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1、解析几何解析几何第五章 二次曲线的一般理论在平面上，由二元二次方程 所表示的曲线，叫做二次曲线。在这一章里，我 们将讨论二次曲线的几何性质，以及二次曲线的 化简，最后对二次曲线进行分类。二次曲线的一般理论为了方便起见，特引进一些记号：二次曲线与直线的相关位置讨论二次曲线与直线的交点，可以采用把直线方程（2）代入曲线方 程（1）然后讨论关于t的方程（1）（2）（3）（4）对（3）或（4）可分以下几种情况来讨论：二次曲线的渐近方向定义满足条件(X,Y)=0的方向X:Y叫做二次 曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向.定义 没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆 型的，有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物 线型
2、的，有两个实渐近方向的二次曲线叫做双 曲型的.1)椭圆型：I20 2)抛物型： I20 3)双曲型： I20二次曲线的中心与渐近线定义 如果点C是二次曲线的通过它的所有弦 的中点(C是二次曲线的对称中心)，那么点C叫做 二次曲线的中心.定理 点C(x0 ,y0)是二次曲线(1)的中心，其充 要条件是：推论 坐标原点是二次曲线的中心，其充要条 件是曲线方程里不含x与y的一次项.二次曲线(1)的的中心坐标由下方程组决定：如果I20，则(5.22)有唯一解，即为唯一中心 坐标如果I20，分两种情况：定义1 有唯一中心的二次曲线叫中心二次曲线 ，没有中心的二次曲线叫无心二次曲线，有一条 中心直线的二次
3、曲线叫线心二次曲线，无心二次 曲线和线心二次曲线统称为非中心二次曲线.定义2 通过二次曲线的中心，而且以渐近方向 为方向的直线叫做二次曲线的渐近线.定理 二次曲线的渐近线与这二次曲线或者 没有交点，或者整条直线在这二次曲线上成为 二次曲线的组成部分.二次曲线的切线定义1 如果直线与二次曲线相交于相互重合的 两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线，这 个重合的交点叫做切点，如果直线全部在二次曲线 上，我们也称它为二次曲线的切线，直线上的每个 点都可以看作切点.定义2 二次曲线(1)上满足条件F1(x0,y0)=0F2(x0,y0)=0的点(x0,y0)叫做二次曲线的奇异点， 简称奇点；二次曲线
4、的非奇异点叫做二次曲线的 正常点.定理1 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点， 那么通过(x0,y0)的切线方程是 (x-x0)F1(x0,y0)+(y-y0)F2(x0,y0)=0，(x0,y0)是它的切点. 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的 奇异点，那么通过(x0,y0)的切线不确定，或者说过 点(x0,y0)的每一条直线都是二次曲线(1)的切线.推论 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点， 那么通过(x0,y0)的切线方程是：例1 求二次曲线x2-xy+y2+2x-4y-3=0在点(2,1) 的切线方程解：因为F(2,1)=4-2+1+4-4-3=0,且 F1(2,1)
5、=5/20, F 2 (2,1)=-2 0所以(2,1)是二次曲线上的正常点，因此得在点(2,1)的切线方程为：5/2 (x-2)-2(y-1)=0即：5x-4y-6=0二次曲线的直径定理1 二次曲线的一族平行弦的中点轨迹是 一条直线.定义 二次曲线的平行弦中点轨迹叫做这个 二次曲线的直径，它所对应的平行弦，叫做共轭 于这条直径的共轭弦；而直径也叫做共轭于平行 弦方向的直径.推论 二次曲线的一族平行弦的斜率为k， 那么共轭于这族平行弦直径方程为 F1(x,y)+kF2(x,y)=0定理 2 中心二次曲线的直径通过曲线的中心， 无心二次曲线的直径平行于曲线的渐近方向，线 心二次曲线的直径只有一条
6、，即曲线的中心直线共轭方向与共轭直径中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向仍 然是非渐近方向，而在非中心二次曲线的情形 是渐近方向.定义 中心曲线的一对具有相互共轭方向的 直径叫做一对共轭直径.n定义1 二次曲线的垂直于其共轭弦的直径叫做二 次曲线的主直径，主直径的方向与垂直于主直径 的方向都叫做二次曲线的主方向n显然，主直径是二次曲线的对称轴，因此主直径 也叫做二次曲线的轴，轴与曲线的交点叫做曲线 的顶点二次曲线的主直径与主方向主方向与主直径的求法二次曲线方程的化简与分类1.平面直角坐标变换为转轴公式，其中为坐标轴的旋转角.二次曲线方程的化简和分类定理1 适当选取坐标系，二次曲线的方程总可 以化成下列三个简化方程中的一个：定理2 通过适当选取坐标系，二次曲线的方 程总可以写成下面九种标准方程的一种形式：本章学习结束谢谢大家
