《高中全程复习方略配套课件11.3二项式定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中全程复习方略配套课件11.3二项式定理（40页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节 二项式定理 三年10考 高考指数:会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.1.二项展开式的通项公式的应用，利用通项公式求特定的项或特定项的系数，或已知某项，求指数n等是考查重点；2.赋值法、化归思想是解决二项展开式问题的基本思想和方法，也是高考考查的热点；3.题型以选择题和填空题为主，与其他知识点交汇则以解答题为主.1.二项式定理它表示第_项 二项项式定理 二项项式通项项 二项项式系数 (a+b)n=_(nN*)Tr+1=_,二项展开式中各项的系数为 _(r=0,1,2,n) 【即时应用】(1)思考:(a+b)n展开式中，二项式系数 (r=0,1,2,n)与展开式中项的系数相同吗
2、?提示：不一定.二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念,二项式系数是指 ,它只与各项的项数有关，而与a,b无关；而项的系数是指该项中除变量外的部分，它不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a,b所代表的项有密切关系.(2) =_.【解析】原式=(1-2)11=-1.答案：-1(3) 的展开式中，x3的系数等于_.【解析】 的通项为令得r2， ，故x3的系数为答案：152.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即_.(2)(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和等于_，即_.(3)二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即2n【即时应用】
3、(1)若 的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项的系数之和为_.(2)已知(3-x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0-a1+a2-a3+a4等于_.(3)已知(1x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则(a0 a2a4)(a1a3a5)的值等于_【解析】(1)依题意，得 15，即 15，n(n1)30(其中n2)，由此解得n6，因此展开式中所有项的系数之和为(2)由题意可知，令x1，代入式子，可得a0-a1+a2-a3+a43(1)4256.(3)分别令x1、x1,得a0a1a2a3a4a50,a0a1a2a3a4a532，由此解得a0a2a41
4、6，a1a3a516，所以(a0 a2a4)(a1a3a5)256.答案：(1) (2)256 (3)-256 求二项展开式中特定的项或特定项的系数【方法点睛】1.理解二项式定理应注意的问题(1)Tr+1通项公式表示的是第“r+1”项，而不是第“r”项；(2)通项公式中a和b的位置不能颠倒；(3)展开式中第r+1项的二项式系数 与第r+1项的系数在一般情况下是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心,以防出差错.2.求特定项的步骤第一步:根据所给出的条件(特定项)和通项公式建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n为正整数，r为非负整数，
5、且rn)；第二步:根据所求项的指数特征求所要求解的项. 【例1】(1)(2012宁波模拟)在 的展开式中，系数为有理数的项共有_项.(2)(2012六安模拟)如果(1+x2)n+(1+x)2n(nN*)的展开式中x项的系数与x2项的系数之和为40，则n的值等于_.(3)(2012黄山模拟) 展开式中x2的系数为_.【解题指南】(1)先明确系数为有理数的项的特征，然后由二项展开式的通项找出符合条件的项的个数.(2)分别写出(1+x2)n与(1+x)2n的通项，再分别求出x项与x2项的系数进而求出n.(3)先明确(1-x)4与 的通项，再让通项相乘，可得(1-x)4 的通项，最后分情况讨论即可.【
6、规范解答】(1)要求系数为有理数的项，则r必须能被4整除.由0r20且rN知，当且仅当r=0,4,8,12,16,20时所对应的项系数为有理数.答案：6(2)(1+x2)n的通项(1+x)2n的通项令r=1，r=1，r=2得：n2+n-20=0,n=4.答案：4(3)(1-x)4的通项r0，1，2，3，4的通项Tr+1= ，r0，1，2，3 的通项令 , 或当 时,x2的系数为当 时，x2的系数为x2的系数为-6答案：-6【反思感悟】解决有理项是字母指数为整数的项的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解.若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同
7、一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一致.【变式训练】已知在二项式 的展开式中,第6项为常数项.(1)求n;(2)求含x2的项的系数;(3)求展开式中所有的有理项.【解题指南】“第6项为常数项”是解决问题的突破口，据此，根据展开式求出n的值，为求解(2)(3)打下基础.【解析】(1)通项公式为因为第6项为常数项,所以r=5时,有 =0,即n=10.(2)令 ,得所求的系数为(3)根据通项公式,由题意得令 =k(kZ),则10-2r=3k,即rN,k应为偶数.k可取2,0,-2,即r可取2,5,8.所以第3项,第6项与第9项为有理项,它们分别为即二项式系数和或各项的系数和【方法点睛
8、】赋值法的应用(1)对形如(ax+b)n、(ax2+bx+c)m(a,b,cR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x=1即可；对形如(ax+by)n(a,bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=1即可.(2)若f(x)=a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0+a2+a4+=偶数项系数之和为a1+a3+a5+=【提醒】“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解题易出现漏项等情况，应引起注意. 【例2】设(3x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3
9、+a4x4.(1)求a0+a1+a2+a3+a4;(2)求a0+a2+a4;(3)求a1+a3;(4)求a1+a2+a3+a4;(5)求各项二项式系数的和.【解题指南】本题给出二项式及其二项展开式，求各项系数和或部分项系数和，可用赋值法，即令x取特殊值来解决.【规范解答】(1)令x=1,得a0+ a1+ a2+ a3+ a4=(3-1)4=16.(2)令x=-1得a0- a1+ a2- a3+ a4=(-3-1)4=256,而由(1)知 a0+ a1+ a2+ a3+ a4=(3-1)4=16.两式相加，得 a0+ a2+ a4=136.(3)由(1)、(2)得( a0+ a1+ a2+ a3
10、+ a4)-( a0+ a2+ a4)= a1+ a3=-120.(4)令x=0得a0=1，亦得a1+ a2+ a3+ a4= a0+ a1+ a2+ a3+ a4-a0=16-1=15.(5)各项二项式系数的和为【反思感悟】1.在求解本例第(4)题时容易忽略a0的值导致错解.2.运用赋值法求值时应充分抓住代数式的结构特征，通过一些特殊值代入构造相应的结构.【变式训练】(1)已知(1x)(1x)2(1x)na0a1xa2x2anxn，且a1a2an129n，则n_；(2)已知(1x)na0a1xa2x2anxn，若5a12a20，则a0a1a2a3(1)nan_.【解析】(1)易知an1，令x
11、0得a0n，所以a0a1an30.又令x1，有2222na0a1an30，即2n1230，所以n4.(2)由二项式定理得，代入已知得5nn(n1)0，所以n6，令x1得(11)6a0a1a2a3a4a5a6，即a0a1a2a3a4a5a664.答案：(1)4 (2)64【变式备选】设(x2-x-1)50=a100x100+a99x99+a98x98+a0.(1)求a100+a99+a98+a1的值；(2)求a100+a98+a96+a2+a0的值.【解析】(1)令x=0,得a0=1;令x=1,得a100+a99+a98+a1+a0=1,所以a100+a99+a98+a1=0.(2)令x=-1,
12、得a100-a99+a98-a1+a0=1,而a100+a99+a98+a1+a0=1,+整理可得a100+a98+a96+a2+a0=1.二项式定理的综合应用【方法点睛】二项式定理的综合应用(1)利用二项式定理做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1+x)n1+nx.(2)利用二项式定理证明整除问题或求余数问题:在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都有除式的因式，要注意变形的技巧.(3)利用二项式定理证明不等式:由于(a+b)n的展开式共有n+1项，故可以对某些项进行取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的. 【例3】(1)求证：46n5n19能被20整
13、除.(2)根据所要求的精确度，求1.025的近似值.(精确到0.01).【解题指南】(1)将6拆成“5+1”，将5拆成“4+1”,进而利用二项式定理求解.(2)把1.025转化为二项式，适当展开，根据精确度的要求取必要的几项即可.【规范解答】(1)46n5n194(6n1)5(5n1)4(51)n15(41)n120(5n1 是20的倍数，所以46n5n19能被20整除.(2)1.025=(1+0.02)5=当精确到0.01时，只要展开式的前三项和，1+0.10+0.004=1.104，近似值为1.10.【互动探究】将本例(2)中精确到0.01改为精确到0.001如何求解?【解析】由本例(2)
14、知，当精确到0.001时，只要取展开式的前四项和,1+0.10+0.004+0.000 08=1.104 08.近似值为1.104.【反思感悟】利用二项式定理证明整除问题时，首先需注意(ab)n中，a，b中有一个是除数的倍数；其次展开式有什么规律，余项是什么，必须清楚.【变式备选】(1) 除以9，得余数是多少？(2)求0.9986的近似值，使误差小于0.001.【解析】(1) =(7+1)n1=8n1=(9-1)n1=9n-(i)当n为奇数时原式= 除以9所得余数为7.(ii)当n为偶数时原式=除以9所得余数为0，即被9整除.(2)0.9986(10.002)616(0.002)115(0.002)2(0.002)6.T3 (0.002)215(0.002)20.000 060.001，且第3项以后的绝对值都小于0.001，所以从第3项起,以后的项都可以忽略不计.所以0.9986=(1-0.002)61+6(-0.002)=1-0.012=0.988.【易错误区】对展开式中
