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1、 By Xiaojun Wang有限单元法 的基本概念和理论基础王晓军 航空科学与工程学院固体力学研究所2 /37 By Xiaojun Wang有限元法的基本思想(1) 有限元法，也叫有限单元法，它的基本思想是将一个结 构或连续体的求解域离散为若干个子域（单元），并通过它 们边界上的结点相互联结成为组合体。（a）三角形单元（b）四边形单元二维结构的有限元离散3 /37 By Xiaojun Wang（a）四面体单元（b）六面体单元三维实体的有限元离散有限元法的基本思想4 /37 By Xiaojun Wang(2) 有限元法用每一个单元内所假设的近似函数来分片地表示 全求解域内待求的未知场变
2、量。而每个单元内的近似函数由未 知函数或其导数在单元各个结点上的数值和与其对应的插值函 数来表示。由于在联结相邻单元的结点上，场函数应具有相同 的数值，因而将它们用作数值求解的基本未知量。这样一来， 求解原来待求场函数的无穷自由度问题转换为求解场函数结点 值的有限自由度问题。(3) 有限元法是通过和原问题数学模型（基本方程、边界条件 ）等效的变分原理或加权余量法，建立求解基本未知量（场函 数的结点值）的代数方程组或微分方程组。此方程组称为有限 元求解方程，并表示成规范的矩阵形式。接着用数值方法求解 此方程，从而得到问题的解答。有限元法的基本思想5 /37 By Xiaojun Wang某型飞机
3、前机身Catia模型图有限元法的应用实例6 /37 By Xiaojun Wang某型飞机前机身有限元模型图有限元法的应用实例7 /37 By Xiaojun Wang某型飞机全机有限元模型图有限元法的应用实例8 /37 By Xiaojun Wang 结构离散（有限元建模）结构离散（有限元建模）内容：内容：1 1）网格划分）网格划分-即把结构按一定规则分割成有限单元即把结构按一定规则分割成有限单元2 2）边界处理）边界处理-即把作用于结构边界上约束和载荷处理即把作用于结构边界上约束和载荷处理 为结点约束和结点载荷为结点约束和结点载荷要求：要求：1 1）离散结构必须与原始结构保形）离散结构必须
4、与原始结构保形-单元的几何特性单元的几何特性2 2）一个单元内的物理特性必须相同）一个单元内的物理特性必须相同-单元的物理特性单元的物理特性有限元法的基本概念9 /37 By Xiaojun Wang单元与结点单元与结点 单元单元：即原始结构离散后，满足：即原始结构离散后，满足 一定几何特性和物理特性的最小一定几何特性和物理特性的最小 结构域结构域 结点结点：单元与单元间的连接点。：单元与单元间的连接点。 结点力结点力：单元与单元间通过结点：单元与单元间通过结点 的相互作用力的相互作用力 结点载荷结点载荷：作用于结点上的外载：作用于结点上的外载 荷荷注意：注意： 1) 1) 结点是有限元法的重
5、要概念，有结点是有限元法的重要概念，有 限元模型中，相邻单元的作用通限元模型中，相邻单元的作用通 过结点传递，而单元边界不传递过结点传递，而单元边界不传递 力，这是离散结构与实际结构的力，这是离散结构与实际结构的 重大差别；重大差别； 2) 2) 结点力与结点载荷的差别结点力与结点载荷的差别结点载荷结点力有限元法的基本概念10 /37 By Xiaojun Wang非法结构离散有限元法的基本概念不同材料不同材料结点不合法结点不合法11 /37 By Xiaojun Wang典典 型型 单单 元元 类类 型型单元类型单元类型单元图形单元图形结点数结点数 结点自由度结点自由度 杆单元杆单元2 22
6、 2梁单元梁单元2 23 3平面单元平面单元3 32 2平面四边形平面四边形4 42 2轴对称问题轴对称问题3 32 2板壳单元板壳单元4 46 6四面体单元四面体单元4 43 3有限元法的基本概念12 /37 By Xiaojun Wang插值函数（或位移函数）插值函数（或位移函数）有限元法的基本概念用以表示单元内物理量变化（如位移或位移场）的近似函数 。由于该近似函数常由单元结点物理量值插值构成，故称为 插值函数，如单元内物理量为位移，则该函数称为位移函数 。选择位移函数的一般原则： 1）位移函数在单元结点的值应等于结点位移（即单元内部 是连续的）； 2）所选位移函数必须保证有限元的解收敛
7、于真实解。注： 为了便于微积分运算，位移函数一般采用多项式形式，在单 元内选取适当阶次的多项式可得到与真实解接近的近似解。13 /37 By Xiaojun Wang有限元法的收敛准则收敛准则：收敛准则： 1) 1) 位移函数必须包括单元的位移函数必须包括单元的刚性位移刚性位移（即常量项）；（即常量项）； 2) 2) 位移函数必须包括位移函数必须包括常量应变常量应变（即线性项）；（即线性项）； 3) 3) 位移函数在单元内部必须位移函数在单元内部必须连续连续（连续性条件）；（连续性条件）； 4) 4) 位移函数应使得相邻单元间的位移函数应使得相邻单元间的位移协调位移协调（协调性条件）；（协调性
8、条件）；在单元形状、结点个数确定之后，单元的位移模式的选取是影在单元形状、结点个数确定之后，单元的位移模式的选取是影 响解答的关键。当位移模式满足下述准则时，解答一定是收敛响解答的关键。当位移模式满足下述准则时，解答一定是收敛 的，即随着单元尺寸的缩小，解答趋于精确解。的，即随着单元尺寸的缩小，解答趋于精确解。注：注：上述四个条件称为有限元解收敛于真实解的充分条件；上述四个条件称为有限元解收敛于真实解的充分条件； 前三个条件称为必要条件。满足四个条件的位移函数构成的前三个条件称为必要条件。满足四个条件的位移函数构成的 单元称为单元称为完备协调元完备协调元；满足前三个条件的单元称为；满足前三个条
9、件的单元称为非协调元非协调元 ；满足前两个条件的单元称为；满足前两个条件的单元称为完备元完备元。14 /37 By Xiaojun Wang影响有限元解的误差：影响有限元解的误差：1) 1) 离散误差离散误差边界上以直线代曲线导致离散化模型与实际物体的差异。边界上以直线代曲线导致离散化模型与实际物体的差异。单元数目单元数目计算量计算量2) 2) 位移函数误差位移函数误差一般情况下单元位移函数不可能与实际单元的位移场一致。一般情况下单元位移函数不可能与实际单元的位移场一致。 3) 3) 计算机计算误差计算机计算误差计算机字长的限制、相差悬殊的数值加减运算。计算机字长的限制、相差悬殊的数值加减运算
10、。有限元法的收敛准则15 /37 By Xiaojun Wang 研究问题的力学建模研究问题的力学建模 结构离散结构离散 单元分析单元分析 整体分析与求解整体分析与求解 结果分析及后处理结果分析及后处理力学模型 (平面应力问题 )有限元模型有限元法的基本步骤16 /37 By Xiaojun Wang 微分方程组微分方程组边界条件边界条件A, B为微分算子 为体积域或面积域等 为域的边界 应力场应力场-弹性力学弹性力学 温度场温度场-热传导热传导 电磁场电磁场-电磁学电磁学 流速场流速场-流体力学流体力学场问题的一般描述17 /37 By Xiaojun Wang 应力作用于弹性体的外力(或称
11、荷载)可能有两种： 表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体 与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常 分解为平行于座标轴的三个成分，用记号 来表示。体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯 性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X 、Y、Z表示。弹性体受外力以后，其内部将产生应力。18 /37 By Xiaojun Wang弹性体内微小的平行六面体PABC，称为体素 PA=dx, PB=dy, PC=dz 每一个面上的应力分解 为一个正应力和两个剪 应力，分别与三个坐标 轴平行 正应力 剪应力应力19 /37 By Xiaojun Wang 为了表明这个
12、正应力的作用面和作用方向，加上 一个角码，例如，正应力 是作用在垂直于x轴的 面上同时也沿着x轴方向作用的。加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪 一个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一 个坐标轴。例如，剪应力 是作用在垂直于x轴的 面上而沿着y轴方向作用的。 正应力 剪应力应力20 /37 By Xiaojun Wang 应力的正负如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的正方 向，这个面上的应力就以沿坐标轴正方向为正，沿 坐标轴负方向为负。相反，如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴 的负方向，这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向 为正，沿坐标轴正方向为负。应力21 /37 By Xiaoju
13、n Wang 剪应力互等定律 作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面 交线的剪应力是互等的。(大小相等，正负号也相同 )。因此剪应力记号的两个角码可以对调。由力矩平衡得出简化得剪应力互等应力22 /37 By Xiaojun Wang考虑微元体各个面上的法向应力和剪应力与其体 力平衡，注意应力从一个面到对面是变化的，即有增 量，将作用于微元体各个方向的力求和，略去高阶项 ，可得平衡方程：平衡微分方程23 /37 By Xiaojun Wang 可以证明：如果 这六个量在P点 是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的正应力和剪应 力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态，它们就 称为在该点
14、的应力分量。一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因此， 描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，而 是坐标x、y、z的函数。六个应力分量的总体，可以用一个列向量来表示：应力分量24 /37 By Xiaojun Wang 弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的变形状态，一般有两种方式来描述：1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z三个 坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称为位移分 量。一般情况下，弹性体受力以后，各点的位移并不 是定值，而是坐标的函数。位移及应变、几何方程、刚体位移2
15、5 /37 By Xiaojun Wang 体素的变形可以分为两类：一类是长度的变化，一类是角度的变化。任一线素的长度的变化与原有长度的比值称为线应变( 或称正应变)，用符号 来表示。沿坐标轴的线应变，则加上 相应的角码，分别用 来表示。当线素伸长时，其线 应变为正。反之，线素缩短时，其线应变为负。这与正应力 的正负号规定相对应。任意两个原来彼此正交的线素，在变形后其夹角的变化 值称为角应变或剪应变，用符号 来表示。两坐标轴之间的 角应变，则加上相应的角码，分别用 来表示。规 定当夹角变小时为正，变大时为负，与剪应力的正负号规定 相对应(正的 引起正的 ，等等)。应变26 /37 By Xiaojun Wang考察了体素在XOY一个平面内的变形情况，可得考察体素在XOZ和YOZ平面内的变形情况，可得：联立得到几何方程，表明应变分量与位移分量之间的关系。应变分量与位移分量的关系27 /37 By Xiaojun Wang可以证
