近世代数群的概念

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1、1.2 群的概念v群的定义v群的性质v群的判别一群的定义 定义1.2.1 设 是一个非空集合, 若对 中任意两个元素 通过某个法则“ ”，有 中惟一确定的则称法则“ ”为集合上的一个代数运元素 与之对应, 算（algebraic operation）元素 是 通过运算“ ”作用的结果, 我们将此结果记为例 有理数的加法、减法和乘法都是有理数集Q上的代数运算,除法不是Q上的代数运算如果只考虑所有非零有理数的集合Q*, 则除法是Q*上的代数运算.剩余类集对 ，规定例 设 为大于1的正整数， 为 的模证 我们只要证明, 上面规定的运算与剩余类的代表元的选取无关即可设则 于是 从而 则“”与“ ”都是

2、 上的代数运算所以+与 都是 上的代数运算. 一个代数运算，即对所有的 有 如 果 的运算还满足(G1) 结合律，即对所有的 有； (G2) 中有元素 ，使对每个 ，有定义1.2.2 设 是一个非空集合，“ ”是 上的(G3) 对 中每个元素 ，存在元素 ，使 在不致引起混淆的情况下, 也 称为群 （unit element）或恒等元（identity）； 注 1(G2)中的元素 称为群 的单位元(G3)中的元素 称为 的逆元（inverse） 则称 关于运算“ ”构成一个群（group），记作 我们将证明：群 的单位元 和每个元素的逆元都是惟一的 中元素 的惟一的逆元通常记作 （commut

3、ative group）或阿贝尔群（abelian group) ，有 ，则称 是一个交换群3群 中元素的个数称为群 的阶（order），记为 如果 是有 限数, 则称 为有限群 2如果群 的运算还满足交换律，即对任意的（finite group），否则称 为无限群（infinite group). 例 整数集 关于数的加法构成群这个群称为整数加群 证 对任意的 ，有 ，所以“”是 上的一个代数运算同时，对任意的 ,有所以结合律成立.另一方面 ，且 有 又对每个 有 从而 关于“”构成群，显然这是一个交换群所以0为 的单位元.所以 是 的逆元.注 1当群的运算用加号 “”表示时，通常将 的单位

4、元记作0，并称0为 的零元；将的逆元记作 , 并称 为 的负元2习惯上，只有当群为交换群时，才用“”来表 示群的运算，并称这个运算为加法，把运算的结果叫做和，同时称这样的群为加群相应地, 将不是加群的群称为乘群，并把乘群的运算叫做乘法， 运算的结果叫做积在运算过程中，乘群的运算符号通常省略不写今后，如不作特别声明，我们总假定群的运算是乘法当然, 所有关于乘群的结论对加群也成立（必要时, 作一些相关的记号和术语上改变）例 全体非零有理数的集合Q*关于数的乘法构成交换群, 这个群的单位元是数1，非零有理数 的逆元是 的倒数 同理，全体非零实数的 集R*、全体非零复数的集合 关于数的乘法也构成交换群

5、例 实数域R上全体 阶方阵的集合 ，关于矩阵的加法构成一个交换群全体 阶可逆方阵的集合 关于矩阵的乘法构成群，群中的单位元是单位矩阵 ，可逆方阵的逆元是 的逆矩阵 当 时， 是一个非交换群例 集合 关于数的乘法构成交换群关于数的乘法构成一个 阶交换群证 (1) 对任意的 ，因为 ,所以 例 全体 次单位根组成的集合因此 于是“ ”是 的代数运算 (3) 由于 ，且对任意的 ， 所以1为 的单位元 (4) 对任意的 ，有 ，且 所以 有逆元 的乘法也满足交换律和结合律 (2) 因为数的乘法满足交换律和结合律，所以因此 关于数的乘法构成一个群通常称这个群为 次单位根群，显然 是一个具有 个元素的交

6、换群例 设 是大于1的正整数，则 关于剩余类的加法构成加群.这个群称为 的模 剩余类加群 证 (1) 由例知，剩余类的加法“”是 的 代数运算 (2) 对任意的 ，所以结合律成立 (3) 对任意的 , 所以交换律成立(4) 对任意的 ， 且所以0为 的零元 (5) 对任意的 ,且所以 为 的负元从而知， 关于剩余类的加法构成加群 例 设 是大于1的正整数，记则 关于剩余类的乘法构成群 证 (1) 对任意的 ，有 于是 ，从而 (2) 对任意的 所以剩余类的乘法“ ”是 的代数运算 所以结合律成立. (3) 因为 ，从而 ，且对任意的 且 所以1是 的单位元 (4) 对任意的 ，有 ，由整数的性

7、质可知，存在 ，使所以 ，且显然所以 为 的逆元从而知， 的每个元素在中都可逆 这就证明了 关于剩余类的乘法构成群 注 (1) 群 称为 的模 单位群，显然这是一个交换群当 为素数时， 常记作 .易知， (2) 由初等数论可知（参见1）， 的阶等于 ,这里 是欧拉函数如果其中 为的 不同素因子，那么例10 具体写出 中任意两个个元素的乘积以 及每一个元素的逆元素易知直接计算，可得 表1.2.1由表中很容易看出注 观察表1.2.1，我们发现可以把表1.2.1表示为更加简单的形式（见表1.2.2） 表1.2.21234 11234224133314244321形如表1.2.2的表通常称为群的乘法表

8、 （multiplication table），也称群表（group table） 或凯莱表（Cayley table）人们常用群表来表述有限群的运算如下表所示： ebeebaa在一个群表中, 表的左上角列出了群的运算符号 （有时省略），表的最上面一行则依次列出群的所有元素（通常单位元列在最前面），表的最左 列按同样的次序列出群的所有元素表中的其余部分则是最左列的元素和最上面一行的元素的乘 积注意，在乘积 中，左边的因子 总是 左列上的元素, 右边的因子 总是最上面一行的元素由群表很容易确定一个元素的逆元素 又如果一个群的群表是对称的，则可以肯定，这个群一定是交换群二群的性质定理1.2.1 设

9、 为群，则有 (1) 群 的单位元是惟一的；(2) 群 的每个元素的逆元是惟一的；(3) 对任意的 ，有 ； (4) 对任意的 ，有 ；(5) 在群中消去律成立，即设 ，如果 ，或 ，则 证 (1) 如果 都是 的单位元，则（因为 是 的单位元），因此 所以单位元是惟一的 (2) 设 都是 的逆元，则（因为 是 的单位元），于是 所以 的逆元是惟一的 (3) 因为 是 的逆元，所以从而由逆元的定义知， 是 的逆元又由逆元的惟一性得 (4) 直接计算可得及从而由逆元的惟一性得 (5) 如果 ，则 同理可证另一消去律 定理1.2.2 设 是群，那么对任意的 ，方程 及 在 中都有惟一解 证 取 ，

10、则所以方程 有解 又如 为方程 的任一解，即 则这就证明了惟一性 同理可证另一方程也有惟一解 指数与指数法则积与运算的顺序无关，因此可以简单地写成 群的定义中的结合律表明，群中 三个元素的乘进一步可知，在群 中，任意 个元素 的乘积与运算的顺序无关，因此可以写成 . 据此, 我们可以定义群的元素的方幂 对任意的正整数 ，定义 再约定（ 为正整数）则 对任意整数都有意义，并且不难证明：对任意的 有下列的指数法则(1) ；(2) (3) 如果 是交换群，则 （如果 不是交换群，一般不成立）当 是加群时, 元素的方幂则应改写为倍数相应地, 指数法则变为倍数法则： (1) (2) (3) （因为加群是

11、交换群，所以（3）对加群总是成立的）定理1.2.3 设 是一个具有代数运算的非空 集合， 则 关于所给的运算构成群的充分必要条件是 三群的判别(1) 的运算满足结合律； (2) 中有一个元素 （称为 的左单位元）,使对 任意的 有(3) 对 的每一个元素 ，存在 （称为 的左逆元），使 这里 是 的左单位元证 必要性 由群的定义，这是显然的充分性 只需证: 是 的单位元,， 是 的 逆元即可 设 由条件(3)知，存在 使而对于 也存在 使于是且进而由条件（1）知， 为群 由条件(2)及式(3)知，是 的单位元 是 的逆元，注 这个定理说明，一个具有乘法运算的非空集合 ，只要满足结合律，有左单位元，每个元素有左逆元，就构成一个群同理可证，一个具有乘法运算的非空集合 ，如 果满足结合律，有右单位元，且 中每个元素有右逆元，则 构成群 定理1.2.4 设 是一个具有乘法运算且满足结 合律的非空集合，则 构成群的充分必要条件是： 对任意的 方程 及 在 中有解.证 必要性 已证（见定理1.2.2） 充分性 任取 ，由条件知， 有解， 设为 ，则 .又对任意的 ， 有解,设为 设为 于是从而知 是 的左单位元 其次，对每个 ， 有解，设为 .于是从而知 有