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1、1专题专题 2727 向量的数量积向量的数量积数量积的投影定义数量积的投影定义【热点聚焦与扩展热点聚焦与扩展】平面向量的数量积是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现1、向量的投影：（1）有向线段的值：设有一轴l，AB 是轴上的有向线段，如果实数满足AB ，且当AB 与轴同向时，0，当AB 与轴反向时，0，则称为轴l上有向线段AB 的值.（2）点在直线上的投影：若点A在直线l外，则过A作AAl于A，则称A为A在直线l上的投影；若点A在直线l上，则
2、A在A在直线l上的投影A与A重合.所以说，投影往往伴随着垂直.AA（3）向量的投影：已知向量, a b ，若a 的起点,A B在b 所在轴l（与b 同向）上的投影分别为,A B，则向量AB 在轴l上的值称为a 在b 上的投影，向量AB 称为a 在b 上的投影向量.2、向量的投影与向量夹角的关系：通过作图可以观察到，向量的夹角将决定投影的符号，记为向量, a b 的夹角（1）为锐角：则投影（无论是a 在b 上的投影还是b 在a 上的投影）均为正（2）为直角：则投影为零（3）为钝角：则投影为负3、投影的计算公式：以a 在b 上的投影为例，通过构造直角三角形可以发现（1）当为锐角时，cosb ，因为
3、0，所以cosb（2）当为锐角时，coscosbb ，因为0，所以cosb 即cosb（3）当为直角时，0，而cos0，所以也符合cosb2综上可得：a 在b 上的投影cosb ，即被投影向量的模乘以两向量的夹角4、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）：向量, a b 数量积公式为cosa ba b ，可变形为cosa bab 或cosa bba ，进而与向量投影找到联系 （1）数量积的投影定义：向量, a b 的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影，即aba bb （记ab为a 在b 上的投影）（2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进
4、行求解：aba bb 即数量积除以被投影向量的模长5、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题（1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影） ，例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点）（2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题【经典例题经典例题】例 1.【2018 届江西省重点中学协作体高三下学期第一次联考】设向量a， b 满足2a ， 1b ，且bab，则向量b 在向量2ab方向上的
5、投影为（ ）A. 1 B. 1 C. 1 2 D. 1 2【答案】D3设向量b 和向量2ab的夹角为，则向量b 在向量2ab方向上的投影为221cos222babbab bb babab 选 D例 2.【2018 届福建省闽侯县第八中学高三上期末】已知ABC的外接圆的圆心为O，半径为 2，且0OAABAC ，则向量CA 在向量CB 方向上的投影为（ ）A. 3 B. 3 C. 3 D. 3【答案】B例 3.【2018 届云南省曲靖市第一中学高三上监测卷（四） 】已知单位向量与的夹角为，则向量1e2e 3在向量方向上的投影为（ ）x.kw 122ee 12ee A. B. C. D. 1 21
6、27 147 14【答案】A4【解析】单位向量与的夹角为1e2e 3111cos32e e ，212121eeee 向量在向量方向上的投影为： ，故选 A.122ee 12ee 12121212122122eeee eeee ee 例 4.设， ， ，且，则在上的投影的取值1,2OAOB 0OA OB OPOAOB 1OA OP 范围( )A. B. C. D. 2 5-,15 2 5,15 5,15 5-,15 【答案】D【解析】由题意可知2222104 1584 OPOPOB 当222215844820521x，故当时， 取得最小值为 ，即11 x11101xx ，当时， ，即022221
7、5844825215x 15x 505x5综上所述5( ,15x 故答案选D点睛：由已知求得及，代入投影公式，对分类后利用二次函数求最值，在分类讨论时需要讨论完整， OAOP OP不要漏掉哪种情况，讨论完可以检查下是否把整个实数全部取完.例 5.如图，菱形ABCD的边长为2,60 ,AM为DC中点，若N为菱形内任意一点（含边界） ，则AM AN 的最大值为（ ）A. 3 B. 2 3 C. 6 D. 9 【答案】D2213922ADDCAD DC 答案 D.【名师点睛】 （1）从本例也可以看出投影计算数量积的一个妙用，即在求数量积最值时，如果其中一个向量位置确定，那么只需看另一向量在该向量处的
8、投影即可，这种方法往往能够迅速找到取得最值的情况（2）在找到取到最值的N点位置后，发现利用投影计算数量积并不方便（投影，AM 不便于计算） ，则要灵活利用其他方法把数量积计算出来（寻求基底，建系等）.正所谓：寻找最值用投影，而计算时却有更多方法供选择.6例 6.【2018 届衡水金卷四】已知平面向量，且，则 在 方向上的投影是,|=7,|= 4| + |= 6_【答案】13 8点睛：本题的核心问题是计算数量积，求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用例 7 【2018 届河南省南阳市第一中
9、学高三第十四次考】若非零向量 ， 满足，则| + | = | | = 2| = 2在 方向上的投影为_ 【答案】-1【解析】分析：先求出、和 与 的夹角，然后根据投影的定义求解|详解：将两边平方整理得，| + |=| | = 0 将两边平方整理得| | = 2| =3又，故2|= 2| = 1设向量与 的夹角为 ， 则在 方向上的投影为 | | = | | ( ) | | |=( ) |= 2|= 1点睛：解答本题的关键是正确掌握一个向量在另一个向量方向上的投影的定义，利用定义可将问题转化为数量积的运算另外，数量积的几何意义是计算数量积的一种重要方法 例 8已知点A在椭圆22 1259xy上，
10、点P满足1APOA （R） （O是坐标原点） ，且772OA OP ，则线段OP在x轴上的设影长度的最大值为_【答案】15【解析】1APOA ，则线段 OP 在 x 轴上的投影长度为27272cos|xxxOPOPOAOAOAOA 227272721516916922525xxyxxxx，当且仅当169 25xx，即15 4x 时等号成立线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值为 15.答案：15例 9.【2018 届河北省衡水中学高三第十次模拟】若平面向量， 满足，则在方向上1e2e 11232eee 1e2e 投影的最大值是_【答案】4 2 3【解析】由可得： 11232eee 1221
11、1222 964eee ee A21224366coseee A在方向上投影为1e2e 2212223213214 2cos2 326636eeeee 8故最大值为： 4 2 3例 10.【2018 届河南省中原名校高三上第一次考评】已知 P 是边长为 2 的正ABC 边 BC 上的动点，则 （）_【答案】6【解析】设 BC 的中点为 D，则 ADBC，【精选精练精选精练】1 【2018 届山东省淄博市部分学校高三 12 月摸底】已知向量，则向量在向量上的投2 11 0ab ，ab影是A. 2 B. 1 C. -1 D. -2【答案】D【解析】向量在向量上的投影是 ,选 D.ab221a b
12、b 2.【2018 届河南省商丘市高三第二次模拟】已知平面向量1,2 ,1abk ，且ab，则ab在a上的投影为（ ）A. 5 B. 2 C. 2 D. 19【答案】A【解析】因为ab，所以 12 10,2.kk 所以1,3 ,ab所以221310,5,aba所以ab在a上的投影为 1 6cos105.5abaabab a 故选 A.3 【2018 届河北省武邑中学高三上学期期末】已知点，则向量在1,1 ,1,2 ,2, 1 ,3,4ABCDAB 方向上的投影为（ ）CD A. B. C. D. 3 2 23 15 23 2 23 15 2【答案】A【解析】， ，向量在方向上的投影为，故选2,1AB 5,5CD AB CD 2 5 1 53 2 25 2AB
