《概率论与数理统计》浙大四版45节

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1、4 等可能概型（古典概型） 随机试验 样本空间、随机事件 频率与概率 等可能概型（古典概型） 条件概率 独立性一、古典概型1. 假定某个试验有有限个可能的结果2. 所有结果在试验中有同等可能的出现机 会，即每个基本事件发生的可能性相同.“等可能性”e1, e2, ，en ,二、古典概型中事件的概率计算设试验E是古典概型, 其样本空间S由n个样本点组成 , 事件A由k个样本点组成 . 则事件A的概率为：A包含的样本点数P(A)k/nS中的样本点总数2 3479 108 615例如，一个袋子中装有 10个大小、形状完全相同 的球. 将球编号为110 . 把球搅匀，蒙上眼睛，从 中任取一球.S=1,

2、2,10 ,记 A=摸到2号球P(A)=?记 B=摸到红球P(B)=?从3个元素取出2个 的排列总数有6种从3个元素取出2个 的组合总数有3种排列组合是计算古典概率的重要工具 .某城市的电话号码由8个数字组成，每个 数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求 电话号码由8个不同数字组成的概率.三、古典概型计算举例例1 将一枚硬币抛掷三次，求至少有一次出 现正面的概率解：设A为“至少有一次出现正面”“全为反面”请问： 将一枚硬币抛掷三次，考察出现正 面的次数，此是否是一个等可能概型？例2 4只白球和2只红球放在一袋中，随机取球 两次，每次取一只，分别作(a)放回抽样，(b) 不放回抽样，求（1）

3、取到两球都是白球的概率（2）两球同色的概率（3）取到两球中至少有一白球的概率A：两球都是白色B：两球都是红色C：两球中至少有一白球例3 将n只球随机的放入N(Nn)个盒子中去， 试求每个盒子至多有一只球的概率有r 个人，每个人的生日是365天的任何 一天是等可能的，试求事件“至少有两人同 天生日”的概率.人数 至少有两人同生日的概率20 0.41121 0.44422 0.47623 0.50724 0.53830 0.70640 0.89150 0.97060 0.994 所有这些概率都是在假定 一个人的生日在 365天的任 何一天是等可能的前提下计 算出来的. 实际上,这个假定 并不完全成

4、立，有关的实际 概率比表中给出的还要大 . 当人数超过23时，打赌说至 少有两人同生日是有利的.例4 有N件产品，其中有D件次品，今从中任 取n件，恰有k件次品的概率是多少？（不放回 抽样）超几何分布例5 袋中有a只白球，b只红球，k个人依次在袋 中取一只球，（1）放回抽样 (2)不放回抽样， 求第i（i=1,2,k）人取到白球（用B表示）的 概率解：例6 1-2000的整数中随机的取一个数，取到的 整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率。解：A :能被6整除，B:能被8整除例7 15名新生随机平均的分到三个班级，其中 有优秀 生3名，问（1）每一个班级各分配到一 名优秀生的概率；（2）3名

5、优秀生分在同一个 班的概率。例8 把C、C、E、E、I、N、S七个字母分 别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入 同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片 取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设 排列结果恰好拼成一个英文单词： C ISN C EE问：在多大程度上认为这样的结果是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？拼成英文单词SCIENCE 的情况数为故该结果出现的概率为：这个概率很小，这里算出的概率有如 下的实际意义：如果多次重复这一抽卡试 验，则我们所关心的事件在1260次试验中 大约出现1次 .解：七个字母的排列总数为7！这样小概率的事件在一次抽卡的试验中就发生了，人们有比较大的把握怀疑这 是魔术

6、.具体地说，可以99.9%的把握怀疑这 是魔术.“等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认 为各基本事件或样本点是等可能的.1、在应用古典概型时必须注意“等可能性”的 条件.需要注意的是：在许多场合，由对称性和均衡性，我 们就可以认为基本事件是等可能的并在此 基础上计算事件的概率.2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须 注意不要重复计数，也不要遗漏. 例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只 鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的 概率是多少？ 下面的算法错在哪里？错在同样的“4只配成 两双”算了两次.97321456810从5双中取1双，从剩 下的 8只中

7、取2只例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只 鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的 概率是多少？ 正确的答案是：请思考：还有其它解法吗？2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须 注意不要重复计数，也不要遗漏.3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同 一类型：有n个人，每个人都以相同的概率 1/N (Nn)被分在 N 间房的每一间中，求指定的n 间房中各有一人的概率.人房3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同 一类型：有n个旅客，乘火车途经N个车站，设每 个人在每站下车的概率为1/ N(N n) ，求指 定的n个站各有一人下车的概率.旅客车站在解决许多概率问题时，往往需要在 有某些附加信

8、息(条件)下求事件的概率.一、条件概率1. 概念如在事件A发生的条件下求事件B发生的 概率，将此概率记作P(B|A).一般 P(B|A) P(B) 5 条件概率例如，抛一枚硬币两次，观察出现正反面 的情况，A为“至少有一次正面” ，B为“两次 掷出同一面”，求A已经发生的条件下B发生的概率。P(B|A) P(B)P(B|A) P(AB)若事件A已发生, 则为使 B也发生 , 试验结果必须是既 在 B 中又在A中的样本点 , 即 此点必属于AB. 由于我们已经 知道A已发生, 故A变成了新的 样本空间 , 于是有(1). 设A、B是两个事件，且P(A)0,则称(1)2. 条件概率的定义为在事件A

9、发生的条件下,事件B的条件概率.3. 条件概率的性质设A是一事件，且P(A)0,则1. 对任一事件A，0P(B|A)1;2. 对于必然事件S，P(S|A)=1.而且，前面对概率所证明的一些重要性质 都适用于条件概率.3.设B1,Bn ,互不相容，则2)从加入条件后改变了的情况去算 4. 条件概率的计算 1) 用定义计算:P(B|A）=A 所含样本点总数AB 中B所含样本点 个数例1 一只盒子装有4只产品，其中3只一等品 ，1只二等品，从中取产品二次，不放回抽 样，每次任取一只，设A为“第一次取到的是 一等品”，B为“第二次取到的是一等品”，求 P(B|A) 将产品编号，1、2、3表示一等品，4

10、表 示二等品。S=(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3)A=(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,4),(2,3),(3,1),(3,2),(3,4)AB=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)例2 设某种动物由出生算起活到20年以上的 概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现 年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概 率是多少？解：设A=能活20年以上，B=能活25年以上依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4所求为P(B|

11、A) .注意P(AB)与P(B | A)的区别！请看下面的例子甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件 是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个是 标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个 零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？所求为P(AB).甲、乙共生产 1000 个189个是 标准件300个 乙厂生产300个 乙厂生产设A=零件是乙厂生产B=是标准件所求为P(AB) .设A=零件是乙厂生产B=是标准件若改为“发现它是乙厂生产的, 问它是标准件的概率是多少?”求的是 P(B|A) .A发生, 在P(AB)中作为结果; 在P(B|A)中作为条件.甲、乙共生产 1000 个1

12、89个是 标准件300个 乙厂生产由条件概率的定义：若P(A)0, 则P(AB)=P(A)P(B|A) (2)二、 乘法公式若P(B)0, 则P(AB)=P(B)P(A|B) (3)若P(AB)0, 则P(A)0P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A) 当P(A1A2An-1)0时，有P (A1A2An）=P(A1)P(A2|A1) P(An| A1A2An-1)例3 袋子中包含t个白球和r个红球. 随机地 抽取一个球，观看颜色后放回，并且再加进 a个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手 续进行四次，试求第一、二次取到红球且第 三、四次取到白球的概率. 解：Ai(i=1,2,3,4)

13、表示“第i次取到红球”例4 一种透镜，第一次落下时打破的概率为 1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破 的概率为7/10，若前两次落下未打破，第三 次落下打破的概率为9/10，求透镜三次落下 而未打破的概率。解：Ai(i=1,2,3)表示“第i次落下打破”由条件概率的定义：若P(A)0, 则P(AB)=P(A)P(B|A) (2)三、 全概率公式和贝叶斯公式若P(B)0, 则P(AB)=P(B)P(A|B) (3)全概率公式和贝叶斯公式主要用于 计算比较复杂事件的概率, 它们实质上 是加法公式和乘法公式的综合运用. 综合运用乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)0加法公式

14、P(A B)=P(A)+P(B) A、B互斥定义：设S为试验E的样本空间，B1,B2,Bn为E 的一组事件，若则称B1,B2,Bn为S的一个划分设B1,B2,Bn是S的一个划分，且P(Bi)0， i =1,2,n, 另有一事件A, 则 全概率公式:在较复杂情况下直接计算P(A)不易,但A总是 伴随着某个Bi出现，适当地去构造这一组Bi 往往可以简化计算.全概率公式的来由, 不难由上式看出:“全”部概率P(A)被分解成了许多部分之和.它的理论和实用意义在于:设S为试验E的样本空间，B1,B2,Bn为E 的一个划分，若P(A)0且P(Bi)0， i =1,2,n, 贝叶斯公式:常用的公式：例6 某

15、电子元件厂所用的元件来自三个制造厂，以 往记录数据如下：三家工厂的产品在仓库中均匀混合，且无区别 标志 （1）随机取一只元件，是次品的概率。制造厂次品率提供份额额 10.020.15 20.010.80 30.030.05（2）已知取到的是次品，问次品来自哪一家工厂 的可能性最大？贝叶斯公式所求的是条件概率，是已知 某结果发生条件下，求各原因发生可能性大 小.在实际中有很多应用，它可以帮助人们确 定某结果发生的最可能原因.由此可以形象地把全概率公式看成为“由 原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定 的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因 的“作用”大小有关. 全概率公式表达了它们之 间的关系 .例7 对以往数据分析，当机器调整良好时，产品的 合格率为98%，而当机器发生故障时合格率为55% ，每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为 95%，已知某日早上第一件产品是合格品时，机器 调整得良好的概率是多少？解： A：产品合格 B：机器良好例 8 某一地区患有癌症的人占0.005，患者 对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常 人对这种试验反应是阳性的概率为0.