《备战2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题47待定系数法——求曲线的方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《备战2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题47待定系数法——求曲线的方程（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1专题专题 4747 待定系数法待定系数法-求曲线的方程求曲线的方程【热点聚焦与扩展热点聚焦与扩展】待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程.使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解.例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解.使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒
2、等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.本文在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利用待定系数法确定曲线方程.待定系数法中方程的形式： 直线：ykxm，xmyt 圆：220xyDxEyF；222xaybr. 椭圆：标准方程：222210xyabab（或222210yxabab，视焦点所在轴来决定）椭圆方程通式：2210,0mxnymn(1)方程2222y+=1x ab与2222y+= ( 0)x ab 有相同的离心率(2)与椭圆2222+=1(ab0)xy ab共焦点的椭圆系方程为22 2 22+=1(ab0,0)xybkakbk
3、，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便 双曲线：(1)标准方程：222210,0xyabab（或222210,0yxabab，视焦点所在轴决定）双曲线方程通式：2210mxnymn(2) 相同渐进线的双曲线系方程：与双曲线22221xy ab渐近线相同的双曲线系方程为：222220xy ab 抛物线：标准方程：220ypx p等抛物线方程通式：2ymx，2xmy【经典例题经典例题】例 1. 一条光线从点2, 3射出，经y轴反射后与圆22321xy相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）（A）5 3或3 5 （B）3 2 或2 3 （C）5 4或4 5 （D）4 3或3 4【答案】D例 2.设斜率为
4、2 的直线l过抛物线2yax 0a 的焦点 F，且和 y 轴交于点 A. 若(OAF O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为（ ）Ay24xBy28xCy24xDy28x【答案】D【解析】2yax的焦点是4aF （, 0），直线l的方程为2()4ayx，令0x 得, (0,)22aayA，所以由OAF的面积为4得，214,64,82 2 4a aaa ，故选D. x/k/w例 3.中心为原点，焦点在x轴上，离心率为2 2e ，且与直线2 3yx相切的椭圆的方程为（ ）A22 13216xy B22 163xy C22 184xy D22 1124xy【答案】C3【解析】因为椭圆的离心率2
5、2e ，所以22ac，所以21122 ab，2122 ab，则可设椭圆的方程为122222 by bx，与2 3yx联立，并化简得022438322bxx，因为直线与椭圆相切，所以0，即0)224(34)38(22b，解得42b，则82a，所以椭圆的方程为22 184xy例 4.【2018 届华大新高考联盟高三 1 月】抛物线的顶点在坐标原点，开口向上，其准线经过双曲线22 149xy 的一个顶点，则此抛物线的标准方程为 （ ）A. 28xy B. 212xy C. 28yx D. 212yx【答案】A例 5.【2017 天津，文 5】已知双曲线22221(0,0)xyabab的左焦点为F，点
6、A在双曲线的渐近线上，OAF是边长为 2 的等边三角形（O为原点） ，则双曲线的方程为（A）22 1412xy（B）22 1124xy（C）2 213xy（D）2 213yx 【答案】D 【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：22202tan603ccab b a ，解得：221,3ab，双曲线方程为：2 213yx ，本题选择 D 选项.例 6.【2018 届天津市部分区高三上学期期末】以点0,b为圆心的圆与直线21yx相切于点1,3，则4该圆的方程为_【答案】2 275 24xy答案： 2 275 24xy例 7.求经过点P(-2 3,1),Q( 3,-2)两点的椭圆标准方程.【答案】
7、22y+=1155x【解析】设椭圆方程为221mxny (0)0mnmn，且，点P(-2 3,1),Q( 3,-2)在椭圆上，121 341mn mn ，解得11m=,n=.155故22y+=1155x为所求椭圆标准方程例 8.已知椭圆:C22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12,F F，离心率为1 2，经过点2F且倾斜角为45o的直线l交椭圆于,A B两点5（1）若1ABF的周长为 16，求直线l的方程；（2）若24|7AB ，求椭圆C的方程【答案】 （1）2: xyl；（2）13422 yx【解析】试题分析：（1）1ABF的周长为16可得a的值，由离心率为1 2得c的值，得2F坐
8、标，代入直线的点斜式方程可得直线l的方程；（2）由离心率及cba,关系化简椭圆方程2221243cyx，联立椭圆及直线方程，整理关于x的一元二次方程，由根与系数的关系得21,xx的值，代入弦长公式，建立等式，可得c的值，从而得椭圆的方程则cxx7821 2 2178cxx 且0 724 724 732 496424222 212 21 cccxxxxAB，6解得1 c，从而得所求椭圆 C 的方程为 13422 yx例 9.椭圆2222:10xyCabab的右焦点为F，右顶点，上顶点分别为,A B，且5 2ABBF （1）求椭圆C的离心率 x/k*w （2）若斜率为2的直线l过点0,2，且l交椭
9、圆C于,P Q两点，OPOQ，求直线l的方程及椭圆C的方程【答案】（1）3 2；（2）2 214xy.【解析】（1）由椭圆方程可得：,0 ,0.,0A aBbF c 2222,ABabBFbca 5 2ABBFQ 2222255 24abaaba 2242abab 联立方程：2222244yxxyb ，消去y可得：2224 2240xxb，即：72217321640xxb 2121216432,1717bx xxx 212121212142222444417by yxxx xxx 22121216414401717bbx xy y，解得：1b 经检验：当1b ，满足直线与椭圆有两个交点，所以符
10、合条件椭圆方程为2 214xy 例 10.已知点F是椭圆C的右焦点，,A B是椭圆短轴的两个端点，且ABFV是正三角形（1）求椭圆C的离心率（2）直线l与以AB为直径的圆O相切，并且被椭圆C截得的弦长的最大值为2 3，求椭圆C的标准方程【答案】（1）3 2；（2）22 1123xy.（2）由（1）可得椭圆的方程为：22244xyb，8设l与椭圆C的交点为1122,M x yN xy若l斜率不存在，可得弦长3MNb若l斜率存在，设: l ykxm，联立方程：2222 2224184044ykxmkxkmxmbxyb2212122248,1414mbkmxxx xkk 22222 12121211
11、4MNkxxkxxx x，整理可得： 22222 22216 1414kbmk bMN k 2 3a 椭圆方程为：22 1123xy【精选精练精选精练】1.【2018 届云南省昆明市第一中学高三第五次月考】直线l过点0,2且圆2220xyx相切，则直线的l的方程为（ ）A. 3480xy B. 3420xy9C. 3480xy或0x D. 3420xy或0x 【答案】C【解析】当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为2ykx，而圆心为1, 0，半径为1，所以221 1kd k ，解得3 4k ；当直线l的斜率不存在，即直线l为0x 时，直线l与圆2220xyx相切，所以直线l的方程为3480xy
12、或0x ，故选：C2.已知圆2222210xxymym ，当圆的面积最小时，直线yxb与圆相切，则b （ ）A1 B1 C2 D2【答案】C【解析】由题意可知：圆的标准方程为111222mmyx，所以当1m时圆的面积最小，此时圆的圆心为 1 , 1，半径为 1，又因为直线yxb与圆相切，所以212bbd. x.k.w 3.已知抛物线的焦点为 ，点 为 上一动点， ，且的最小值为，则等于（ ）A. 4 B. C. 5 D. 【答案】B4.如图所示，已知椭圆方程为， 为椭圆的左顶点，在椭圆上，若四边形为平行四边形，且，则椭圆的离心率为（ ）10A. B. C. D. 【答案】C【解析】令椭圆的右端
13、点为点 ，根据对称性可知，那么，又根据椭圆的对称性可知，点关于 轴对称，设点 的横坐标是 ，代入椭圆方程，解得，即 ，因为，所以 ，即，可得 ，即 ，即，故选 C.5.【2018 届江西省南昌市高三第一次模拟】已知椭圆， 为坐标原点，是椭圆上两点，的斜率存在并分别记为、，且，则的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】C联立方程：可得：，11则：，此时.本题选择 C 选项.6.【2018 届江苏省镇江市高三上学期期末】已知圆C与圆2210100xyxy相切于原点，且过点0, 6A，则圆C的标准方程为_【答案】223318xy【解析】设圆C的标准方程为222xaybr，其圆心为,C a b，半径为(0)r r 2210100xyxy可化简为225550xy故答案为223318xy7.【2018 届内蒙古集宁第一中学高三上学期第二次月考】已知双曲线与椭圆22 1934xy的焦点相同,如果3 4yx是双曲线的一条渐近线,那么双曲线的方程为_.【答案】22 1916yx【解析】椭圆方程为22 1934xy，双曲线与椭圆22 1934xy的焦点相同12双曲线的焦点坐标为0, 5设双曲线方程为22221yx ab (0,0)ab，则 c=53 4yx是双曲线的一条渐近线3 4a b,222cab3a ， 4b 双曲线的方
