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1、第2课时 直接证明与 间接证明1直接证明 (1)综合法 定义：利用已知条件和某些数 学定义、公理、定理等，经过一系列 的 ，最后推导出所要证明的 结论 ，这种证明方法叫综合法基础知识梳理推理证明 成立框图表示：基础知识梳理(2)分析法 定义：从 出发，逐步 寻求使它成立的 直至最后，把要 证明的结论归结为判定一个明显成立的条 件(已 知条件、定理、定义、公理等)为止 这种证明的方法叫做分析法基础知识梳理要证明的结论 充分条件基础知识梳理基础知识梳理综合法和分析法有什么区别与联系？ 【思考提示】 分析法的特点是：从 “未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步 推理，实际上是寻求它的充分条件；综
2、合法 的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“ 未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必 要条件分析法与综合法各有其特点，有些 具体的待证命题，用分析法或综合法均能证 明出来，往往选择较简单的一种2间接证明 反证法：假设原命题 ，经 过正确的推理，最后得出 ，因此 说明假设错误，从而证明了原命题成立 ，这样的证明方法叫反证法基础知识梳理不成立 矛盾1分析法是从要证的结论出发， 寻求使它成立的( ) A充分条件 B必要条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 答案：A三基能力强化2若ab0，则下列不等式中总 成立的是( )答案：A三基能力强化3用反证法证明命题：若整系数一 元二次方程ax2bxc
3、0(a0)有有理数 根，那么a、b、c中至少有一个是偶数时 ，下列假设中正确的是( ) A假设a、b、c都是偶数 B假设a、b、c都不是偶数 C假设a、b、c至多有一个偶数 D假设a、b、c至多有两个偶数 答案：B三基能力强化4设p2x41，q2x3x2，xR， 则p与q的大小关系是_ 答案：pq三基能力强化5“任何三角形的外角都至少有 两个钝角”的否定应是_ 答案：存在一个三角形，其外角 最多有一个钝角三基能力强化1综合法是“由因导果”，它 是从已知条件出发，顺着推证，经 过一系列的中间推理，最后导出所 证结论的真实性用综合法证明题 的逻辑关系是： AB1B2BnB(A为已知条 件或数学定义
4、、定理、公理等，B 为要证结论)，它的常见书面表达是 “，”或“”课堂互动讲练考点一综合法2综合法是中学数学证明中常用 方法，其逻辑依据是三段论式的演绎 推理方法课堂互动讲练课堂互动讲练例例1 1课堂互动讲练【证明】 x2y22xy，y2 z22yz，z2x22zx， (x2y2)(y2z2)(z2 x2)2xy2yz2zx， 3(x2y2z2)x2y2z22xy 2yz2zx， 即3(x2y2z2)(xyz)21，课堂互动讲练【方法总结】 (1)综合法的思维特点 是：由已知推出结论用综合法证明不等 式中常用的重要不等式有：a20，a2课堂互动讲练(2)用综合法证不等式时，以基本 不等式为基础
5、，以不等式的性质为依 据，进行推理论证因此，关键是找 到与要证结论相匹配的基本不等式及 其不等式的性质课堂互动讲练分析法是“执果索因”，它是从 要证的结论出发，倒着分析，逐渐 地靠近已知事实 用分析法证“若P则Q”这个命 题的模式是：课堂互动讲练考点二分析法为了证明命题Q为真， 这只需证明命题P1为真，从而有 这只需证明命题P2为真，从而有 这只需证明命题P为真 而已知P为真，故Q必为真课堂互动讲练课堂互动讲练例例2 2【证明】 ab，ab0.平方得：|a|2|b|22|a|b|2(|a|2 |b|22ab)， 只需证：|a|2|b|22|a|b|0， 即(|a|b|)20，显然成立故原 不等
6、式得证课堂互动讲练【思路点拨】 abab0， 利用a2|a|2.【名师点评】 本题从要证明的结 论出发，探求使结论成立的充分条件， 最后找到恰恰都是已证的命题(定义、公 理、定理、法则、公式等)或是要证命题 的已知条件时，命题得证这正是分析 法证明问题的一般思路 一般地，含有根号、绝对值的等式 或不等式，若从正面不易推导时，可以 考虑用分析法课堂互动讲练反证法体现了正难则反的思维 方法，用反证法证明问题的一般步 骤是：(1)分清问题的条件和结论； (2)假定所要证的结论不成立， 而设结论的反面成立(否定结论)；课堂互动讲练考点三反证法(3)从假定和条件出发，经过正确 的推理，导出与已知条件、公
7、理、定 理、定义及明显成立的事实相矛盾或 自相矛盾(推导矛盾)； (4)因为推理正确，所以断定产生 矛盾的原因是“假设”错误既然结论 的反面不成立，从而证明了原结论成 立(结论成立)课堂互动讲练课堂互动讲练例例3 3 (解题示范)(本题满分12分) 已知ac2(bd)，求证：方程x2 axb0与方程x2cxd0中至少 有一个有实数根【思路点拨】 命题中有“至少”形式出现 ，从正面思考不易解决，故可用反证法加以证 明 【证明】 法一：(综合法) 因a2c22ac，可推知a2c24(bd)， 即(a24b)(c24d)0. 6分 故得(a24b)与(c24d)中至少有一个不小 于零 可知，原命题成
8、立. 12分课堂互动讲练法二：(反证法) 假设两方程都没有实数根，则1a24b0与 2c24d0，有a2c24(bd)， 6分 而a2c22ac，从而有2ac4(bd)，即：ac 2(bd)， 与题设矛盾，故原命题成立. 12分课堂互动讲练【名师点评】 用反证法证明问 题时要注意以下三点： (1)必须先否定结论，即肯定结论 的反面，当结论的反面呈现多样性时 ，必须罗列出各种可能结论，缺少任 何一种可能，反证都是不完全的；课堂互动讲练(2)反证法必须从否定结论进行推 理，即应把结论的反面作为条件，且 必须根据这一条件进行推证，否则， 仅否定结论，不从结论的反面出发进 行推理，就不是反证法； (3
9、)推导出的矛盾可能多种多样， 有的与已知矛盾，有的与假设矛盾， 有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必 须是明显的课堂互动讲练(本题满分12分)若x，y都是正实数，课堂互动讲练高考检阅高考检阅因为x0且y0， 所以1x2y，且1y2x. 两式相加，得2xy2x2y， 所以xy2. 8分 这与已知条件xy2矛盾，课堂互动讲练1综合法与分析法 分析法与综合法是两种思路截然 相反的证明方法，既对立又统一用 综合法证题前往往用分析法寻找解题 思路，即所谓的“分析”因此，分析 法既可用于寻找解题思路，也可以是 完整的证明过程并且在解决较复杂 问题时，往往是分析法与综合法相互 结合使用规律方法总结2反证法 (1
10、)使用反证法证明的关键是在正 确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以 是与已知条件矛盾，或与假设矛盾， 或与定义、公理、定理、公式、事实 矛盾等 反证法的步骤：反设；推出 矛盾；下结论规律方法总结矛盾的主要类型：与假设矛盾； 与数学公式、法则、公理、定理、定义或 已被证明了的结论矛盾；与公认的简单 事实矛盾；自相矛盾 (2)常见的“结论词”与“反设词”如下：规律方法总结规律方法总结原结论词结论词反设词设词原结论词结论词反设词设词至少有一 个一个也没有对对所有x成立存在某个x不成 立至多有一 个至少有两个对对任意x不成 立存在某个x成立至少有n个至多有n1 个p或q綈p且綈q至多有n个至少有n1 个p且q綈p或綈q随堂即时巩固点击进入点击进入课时活页训练点击进入点击进入
