流体力学-伯努利方程

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1、1.3 理想流体的流动本节重点：n掌握理想流体模型； n理解理想流体、流线、流管等物理概念； n掌握理想流体的稳定流动的连续性原理； n掌握贝努利方程的原理；一.基本概念：流体：具有流动性的液体和气体；流体动力学：研究流体的运动规律以及流体与其他物体 之间相互作用的力学； 二.流体动力学的应用：l生物体液和氧分的输送，动物体内血液的循 环，土壤中水分的运动，农田排灌、昆虫迁 飞；1.3.1 理想流体的稳定流动一.基本概念l1.流体的粘滞性：实际流体在流动时其内部有相对运动的相邻两部分之间存在类 似两固体相对运动时存在的摩擦阻力(内摩擦力)，流体的这种性 质称为粘滞性。l2.流体的可压缩性：实际

2、流体在外界压力作用下、其体积会发生变化，即具有可压 缩性；l3.理想流体模型：u绝对不可压缩、没有粘滞性的流体叫做理想流体；u一般情况下，密度不发生明显变化的气体或者液体、粘滞性小的 流体均可看成理想流体2. 定常流动：l流体质点经过空间各点的流速 虽然可以不同，但如果空间每 一点的流速不随时间而改变， 这样的流动方式称为定常流动 ，也称为稳定流动l是一种理想化的流动方式。二.流体的运动形式：1. 一般流动形式：l通常流体看做是由大量流体质点所组成的连续介质。l一般情况流体运动时，由于流体各部分可以有相对运动，各部分质 点的流动速度是空间位置的函数，又是时间t的函数 三.流线、流管流线：为了形

3、象地描述定常流动的流体而引入的假想的直线或曲线l流线上任意点的切线方向就是流体质点流经该点的速度方向l稳定流动时，流线的形状和分布不随时间变化，且流线与流体质点的 运动轨迹重合；l流线的疏密程度可定性地表示流体流速的大小；l流线不相交；2.流管：流体内部，通过某一个截面的流线围成的管状空间；l流体质点不会任意穿出或进入流管 ；（与实际管道相似）l流体可视为由无数个稳定的流管组成，分析每个流管中流体的运动规 律，是掌握流体整体运动规律的基础；四.连续性原理1. 推导过程：假设： .取一个截面积很小的细流管，垂直于流管的同一截面上的 各点流速相同； .流体由左向右流动 ； .流体具有不可压缩性 ；

4、 .流体质点不可能穿入或者穿出流管 ； .在一个较短的时间t内，流进流管的流体质量等于流出流 管的流体质量（质量守恒），即： 2. 理想流体的连续性方程(连续性原理、流量方程)：u流体在同一细流管中作稳定流动时，通过任一截面S的体 积流量保持不变。u推广，对于不可压缩的实际流体，任意流管、真实导流管 、流体管道都满足连续性原理。u如果同一截面上流速相同，不可压缩的流体在流管中做稳 定流动时流体的流速与流管的截面积S成反比，即截面大处 流速小，狭窄处流速大。 体积流量：表示单位时间内流过任意截面S的流体体积， 称为体积流量，简称流量，用QV表示，单位为m3/s. 补充例题有一条灌溉渠道，横截面是

5、梯形，底宽2m，水面宽 4m，水深1m，这条渠道再通过两条分渠道把水引到 田间，分渠道的横截面也是梯形，底宽1m，水面宽 2m，水深0.5m，如果水在两条渠道内的流速均为 0.2m/s，求水在总渠道中的流速？1.3.3 伯努利方程及其应用伯努利方程：理想流体在重力场中作稳定流动时，能量守衡定律在流动液体中的表现形式。 伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体作稳定流动时的 基本方程，对于确定流体内部各处的压力和流速有很大的实际意义、在水 利、造船、航空等部门有着广泛的应用。伯努利个人简介：（Daniel Bernouli,17001782）瑞士物理学家、数学家、 医学家。他是伯努利这

6、个数学家族（4代10人）中最杰出的代表，16岁时就 在巴塞尔大学攻读哲学与逻辑，后获得哲学硕士学位，1720岁又学习医 学，并于1721年获医学硕士学位，成为外科名医并担任过解剖学教授。但 在父兄熏陶下最后仍转到数理科学。伯努利成功的领域很广，除流体动力 学这一主要领域外，还有天文测量、引力、行星的不规则轨道、磁学、海 洋、潮汐等等。一. 伯努利方程的推导：稳定流动的理想流体中，忽略流体的粘滞性，任意细流管中的 液体满足能量守恒和功能原理！设：流体密度，细流管中分析一段流体a1 a2 :a1处：S1，1，h1, p1a2处：S2，2，h2, p2经过微小时间t后，流体a1 a2 移到了b1 b

7、2, 从 整体效果看，相当于将流体 a1 b1 移到了a2 b2, 设a1 b1段流体的质量为m，则：机械能的增量：功能原理: 系统受到非保守力做功，系统机械能的增量 等于非保守力对系统作的功；外界对系统作的功?受力分析端面压力侧壁压力二. 对于同一流管的任意截面，伯努利方程： 含义含义：对于理想流体作稳定流动，在同一流管中任一处，对于理想流体作稳定流动，在同一流管中任一处， 每单位体积流体的每单位体积流体的动能、势能和该处压强之和动能、势能和该处压强之和是一个恒量。是一个恒量。n伯努利方程，是理想流体作稳定流动时的基本方程；n对于实际流体，如果粘滞性很小，如：水、空气、酒精等，可应用伯 努利

8、方程解决实际问题；n对于确定流体内部各处的压力和流速有很大的实际意义、在水利、造 船、航空等部门有着广泛的应用。补充例题， 水管里的水在压强为p=4105 Pa的作用下流入房间， 水管的内直径为2.0 cm，管内水的流速为4 m/s。引入 到5 m高处二楼浴室的水管，内直径为1.0 cm，试求浴室水管内水的流速和压强?(已知水的密度为103 kg/m3)。在水平流动的流体中，流速大的地方压强小；流速 小的地方压强大。 在粗细不均匀的水平流管中，根据连续性原理，管 细处流速大，管粗处流速小，因而管细处压强小， 管粗处压强大； 如：水流抽气机、喷雾器、内燃机的汽化器的基本 原理都基于此； 一一.

9、.水平水平流管的伯努利方程：流管的伯努利方程：1.3.4. 伯努利方程的应用 生活中的实例：在海洋中平行逆向航行的两艘大轮船，相互不能靠 得太近，否则就会有相撞的危险，为什么？逆流航行的船只行到水流很急的岸边时，会自动地 向岸靠拢；汽车驶过时，路旁的纸屑常被吸向汽车；简单的实验：用两张窄长的纸条，相互靠近，用嘴 从两纸条中间吹气，会发现二纸条不是被吹开而是 相互靠拢，就是“速大压小”的道理。打开的门窗，有风吹过，门窗会自动的闭合，然后 又张开； 6.飞机的机翼的翼型使得飞行中前面的空 气掠过机翼向后时，流经机翼上部的空 气要通过的路程大于流经机翼下部的空 气通过的路程，因此上部空气流速大于 下

10、部空气的流速，上部空气对机翼向下 的压力就会小于下部空气对机翼向上的 压力，从而产生升力 ；应用实例1. 水流抽气机、喷雾器l空吸作用：当流体流速增大时 压强减小，产生对周围气体或液 体的吸入作用；l水流抽气机、喷雾器就是根据空吸 作用的原理（速度大、压强小）设 计的。应用实例2.汾丘里流量计l汾丘里管：特制的玻璃管，两端较粗，中间较细，在较粗和较细 的部位连通着两个竖直细管。l汾丘里管水平接在液体管道中可以测定液体的流量；流速：体积流量：只要读出两个 竖管的高度差 ，就可以测量 流速和流量应用实例3. 皮托管：常用的流速测定装置；皮托管：由双层圆头玻璃管组成 ，内外管分别通过橡皮管与U形 压

11、强计的两管相连、内管的开口 在A，外管的开门(即管壁上钻 的几个小孔)在B。A 正对流速方 向，A、B间忽略高度差； 二二. . 流速的测定：流速的测定：H驻点：当流体遇到障碍物受阻时 ，在障碍物前会有一点，该点流 体静止不动，故称驻点；应用实例4. 小孔流速：敞口的液槽内离开液面h处开一小孔，液体密度为，液面 上方是空气，在液槽侧面小孔处压强为大气压p0, 求小孔 处的液体流速？托里拆利定律：忽略粘滞性，任何液体质点从小孔 中流出的速度与它从h高度处自由落下的速度相等；注：由于液槽中液面下降很 慢，可以看成是稳定流动， 把液体作为理想流体；应用实例5. 文特里管：可串接到管道中测定流速的 装

12、置；hS1S2曲管压强计中盛 水银，当粗管和 细管横截面S1和S2 及水银柱的高度 差h已知时，求粗 管中水的流速。粘滞流体：如植物组织中的水分，人体 及动物体内的血液以及甘油、蓖麻油。1.4 粘滞流体的流动一. 牛顿粘滞定律 粘滞系数l层流:实际流体在流动时，同一横截面上各点流速并不相同，管中轴心处流速最大，越接近管壁，流速越小，在管壁处流速为零。这种各层流体流速有规则逐渐变化的流动形式，称为层流；l每一层为与管同轴的薄圆筒，每一层流速相同，各层之间有相对运动但 不互相混杂，管道中的流体没有横向的流动。l（流速小时呈现的流动形式：河道、圆形管道）粘滞力： 粘滞流体在流动中各层的流速不同，相邻

13、两流层之间有相对 运动，互施摩擦力，快的一层给慢的一层以向前的拉力；慢 的一层则给快的一层以向后的阻力，这种摩擦力称为内摩擦 ，又称粘滞力；粘滞力和哪些因素有关？流体内相邻两层内摩擦力的大小：u与两流层的接触面积大小有关； u还与两流层间速度变化的快慢有关；l垂直于流速方向上有相距y的 两个流层，速度差为 ；l速度变化的快慢程度：l其物理意义是：垂直于流速方 向上相距单位距离的两个流层的 速度的变化率。 垂直于流速方向的流速梯度(或速度梯度)：y牛顿粘滞定律：流体内部相邻两流层间的内 摩擦力f与两流层的接触面积S，以及两流层处的 速度梯度成正比;比例系数：流体的粘滞系数或粘度，单位为帕秒(Pa

14、 s)l粘滞系数越大，相邻两流层接触表面间的内摩擦力也越大； l用粘滞系数定量地表示流体粘性的大小； l牛顿型流体的粘滞系数除与流体性质有关，还与温度有关。l对于液体温度愈高，粘滞系数愈小； l气体则相反温度愈高，粘滞系数愈大。 l确定粘滞系数的实际意义：输送流体的管道设计、机械中润 滑油的加入、血液粘稠度诊断学、药学等；l几种常见液体的粘滞系数：P8 接触面积相同的两层液体间的内摩擦力远小于两个固体间 的摩擦力，因此在机器上广泛使用机油等作为润滑剂二. 流体的湍流 雷诺数u层流不是流动的唯一形式； u湍流：流体在管道内流动，当流速超过某一临界值，流 体的层流状态将被破坏，各流层相互混淆，局部

15、有横向流 动，呈现不规则的涡状流动，这种流动状态称为湍流。 u在自然现象中，比较普遍的流动状态是湍流，如江河急 流、烟囱排出的废气流、大气的流动等。层流与湍流的区别： 层流：无横向流动； 湍流：总体向前流动，但局部有横向流动；u 实验表明：由层流变成湍流的条件用雷诺数Re 来确定： Re-雷诺数，一个无量纲的纯数 -流体的密度； -流体的粘滞系数； -流体在管道中的平均流速； D-管道的直径或流体中的运动物体雷诺数Re来判断层流变成湍流的条件:P55 表1-7 表明：n植物组织中水分流动的雷诺数很小，属于稳定 的层流；n动物组织中的血液流动比较复杂，但在正常生 理条件下，生物体系中液体的流动可

16、视为层流；雷诺数在流体动力学中的作用： u对于一定几何形状的管道（不论大小）中流动的流体，不论、v、D如何，只要Re相同，它们的流动类型就相同。u可在实验室用水工模型来模拟江河水的流动，用风洞实验来研究飞机的飞行等情况；流体相似率：雷诺数不仅提供了一个判断流动类型的标准， 而且具有相似率：如果两种流体的边界条件相似且具有相同的雷 诺数，则流体具有相同的动力学特征。1.4.2 泊肃叶公式及其应用粘滞流体稳定层流时，流量和哪些因素有关？粘滞流体在无限长水平圆形管道作层流的情形； 实际应用：水管、动物血管、植物木质导管都是圆形管道； 在均匀水平管的一段，管的半径为R，长为l，左端压强为 p1，右端压强为p2，且p1p2，流体自左向右流动。 通过圆形管内稳定流层的流量： l 与两截面的压强差以及流体截面的半径有关，即p1-p2越 大，R越大，流量越大； l 与流体的长度l，流体的粘度有关，长度及粘度越大则