《备战2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题54圆锥曲线的定点、定值、定直线问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《备战2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题54圆锥曲线的定点、定值、定直线问题（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1专题专题 5454 圆锥曲线的定点、定值、定直线问题圆锥曲线的定点、定值、定直线问题【热点聚焦与扩展热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质；四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直线、存
2、在性和探索性问题等.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利用代数方法求解最值、范围问题.（一）所谓定值问题，是指虽然圆锥曲线中的某些要素（通常可通过变量进行体现）有所变化，但在变化过程中，某个量的值保持不变即为定值.1、常见定值问题的处理方法：（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量） ，然后进行化简，看能否得到一个常数.2、定值问题的处理技巧：（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.（2）在运算过程中，尽
3、量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算（二）处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为k）（2）利用条件找到k与过定点的曲线,0F x y 的联系，得到有关k与, x y的等式（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点00,xy，使得无论k的值如何变化，等式恒成立.此时要将关于k与, x y的等式进行变形，直至易于找到00,xy.常见的变形方向如下： 若等式的形式为整式，则考虑将含k的项归在一组，变形为“ k ”的形式，从而00,xy只需要先让括号内的部分为零即可 若等式为含k的分式， 00,xy
4、的取值一方面可以考虑使其分子为 0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去k的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择2容易观察到的形式）2、一些技巧与注意事项：（1）面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定点（或定直线）.然后再验证该点（或该直线）对一般情况是否符合.属于“先猜再证”.（2）有些题目所求与定值无关，但是在条件中会隐藏定点，且该定点通常是解题的关键条件.所以当遇到含参数的方程时，要清楚该方程为一类曲线（或直线） ，从而观察这一类曲线是否过定点.尤其在含参数的直线方程中，要能够找到定点，抓住关键条件.例如：直线:1lykxk，就应该能
5、够意识到11yk x，进而直线绕定点1, 1 旋转.（三）定直线问题是证明动点在 定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为 求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等【经典例题经典例题】例 1. 【2018 年理北京卷】已知抛物线 C：=2px 经过点 （1，2） 过点 Q（0，1）的直线 l 与抛物线 C有两个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N（）求直线 l 的斜率的取值范围；（）设 O 为原点，求证：为定值【答案】(1) 取值范围是（-，-3）（-3，0）（0，1）(2)证明过程见解析所以 4=2p，解得 p=2，所以抛物线的方
6、程为 y2=4x由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0，设直线 l 的方程为 y=kx+1（k0） 由得3依题意，解得 k0 或 0k1又 PA，PB 与 y 轴相交，故直线 l 不过点（1，-2） 从而 k-3所以直线 l 斜率的取值范围是（-，-3）（-3，0）（0，1） （）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 由（I）知，所以所以为定值点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、 “定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，
7、到最后必定参数统消，定点、定值显现.例 2.【2018 届安徽省淮南市二模】已知抛物线 的顶点在原点，焦点在 轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为 6.(1)求该抛物线 的方程；(2)已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点，并说明理由.【答案】 （1）；（2）过定点4【解析】分析：（1）根据抛物线性质求出 p，得出抛物线方程；（2）设 MD 斜率为 k，联立方程组，求出D，E 的坐标，得出直线 DE 的方程，从而得出结论详解：（1）由题意设抛物线方程为，其准线方程为，设，则，同理可得 ,所以直线的方程为 化简的 .直线过定点.点睛：（1）本题主要考查了抛物线的性质，考
8、查了直线和抛物线的位置关系和直线的定点问题.(2) 定点问题：对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，证明直线过定点，一般有两种方法.（1）特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位5置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.（2）分离参数法：一般可以根据需要选定参数，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式， （一般地，为关于的二元一次关系式）由上述原理可得方程组，从而求得该定点.例 3.如图，已知椭圆2222:10xyCabab的左右焦点为12,F F，其上顶点为A，已知12F AF
9、A是边长为 2 的正三角形（1）求椭圆C的方程（2）过点4,0Q 任作一动直线l交椭圆C于,M N两点，记MQQN ，若在线段MN上取一点R使得MRRN ，试判断当直线l运动时，点R是否在某一定直线上运动？若在，请求出该定直线；若不在请说明理由【答案】 （1）22 143xy（2）定直线1x 上.【解析】解：（1）由椭圆方程可得12,0 ,0 ,0,FcF cAb12F AFA为边长是 2 的三角形122221FFcc3OAb2224abc 22 143xy（2）设:4MNyk x设1122,M x yN xy， 11224,4,MQxyQNxy 6由MQQN 可得：1 12 24444xxx
10、x 2222343264120kxk xk22121222326412,3434kkxxx xkk代入到可得：22222022264123224243434341243283434kk kkkxk kk R在定直线1x 上例 4.【衡水金卷】四省 2018 届高三第三次大联考】如图，在平面直角坐标系中，已知点，过直线 ：左侧的动点 作于点 ，的角平分线交 轴于点，且，记动点 的轨迹为曲线 .（1）求曲线 的方程；（2）过点 作直线交曲线 于两点，点 在 上，且 轴，试问：直线是否恒过定点？请说明理由.7【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】分析：（1）设，由题意结合距离公式计算可得轨迹方程
11、为；（2）由已知可得直线的斜率不为 0，设直线的方程为，与椭圆方程联立可得，记，则，则直线的方程为，集合韦达定理化简可得直线的方程为，则直线过定点.可设直线的方程为，联立方程组消去得，恒成立，记，则，8则，直线的斜率为，直线的方程为，即，又，直线的方程为，直线过定点.例 5.如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为2 2的椭圆2222:10xyCabab的左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于,P Q两点，直线,PA QA分别与y轴交于,M N两点，当直线PQ的斜率为2 2时，2 3PQ （1）求椭圆C的标准方程 （2）试问以MN为直径的圆是否过定点（与PQ的斜率无关）？请证
12、明你的结论【答案】 （1）22 :142xyC；（2）以MN为直径的圆恒过2,0.【解析】解：（1）由2 2PQk可得：2:2PQ yx9002,2P xx由对称性可知：132OPPQ22 0002322xxx2,1P 由2 2cea可得:2 :1:1a b c 椭圆方程为222212xy bb代入2,1P，可得：222,4ba22 :142xyC202224422121kkykkk222244,21 21kkPkk从而222244,2121kkQkk22222244012121 822422121AQkk kkkkkk kk 1:22AQ yxk ，因为,M N是直线,PA QA与y轴的交点
13、10,2,0,MkNk以MN为直径的圆的圆心为2210,2k k ，半径221 2krk10圆方程为：2222 22121 22kkxykk，整理可得：222222 222221212121222kkkkxyyxyykkkk所以令0y ，解得2x 以MN为直径的圆恒过2,0例 6.已知椭圆2222:10xyCabab的离心率为1 2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线60xy相切，过点4,0P且不垂直x轴的直线l与椭圆C相交于,A B两点（1）求椭圆C的方程（2）若B点关于x轴的对称点是E，求证：直线AE与x轴相交于定点【答案】 （1）22 143xy；（2）定点1,0.联立方程可得
14、： 22 143 4xyyk x ，消去y可得：22234412xkx112222433264120kxk xk22121222326412,4343kkxxx xkk考虑直线:AE12121212AEyyyykxxxx 直线AE的方程为：12 11 12yyyyxxxx令0y 可得： 112121yxxyyxx122112x yx yx yy122112x yx yxyy，而11224 ,4yk xyk x，代入可得： 1221121212124424448x k xx k xx xxxxk xk xxx，代入22121222326412,4343kkxxx xkk可得：2222222264123224244343431243284343kk kkkxk kkAE与x轴交于定点1,0例 7.【2018 届宁夏回族自治区银川一中考前适应性训练】已知动圆过定点且与圆：相切，记动圆圆心的轨迹为曲线 （1）求 C 的方程；（2）设，B，P 为 C 上一点，P 不在坐标轴上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点N，求证：为定值【答案】 （1）.（2）证明见解析.12【解析】分析：（1）利用待定系数法求 C 的方程.(2)
