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1、返回3.4 3.4 线性方程组解的结构线性方程组解的结构一、齐次线性方程组一、齐次线性方程组二、非齐次线性方程组二、非齐次线性方程组返回返回一、齐次线性方程组即 AX = 0平凡解：X = 0(零解)设 A =(1, 2, , n), 则下列命题等价：1o 1, 2, , n线性相关; 2o AX = 0有非零解;返回1. AX=0 解的判定条件（1）若R(A) n , 则AX=0有非零解；（2）若R(A)n , 则AX=0只有零解.注：若A为方阵，则（1）若det(A) = 0, 则AX=0有非零解；（2）若det(A) 0, 则AX=0只有零解.返回2. 解的性质（解向量）（1）AX =
2、0 的两个解向量的和仍为AX = 0的解.（2）AX = 0 的一个解向量的常数倍仍为AX = 0的解.（3）AX = 0 的解向量的线性组合仍为AX = 0的解.返回W =XRn | AX = 0为Rn的子空间（1）定义：W 的一组基.1o 1, 2, , s 线性无关;则称1, 2, , s为AX = 0 的一个基础解系.2o AX = 0的任一解向量均可由1, 2, , s 线性表出定理1 设R(A) = r n, 则AX = 0有基础解系且所 含向量个数为n - r, 即dimW = n - r, 这里n为方程组 未知数个数.（具体举例说明）3. 解空间4. 基础解系（最大无关组）（2
3、）构成条件：（3）求法（含在证明中）：返回例1 求方程组的基础解系解:返回(2) 得同解方程组(x3, x4为自由未知量)(3) 求基础解系（对自由未知量取值）（求得两个解） （证明这样的解 构成基础解系）返回设1, 2, , n - r 为AX = 0 的一个基解系，则 AX = 0 的解， = k11+ k22+ + kn-rn-r , k1, k2, , kn-r R. （1） AX = 0 的基解系一般不惟一，但其任一基 解系中所含向量个数必为n (未知数个数) - R(A). AX = 0 的 通解通解（2） 若AX = 0有非零解，则必有无穷多个解.5. 通解注：返回6. AX =
4、 0的解法（四步）（2）写出同解方程组（基本未知量、自由未知量）（3）求基础解系（对自由未知量取值）（4）写出通解返回例1 求方程组的通解解返回(2) 得同解方程组(x2, x4为自由未知量)(3) 基础解系为(4) 通解为返回例2 解解r(A) =3 = n, 只有零解 X = 0返回例3 解解返回得同解方程组(x3为自由未知量)基础解系为方程组通解为返回例4 证明：与AX = 0基础解系等价的线性无关 的向量组也是该方程组的基础解系.证 两个等价的线性无关的向量组所含向量个数 相等.设1, 2, , s 是AX = 0基础解系， 1, 2, , s 与之等价.1, 2, , s可由1, 2
5、, , s 线性表出，所以是 AX = 0的解；AX = 0的任一解X 可由1, 2, , s 线性表出，故， 1, 2, , s 是AX = 0的基础解系.又1, 2, , s可由1, 2, , s线性表出，所以X 可 由1, 2, , s 线性表出； 返回例5 设n阶矩阵A, B满足AB = O, 证明： R(A)+R(B) n.证设 B = (b1, , bn), 则 AB = A(b1, , bn) = (A b1 , , Abn) =O,A bi = 0, i = 1, , n. bi ( i = 1, , n)为AX = 0的解，所以可由基础解系1, 2, , n-r(r = R(
6、A)线性表出.所以, R( B) =秩 (b1, , bn) 秩(1, 2, , n-r)= n - R(A).即 R(A)+R(B) n.返回第二章 2.5例5 设A为n阶矩阵(n2)，证明证 若R(A)=n: R(A) n-1: detA0， A中所有n-1阶子式均为零， 返回二、非齐次线性方程组即 AX = b设 A =(1, 2, , n), 即 x11 + x22 + +xnn = b,AX = b 有解 b可由1, 2, , n线性表出 (AX = 0称为AX = b的 导出组)1. AX = b 的导出组返回2. AX = b 解的判定（1）若 , AX = b 无解（2）若 ,
7、 AX = b 有解，且 当 ，AX = b 唯一解； 当 ，AX = b 无穷解.返回2. 解的性质：性质1 设1 , 2 为AX = b 的解, 则1 - 2为其导出组 AX = 0的解.证 A(1 - 2 ) = A1 - A2 = b b = 0 所以， 1 - 2为AX = 0的解.性质2 设 为AX = b 的解, 为AX = 0的解，则 + 为AX = b 的解.证 A( + ) = A + A = b + 0 = b所以， + 为AX = b 的解.返回AX = b 的特解： AX = b 的任一解.性质3 设0 为AX = b 的一个特解, 则AX = b 的任一解 可表为
8、= 0 + , (为AX = 0 的一个解)对于AX = b 的任一个特解0, 当 取遍它的导出组的 全部解时， = 0 + 就给出AX = b 的全部解.性质3的证明 = 0 + ( - 0 )为AX = 0的解，设为 返回为了求AX = b 的通解（全部解），只需求其一个特 解0, 以及导出组的全部解即可：设0为AX = b 的一个特解， 1, 2, , n-r为其导出组 的基础解系，则AX = b 的通解为X = 0 + k11+ + kn-rn-r , k1 , , kn-rR3. AX = b 的通解返回（2）写出同解方程组（基本未知量、自由未知量）（4）求导出组的基础解系（对自由未
9、知量取值）（3）求特解（自由未知量取0）（5）写出通解4. AX = b解的求法（五步）返回例6 解解:有无穷多解 （2）得同解方程组(3)求非齐次的特解: 取x3=0, 得 0 =(3,2,0)T (4)求导出组的基础解系: 取x3=1, 得 =(1, -2, 1)T（5）AX = b 的通解为：X = 0 + k , kR返回例7 解解无解返回例8 解解返回(1) = 1时 ，有无穷多解得同解方程组 x1 = 1- x2 x3 导出组基础解系： 1 =(-1, 1, 0)T, 2 =(-1, 0, 1)T非齐次特解： 0 =(1, 0, 0)T 原方程组通解：X = 0 + k1 1 + k2 2 , k1 , k2 R (2) = - 2时，无解 (3) 1, - 2时，有惟一解：返回1.证思考题【略】返回已知四元齐次方程组 及另一四元齐次方程组 的通解为2. 返回解返回3. 返回解方法1返回返回方法2（更简单）：线性无关，所以为AX = 0的基础解系.为AX = b 的解.
