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1、 函数单调性的判断 与证明 研究函数的单调性一般有两种方法，即定义法和导数法定义法是基础，掌握 定义法的关键是作差(f(x2)f(x1)，运算的结果可以判断正、负本题判断正、负的 依据是代数式“x1x2a”，处理这个代数式的符号是一个难点，要有一定的数学功底 作基础把x1、x2看成自变量，则转化为 判断“x2a”的符号， 【变式练习1】 求证：函数f(x)x3x在R上是增函数 求函数的单调区间 【变式练习2】 求函数f(x)loga(32xx2)(00，则x(3,1) 由于函数u的图象的对称轴为直线x1， 所以函数u在1,1)上是单调减函数，在(3， 1上是单调增函数 又因为函数ylogau(
2、00(2)保证常见函数的单调区间与题目给出的 单调区间的同一性本题中，a/2，)是单 调增区间，与2，)一致；(3)注意防止扩大参数的取值范围，本题中 ，u(2)0. 【变式练习3】 是否存在实数a，使函数f(x) loga(ax2x)在区间2,4上是单调增 函数？证明你的结论 抽象函数的单调性 抽象函数单调性问题的特点是：(1)给出定义域；(2)给出满足函数意义的表达式(本 题是f(xy)f(x)f(y)；(3)讨论函数的单调性和不等式求解等问题处理方法：(1)在定义域内任意取值，找出某些具体的函 数值，如f(1)等；(2)抓住关系式，如f(xy)f(x)f(y)，进行适 当的赋值和配凑，如
3、本题中找出f(x)f(1/x)；(3)从函数值的大小关系中，根据单调性，脱掉函数符号，转化为自变量间的大小关系，但要 注意自变量的取值必须在定义域内，最后通过解 不等式(组)来完成 【变式练习4】 定义在R上的函数yf(x)，f(0)0.当x0 时，f(x)1，且对任意的x，yR都有f(x y)f(x)f(y) (1)证明：对任意的xR，f(x)0； (2)证明：f(x)是R上的单调增函数； (3)若f(x)f(x2x)0，所以f(x2x1)1，且f(x1)0， 所以f(x2)f(x1)0，故函数f(x)在R上是单调增函数 (3)由f(x)f(x2x)f(x22x)0， 解得x3；再利用复合函
4、数的 单调性判断法则可知二次函数ux2 2x3要递增，两者结合，所求函 数的单调递 减区间是(3，) 4.已知f(x)是定义在(1,1)上的奇函 数，且在区间(1,1)上是单调减函 数若f(1a)f(1a2)0，求实 数a的取值范围 (2)导数法：设f(x)定义在区间D 上，求f (x)，对xD，若f (x)0(0)，则函数f(x)在D上是单调 增函数(单调减函数) 2求函数的单调区间的方法： (1)定义法； (2)图象法； (3)导数法；步骤：先求定义域，再选择合适的方法求 单调区间； 注意点：结论只能写成区间的形式；多个 单调区间中间用“，”隔开，不能“并”； 3复合函数的单调性函数yfu
5、(x)称为复合函数，其中 u(x)称为“内层函数”，yf(u)称为“外层函 数”“内、外层函数”的单调性相同时， 函数yfu(x)是单调增函数，相反时， 函数yfu(x)是单调减函数简称为“同 增异减”在讨论复合函数的单调性时，定义域是不能忽视的，要注意内层函数 的值域是外层函数的定义域在复合函数单调性问题中，对参数的讨论是一个难点，因为参数所具有 的性质与单调区间有直接关系，因此要 注意两点： 一是确保单调区间上函数有意义； 二是根据单调性，转化为不等式(组)问题求解 4已知函数在某个区间上的单调性，求字母的取值，可以利用定义法 、图象法或导数法，要注意端点处能 否取得5单调性的常用结论：奇函数在对称区间上有相同的单调性，偶函数 在对称区间上有相反的单调性答案：1选题感悟：本题实质是函数性质 的综合应用，利用偶函数图象的 对称性可以避免求x0时的解析式 ，利用函数的单调性求最值 答案：m1或m2选题感悟：本题虽然提供了函数解 析式，但不是直接解不等式，而是 利用函数解析式得出其奇偶性、单 调性等重要性质，再利用这些性质 解不等式3(2010宿迁一模卷)若函数f(x)log(a23)(ax4)在1,1上是单调增 函数，则实数a的取值范围是 _选题感悟：本题主要考查复合函数 的单调性，是一道易错题，不少同 学易忽视“真数ax4在1,1上必 须大于0”这一隐含条件而致错
