《备战2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题44举重若轻——立体几何问题的空间向量方法（ii）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《备战2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题44举重若轻——立体几何问题的空间向量方法（ii）（44页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1专题专题 4444 举重若轻举重若轻-立体几何问题的空间向量方法（立体几何问题的空间向量方法（IIII）【热点聚焦与扩展热点聚焦与扩展】利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题中的一问为主，主要围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题，以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向空间的角与距离的计算（特别是角的计算）是高考热点，一般以大题的条件或一小问形式呈现，考查用向量方法解决立体几何问题，将空间几何元素之间的位置关系转化为数量关系，并通过计算解决立体几何问题距离问题往往在与有关面积、体积的计算中加以考查此类问题往往属
2、于“证算并重”题，即第一问用几何法证明平行关系或垂直关系，第二问则通过建立空间直角坐标系，利用空间向量方法进一步求角或距离.本专题通过例题重点说明利用空间向量求角和距离、存在性问题的方法与技巧.（一）空间向量可解决的立体几何问题（用, a br r 表示直线, a b的方向向量，用,m nu r r 表示平面, 的法向量）1、判定（证明）类（1）线面平行：ababrr （2）线面垂直：ababrr（3）面面平行：m nu rr（4）面面垂直：mnu rr2、计算类：（1）两直线所成角：coscos,a ba ba br rr rr r （2）线面角：cos,sina ma ma m （3）二面
3、角：coscos,m nm nm nu r ru r ru r r或coscos,m nm nm n u r ru r ru r r（视平面角与法向量夹角关系而定）（4）点到平面距离：设A为平面外一点，P为平面上任意一点，则A到平面的距离为2AAP nd nuuu r rr，即APuuu r 在法向量nr 上投影的绝对值.（二）点的存在性问题：在立体几何解答题中，最后一问往往涉及点的存在性问题，即是否在某条线上存在一点，使之满足某个条件，本讲主要介绍使用空间向量解决该问题时的方法与技巧1、理念：先设再求先设再求先设出所求点的坐标, ,x y z，再想办法利用条件求出坐标2、解题关键：减少变量数
4、量减少变量数量, ,x y z可表示空间中的任一点，但题目中所求点往往是确定在某条线或者某个平面上的，所以使用三个变量比较“浪费” （变量多，条件少，无法求解） ，要考虑减少变量的个数，最终所使用变量的个数可根据如下条件判断：（1）直线（一维）上的点：用一个变量就可以表示出所求点的坐标（2）平面（二维）上的点：用两个变量可以表示所求点坐标规律：维度维度= =所用变量个数所用变量个数3、如何减少变量：（1）直线上的点（重点）：平面向量共线定理若,abR rr使得abrr例：已知1,3,4 ,0,2,1AP，那么直线AP上的某点, ,M x y z坐标可用一个变量表示，方法如下：1,3,4 ,1,
5、 1, 3AMxyzAP uuuu ruuu r 三点中取两点构成两个向量因为M在AP上，所以AMAPAMAPuuuu ruuu ruuuu ruuu r 共线定理的应用（关键）11 33 4343xx yy zz ，即1,3,43M仅用一个变量表示（2）平面上的点：平面向量基本定理若, a br r 不共线，则平面上任意一个向量cr ，均存在,R ，使得：cabrrr例：已知1,3,4 ,0,2,1 ,2,4,0APQ，则平面APQ上的某点, ,M x y z坐标可用两个变量表示，方法如下：1,3,4 ,1, 1, 3 ,2,2, 1AMxyzAPPQ uuuu ruuu ruuu r ，故
6、AMAPPQuuuu ruuu ruuu r ，即1212 3232 4343xx yy zz 3（三）方法与技巧1.两条异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，过空间任一点O作直线aa，bb，则a与b所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角范围：两异面直线所成角的取值范围是(0,2向量求法：设直线a，b的方向向量为a a，b b，其夹角为，则有cos|cos| | |a b abr r rr.2.直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e e，平面的法向量为n n，直线l与平面所成的角为，两向量e e与n n的夹角为，则有 sin |cos |.| |e en n| | | |
7、e e| | |n n| |3.求二面角的大小(1)如图 1，AB、CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小ABu uu uu u r r ，CDu uu uu u r r (2)如图 2、3，12,n nu r u u r 分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小12,n n(或12,n n )4.点面距的求法如图，设AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则B到平面的距离d.|ABn|n|【经典例题经典例题】例 1. 如图，正四面体ABCD中， E、F分别是棱BC和AD的中点，则直线AE和CF所成的角的余弦4值为（ ）A. 1 3B. 2 3C. 1 4D.
8、3 4【答案】B【解析】如图所示，作 AO底面 BCD，垂足为 O，O 为底面等边BCD 的中心，建立空间直角坐标系不妨取 CD=2则：332 3131,0 ,1,0 ,0,0 ,033,326CDBE，利用空间向量求解余弦值有：2cos,3AE CFAE CF AECF uuu r uuu ruuu r uuu r uuu ruuu r .异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值为2 3.5例 2.【2017 江苏，22】 如图, 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，AA1平面 ABCD,且 AB=AD=2,AA1=3,120BAD.（1）求异面直线 A1B 与 AC1所成角的余弦值
9、；（2）求二面角 B-A1D-A 的正弦值.【答案】 （1）1 7（2）7 467例 3. 如图，在长方体1111CDC DAA 中，11AA ，D2A A，、F分别是A、C的中点证明1A、1C、F、四点共面，并求直线1CD与平面11C FA所成的角的正弦值大小.【答案】15 158【解析】解：如图，以D为原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为12,0,1A、1C0,2,1、2,1,0、F 1,2,0、C 0,2,0、1D0,0,1取1u ，得平面11C FA的一个法向量) 1 , 1 , 1 (n又1CD0, 2,1uuuu r，故11CD15 15CDnn uuuu rr uuuu r
10、r因此直线1CD与平面FECA11所成的角的正弦值大小为15 15例 4. 如图，三棱柱111ABCABC中， 0 1111160 ,4B A AC A AAAAC ， 2AB ， ,P Q分别为棱1,AA AC的中点.（1）在平面ABC内过点A作/ /AM平面1PQB交BC于点M，并写出作图步骤，但不要求证明.（2）若侧面11ACC A 侧面11ABB A，求直线11AC与平面1PQB所成角的正弦值.9【答案】 （1）见解析（2）39 13试题解析：（1）如图，在平面11ABB A内，过点A作1/ /ANB P交1BB于点N，连结BQ，在1BBQ中，作1/ /NHBQ交BQ于点H，连结AH并
11、延长交BC于点M，则AM为所求作直线.（2）连结11,PC AC，0 111114,60AAACACC A A，11AC A为正三角形.P为1AA的中点，11PCAA，10Q为AC的中点，点Q的坐标为0, 3, 3，110, 2,2 3 ,0, 3, 3ACPQuuuu ruuu r .0 11112,60ABABB A A，13,1,0B，13,1,0PB uuu r ，设平面1PQB的法向量为, ,mx y zr，由10 0PQ mPB muuu rr uuu rr得330 30yzxy，令1x ，得3,3yz ，所以平面1PQB的一个法向量为1,3, 3m r.设直线11AC与平面1PQ
12、B所成角为a，则11 111139sincos,13AC mAC m AC m uuuu rruuuu rruuuu rr，即直线11AC与平面1PQB所成角的正弦值为39 13.例 5.【2017 课标 1，理 18】如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB/CD，且90BAPCDP o.11（1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC，90APDo，求二面角 A-PB-C 的余弦值.【答案】 （1）见解析；（2）3 3.【解析】试题解析：（1）由已知90BAPCDP ，得 ABAP，CDPD.由于 ABCD ，故 ABPD ，从而 AB平面 PAD.又 AB 平面
13、PAB，所以平面 PAB平面 PAD.12由（1）及已知可得2(,0,0)2A，2(0,0,)2P，2(,1,0)2B，2(,1,0)2C .设( , , )x y zm是平面PAB的法向量，则00PAABuu u ruuu rmm，即22022 0xzy ，可取(1,0,1)m.则3cos,|3 nnn.22所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为2 6 9.例 9.已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，且2,1,ADABPA平面 ABCD，,E F分别是线段,AB BC的中点（1）求证：PFFD （2）在线段PA上是否存在点G，使得EG平面PFD，若存在，确定点G的位置；若不存在，
14、请说明理由（3）若PB与平面ABCD所成的角为45o，求二面角APDF的余弦值FEADBCP【答案】 （1）见解析；（2）存在点G，为AP的四等分点（靠近A） ；（3）6 6.【解析】因为PA 平面ABCD，且四边形ABCD是矩形 以,PA AD AB为轴建立空间直角坐标系，设PAh 10,0,1,0,0 ,0,2,0 ,1,2,0 ,1,1,0 ,0,02PhBDCFE（1）1,1,1,1,0PFhFD uuu ruuu r0PF FDuuu r uuu rPFFD （2）设0,0,Ga 1,0,2EGa uuu r231202EG nha uuu r r 解得1 4ah 存在点G，为AP的四等分点（靠近A）（3）PA Q底面ABCD PB在底面ABCD的投影为BA PBA为PB与平面ABCD所成的角，即45PBAoPBAV为等腰直角三角形 1APAB即1h 平面PFD的法向量为1,1,2n r平面APD为yOz平面，所以平面APD的法向量为0,1,0m u r设二面角APDF的
