离散控制系统的经典法设计

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1、第12章 离散控制 系统的经典法设计吉林大学仪器科学与电气工程学院 随阳轶连续与离散控制系统主要内容 概述 控制系统的离散化方法 PID控制器及其算法 12.1概述 数字控制器的设计大体上分成两大类：经 典法设计和状态空间法。经典法设计可分 两种方法：离散化法和直接法。离散化法 则是先设计连续系统的控制器，然后通过 某种离散化方法转化成数字控制器，这种 方法仅能逼近连续系统的性能，不会优于 连续系统的性能。直接法为Z平面的根轨迹 法、W平面的伯德图法等等。12.2控制系统的离散化方法 前向差分法； 后向差分法； 双线性变换法； 脉冲响应不变法； 阶跃响应不变法； 零、极点匹配法等六种方法。前向

2、差分法已知控制器的传递函数为传递函数转化成微分方程再将微分方程改写成积分形式=u(kT-T)+从(kT-T)到kT的面积 前向差分法（续1）由差分方程求其Z变换 脉冲传递函数前向差分法（续2）比较s与z的关系得 ：故前向差分法就是将模拟控制器的传递函数 D(s)中的s用 代替即可。 必须强调用前向差分关系将连续控制器离散 化成数字控制器时稳定性不能保证。因此很 少应用。 后向差分法推导过程同前向差分法， 只是变为后向矩形积分。脉冲传递函数比较s与z的关系得 ：连续系统时是稳定的，通过后向差分离散化 后，离散系统一定稳定。双线性变换法推导过程同前向差分法， 只是变为梯形积分。对上式取Z变换 脉冲

3、传递函数双线性变换法（续1）比较s与z的关系得 ：该变换保证系统的稳定性不改变。三种变换关系总结如下：前三种方式的稳定性讨论1.前向差分z与s的关系 令z 为1，对应s平面为一个圆，则以1/T为 半径的极点映射到Z平面单位圆内。 对于整个S左半平面映射Z平面 是1为边缘的整个Z平面。 令 则 前三种方式的稳定性讨论（ 续1）2.后向差分z与s的关系 可见s的虚轴映射为以点(1/2，0)为圆心， 1/2 为半径的圆，s左半平面映射到圆内。 前三种方式的稳定性讨论（ 续2）3.双线性变换z与s的关系 z的模为1，可见为单位圆 三种变换法的运用举例例12.1分别用前向差分法、后向差分法和双线 性变换

4、法将传递函数 离 散化成脉冲传递函数。 解：(1) 三种变换法的离散化前向差分法三种变换法的运用举例（续1 ） 后向差分法双线性变换法三种变换法的运用举例（续2 ） 通过 转换成脉冲传递函数对应的极点 (2) 三种变换法的稳定性前向差分法极点在单位圆外， 系统不稳定。三种变换法的运用举例（续3 ） 后向差分法极点在单位圆内，系统是稳定的。三种变换法的运用举例（续4 ） 双线性变换法极点在单位圆内，系统是稳定的。通过这三种方法得到的离散化结果与通过 的数学关系 的离散化结果比较， 双线性变换法更接近准确值。阶跃响应不变法 使离散近似后数字控制器的阶跃响应序列，与 连续控制器的阶跃响应采样值相等。

5、设D(z)为离散控制器，D(s)为连续控制器。即脉冲响应不变法 离散近似后数字控制器的脉冲响应序列，与连 续控制器的脉冲响应采样值相等。T是补偿采样引进的1/T因子。 例12.2已知连续控制器的传递函数 试用阶跃响应不变法和脉冲响应不变法将连续 控制器离散成数字控制器。 解：(1) 阶跃响应不变法阶跃脉冲响应不变法举例(2) 脉冲响应不变法零极点匹配等效法通过映射保证连续和离散控制器的零极点匹配 。映射规则如下：(1) D(s)的全部有限零点和极点按照 映 射到Z平面。 (2) D(s)的全部无限远的零点映射到Z平面为 z=-1。(这是近似映射关系) 解释如下 ：零极点匹配等效法（续1）相当于

6、j轴上从0到/T这段对应于Z平面从 z=1到z=-1的半个单位圆。 当= s/2=/T时，该是信号的最高频率， 高于此频率则不满足采样定理。另外通常D(s)具有低通特性，即 因此将s的零点映射到Z平面，相当于与 D(z)的z=-1的零点对应，也就是说在的D(s)上有 一个s 的零点时，则在D(z)的分子上补一个 (z+1)因子，有两个s 的零点，在D(z)的分子 上补一个(z+1)2 ，以此类推。零极点匹配等效法（续2）(3) 让数字控制器的增益在某一主频处与模拟 控制器的增益匹配，即 若D(s)具有低通特性则令 若D(s)具有高通特性则令 若D(s)既不具有高通特性也不具有低通特性 则在一个

7、特殊频率处令 零极点匹配等效法举例例12.3已知连续控制器的传递函数 试用零极点匹配等效法将连续控制器离散成数 字控制器。 解：(1) 将连续系统的有限零极点映射到Z平面 有限零点 有限极点零极点匹配等效法举例（续1 ） (2)将连续系统的s零点映射到Z平面，对应 于D(z)分子上的(z+1)因子。 零极点匹配等效法举例（续2 ） (3)匹配增益因子通过零极点匹配等效法，得到的总的脉冲传递 函数为：六种离散化方法的特点 设计者应该交替使用几种等效技术，通常零极 点匹配映射法和双线性变换法较好。 1. 前向差分法：稳定性不能保证，很少使用。 2. 后向差分法：无稳定性问题，并维持稳态增 益不变。

8、但是得到的离散控制器暂态特性和频 率响应特性与连续控制器特性有相当大的差别 ，采用高采样率可减少这种差别。 3. 脉冲响应不变法：无稳定性问题，但存在频 率混叠问题 ，只适用于连续控制器具有陡峭的 衰减特性，且为带限信号的场合。六种离散化方法的特点（续1 ） 4.阶跃响应不变法：相当于连续环节串联一个 零阶保持器后取Z变换常用来求取控制系统的对 象或其他环节的离散等效。无稳定性问题。 5.双线性变换法：无稳定性问题，导至频率特 性的严重畸变，在伯德图的设计中或系统要求 较高时，则要对变换式进行修正。 6.零极点匹配等效法：无稳定性问题，这种映 射有较好的逼近特性，首推此法。12.3PID控制器

9、的基本原理PID控制器的离散化表示连续域描述PID控制器的微分方程通过后向差分 法离散化：其中Ki为积分系数，Kd为微分系数PID控制器的两种形式 (1) 位置式PID 上页公式数字控制器的控制量u(k)与执行机构的 阀门开启位置一一对应，因此叫位置式PID算式 (2) 增量式PID优点是改善积分饱和，手动自动切换冲击小， 系统超调减少，动态时间缩短，动态性能改善 。 PID控制器的各种算法1. 不完全微分PID控制算法 误差变化率的大小决定微分控制量的大小， 而误差值的绝对大小不影响微分控制量强弱 。 当突然大幅度改变给定值时，会导至误差突 然大幅度改变，引起很大的误差变化率，因 此产生很强

10、的微分控制量，在一个采样周期 全部输出，使控制系统出现超调和振荡，系 统的调节性能下降。不完全微分PID控制算法（续 1） 引进不完全微分PID算法，其传递函数如下：其中：U(s)为PID控制器的输出；E(s)为偏差(控 制器的输入)；Krp实际的比例放大系数；Tri实际 的积分时间常数；Trd实际的微分时间常常数。 微分项为：比例和积分项为：不完全微分PID控制算法（续 2）先处理微分项写成时域微分方程通过后向差分法离散化不完全微分PID控制算法（续 3）将不完全微分PID算式的PI部分转化成时域差分 方程不完全微分PID控制算法（续 4） 不完全微分PID算式的差分方程为：积分分离PID算

11、法 积分控制是通过对误差的积分产生控制量来提高 控制精度，但是当偏差很大时，投入积分控制会 带来负作用，这时由积分项产生的控制量将很强 ，导致系统长时间的超调和大幅度的振荡，产生 积分饱和。 数字控制系统中要消除这种现象，可以采用积分 分离的方法解决，当误差很大时，不投入积分， 当误差比较小时加入积分，改善系统的稳态控制 精度，可以设定一个阀值a，按照下边方式控制。 变速积分PID算法 积分控制应该是误差大时减小积分作用，防止 超调和积分饱和，误差小时，加强积分迅速减 少稳态误差，提高系统的控制精度。 设置积分系数是误差的函数，即f(e(k) 变速积分PID的积分项为变速积分PID算法（续）总

12、的变速积分PID算式(1) 能完全消除积分饱和；(2) 减少超调量，稳定性得到改善；(3) 能适应较复杂的情况； (4) 参数整定简单，参数之间相互影响小。(5) 积分分离控制属于开关控制，而变速积分 控制连续性好，且控制平稳。优点 ：带死区的PID算式 在计算机控制系统中，为了防止执行机构频繁 动作，引起系统的不稳定则可以采用带死区的 PID控制算式特点是当系统对稳态控制精度要求不很高，如 液位控制等。本章小结 本章首先介绍了控制系统的六种离散化方 法：前向差分法、后向差分法、双线性变 换法、阶跃响应不变法、脉冲响应不变法 、零极点匹配等效法。然后比较了六种方 法的特点。接着介绍PID控制器以及其各种 算法。本章重点及要求 重点掌握六种离散化方法及特点 重点掌握PID控制器的基本原理、两种形式 。 掌握不完全微分PID控制算法、变速积分 PID算法。 理解积分分离PID算法和带死区PID算法。练习与思考 课后12.1，12.5，12.7，12.11