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1、 5-4 正定二次型本节中讨论实数域上(正惯性指数等于二次 型阶数)占有特殊地位的二次型正定二次 型。一、正(负)定二次型的概念为正定二次型为负定二次型例如实二次型 是正定的当且仅当证明 二、正(负)定二次型的判别Definition 5 .称实对称矩阵A为正定矩阵 ,若A确定的二次型 XAX 是正定二次 型.一个实对称矩阵A是正定的充分必要条件 是矩阵A与单位矩阵合同.推论:正定矩阵的行列式大于零.这个定理称为霍尔维茨定理定理6 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的各阶主子式为正，即对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶主 子式为负，而偶数阶主子式为正，即证明：必要性：设二次型是正定的。
2、对于每个k,1kn，令对任意一组不全为零的实数 , 有因此 是正定的。由推论， 的矩阵行列式0 k=1,n.这说明矩阵A的顺序主子式全大 于零。充分性：用数学归纳法证明.正定矩阵具有以下一些简单性质3.非退化的线性替换保持正定性不变例1 判别二次型是否正定.解它的顺序主子式故上述二次型是正定的.例3 判别二次型的正定性.解2. 正定二次型（正定矩阵）的判别方法：(1)定义法； (2)顺次主子式判别法； (3)特征值判别法.四、小结1. 正定二次型的概念，正定二次型与正定 矩阵的区别与联系3. 根据正定二次型的判别方法，可以得到 负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大 家自己推导思考题作业：P238711思考题解答
