共2n只，随机地分成n堆，每
8、堆2只 . 问 :“各堆都自成一双鞋”(事件A)的概率是多少？例4概率论 “等可能性” 是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是 否可以认为各基本事件或样本点是等可能的.1、在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件.请注意：在许多场合，由对称性和均衡性，我们就可以认为 基本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率.2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏.概率论 3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型 ：有n个人，每个人都以相同的概率 1/N (Nn)被分在 N 间房的每一间中，求指定的n间房中各有一人的概率.人房有n个人，设每个人的生日是任
9、一天的概率为1/365. 求这n (n 365)个人的生日互不相同的概率.人任一天概率论 3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型 ：有n个旅客，乘火车途经N个车站，设每个人在每 站下车的概率为1/ N(N n) ，求指定的n个站各有 一人下车的概率.旅客车站某城市每周发生7次车祸，假设每天发生车祸的概 率相同. 求每天恰好发生一次车祸的概率.车祸天概率论 问题1：有两个转盘，甲乙两人玩游戏。规定当指针 指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜。在两种情况下 分别求甲获胜的概率？甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的圆弧的长度有关 ，而与字母B所在区域的位置无关.四、几何概型四、几何概型（Geome
10、tric probabilityGeometric probability）概率论 射中靶面直径为122cm的大圆内的任意一点 .基本事件:问题2：射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环. 从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色 ,金色靶心叫“黄心”. 奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶心直径为 12.2cm. 运动员在70m外射箭,假设每箭都能中靶, 且射中靶面内任一点都是等可能的, 那么射中黄心的概率是多少?概率论 定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：概率
11、论 例1 （等车问题）某公共汽车站从上午7时起，每隔15分钟来一趟车，一乘客在7:00到7:30之间随机到站，求：(1) 该乘客等候不超过5分钟上车的概率。(2) 该乘客候车时间超过10分钟的概率。解:概率论 例2 （会面问题）甲、乙两人约定在下午6时到7时之间在某处会面，并约定先到者等候另一人20分钟，过时不候，求两人能会面的概率。概率论 *布丰投针 公元1777年的一天，法国科学家D布丰(D.Buffon 17071788)的家里宾客满堂，他们是应主人的邀请进行一次奇特试验。 布丰先生拿出一张纸上预先画好了一条条等距离的平行线。接着他又抓出一大把原先准备好的小针，这些小针的长度都是平行线间距离的一半。 然后布丰先生宣布：“ 请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧! 不过，请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我。” 概率论 *布丰投针概率论 *布丰投针概率论 *布丰投针 投针结果，共投针2212次，其中与平行线相交的704次。总数2212与相交数704的比值为3.142。 值得一提的是，后来有不少人步布丰先生的后尘，用同样的方法来计算值。 意大利数学家拉兹瑞尼(Lazzerini)。他在1901年宣称进行了多次的投针试验，每次投针数为3408次，平均相交数为1084次，代入布丰公式求得3.1415929。概率论 作业习题1-1 2,4 习题1-2 2,3,7,10,12
