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1、第第3 3节节 概率的公理化定义及其性质概率的公理化定义及其性质定义定义3.1 3.1 设设E E为为随机试验随机试验, ,是它的是它的样本空间，样本空间，F F是是 的的一些子集所组成的集合族。一些子集所组成的集合族。如果如果F F满足如下条满足如下条 件：件：则称集类则称集类F F为为s s- -代数代数，称，称F F中的元素为中的元素为事件事件，为为必必 然事件，空集然事件，空集f f为不可能事件，为不可能事件，( (, , F F) )为为可测可测 空间空间. .柯尔莫哥洛夫柯尔莫哥洛夫, 1933, 1933年年前苏联著名数学家，现代概率论开创者前苏联著名数学家，现代概率论开创者例例
2、1. 1. F F= = f, f, 为为s s- -代数，这是最小的代数，这是最小的为为s s- -代数代数. .例例2.2.设设A A 为任意集合，则为任意集合，则 F F= = f, f, A A , , , 为为s s - -代数代数. .例例3.3.设设 为为任意有限集任意有限集, ,则则 F F=2=2 = = 的的子集子集 为为s s - -代数代数. .例例4.4.设设 为为任意的集合任意的集合, ,则则 F F=2=2 = = 的的子集子集 为为s s - -代数代数. .例例5.5.设设 为为实数限集实数限集, , 如果如果F F是由所有的有界是由所有的有界 半闭区间半闭区
3、间 生成生成的的为为s s- -代数代数. .则称则称F F为为BorelBorel s s- -代数，代数， F F 中的元素叫做中的元素叫做Borel Borel 集集. .可测空间可测空间( (, , F F) )具有以下性质具有以下性质证明从略证明从略定义定义3.2 3.2 设设( (，F F) )是一个可测空间，对每一集是一个可测空间，对每一集 A A F F，定义实值定义实值集函数集函数P P( (A A) )，若若它满足如下三它满足如下三 个条件：个条件：(1) (1)非负性条件非负性条件：对每一集：对每一集A A F F, ,都有都有 0 0P P( (A A)1;)1;(2(
4、2) )规范性条件规范性条件：P(P()=1;)=1;( (3 3) )可列可加性条件可列可加性条件: : 设设A Ai i F F, i=1,2, i=1,2,而且而且A Ai iA Aj j= =, , ijij, , i, j=1, 2,i, j=1, 2, ,有有则称则称集合函数集合函数P P( ( ) )为为( (，F F) )上的上的概率概率，P P( (A A) )为事为事 件件A A的的概率概率，( (, ,F F, ,P P ) )为为一个一个概率空间概率空间. .性质性质1.1. P(P()=0.)=0.概率的性质概率的性质于是由于是由可列可加性可列可加性得得又由又由P P
5、( () )00得得, , P P( ()=0)=0证明证明: :设设A An n= =( (n n=1,2,),=1,2,),则则, ,且对于且对于证明证明 令令A An+1n+1=A=An+2n+2=, ,则由可列可加性则由可列可加性 及及P P( ()=0)=0得得 性质性质2 2. .即即性质性质3.3. 对于任一事件对于任一事件A A, ,有有证明证明 因为因为且且 ， 因此有因此有证明证明 由由A A B B知知B B= =A A( (B B- -A A),),且且A A( (B B- -A A)=)=, ,性质性质4 4 设设A,BA,B是两个事件是两个事件, ,若若A A B
6、B, ,则有则有 P P( (B-AB-A)=)=P P( (B B)-)-P P( (A A) ) 推论推论 若若A A B B，则则P P( (B B)P P( (A A) )证明证明 由由P P( (B B)=)=P P( (A A)+)+P P( (B-AB-A) )和和P P( (B-AB-A)0 )0 知知P P( (B B)P()P(A A) )因此由概率的有限可加性得因此由概率的有限可加性得P P( (B B)=)=P P( (A A)+)+P P( (B-AB-A) )从而有从而有 P P( (B-AB-A)=)=P P( (B B)-)-P P( (A A) )证明证明 因
7、为因为A-B=A-ABA-B=A-AB, ,且且ABAB A A 故故推论推论 对于任意两事件对于任意两事件A,BA,B，有有P P( (A-BA-B)=)=P P( (A A)-)-P P( (ABAB) )P P( (A-BA-B)=)=P P( (A-ABA-AB)=)=P P( (A A)-)-P P( (ABAB) )性质性质5 5 对于任意两事件对于任意两事件A,BA,B，有有P P( (A AB B)= )= P P( (A A)+)+P P( (B B)-)-P P( (ABAB) ) 上式称为概率的上式称为概率的加法公式加法公式. . 证明证明 因因A AB B= =A A(
8、B-ABB-AB) )且且A A( (B-ABB-AB)=)=, ,ABAB B B 故故P P( (A AB B)= )= P P( (A A)+)+P P( (B-ABB-AB)=)=P P( (A A)+)+P P( (B B)-)-P P( (ABAB) )概率的加法公式可推广到多个事件的情况概率的加法公式可推广到多个事件的情况. . 设设A,B,CA,B,C是任意三个事件，则有是任意三个事件，则有 P P( (A AB BC C)=)=P P( (A A)+)+P P( (B B)+)+P P( (C C) ) - -P P( (ABAB)-)-P P( (BCBC)-)-P P(
9、(CACA) ) + +P P( (ABCABC) )一般地一般地, ,对于任意对于任意n n个事件个事件A A1 1,A,A2 2,A,An n, ,有有多除少补原理多除少补原理性质性质6 6 ( (概率的连续性概率的连续性) ) 设设A Ai i F F, i=1,2, i=1,2,而且而且则有则有证明从略证明从略 推论推论 设设A Ai i F F, i=1,2, i=1,2,而且而且则有则有证明证明 设设 B Bi i = =A Ai i A A，对对B Bi i 应用性质应用性质5 5即可即可. .定理定理3.13.1 设设P P为可测空间为可测空间( (, , F F) )上的上的
10、非负实值集非负实值集 函数，且函数，且P P( ()=1,)=1,则则具有具有可列可加性可列可加性的充要条件是的充要条件是(1) (1) P P是是有限可加的有限可加的；证明从略证明从略(2) (2) P P是是连续的连续的. .例例1 1 设设( (, ,F F, ,P P ) )为一个为一个概率空间概率空间. . A ,BA ,B F F ，且，且 ABAB= =，求证求证 P P( ( )P P( (B B).).证明证明 因因ABAB= =，由由非负性和有限可加性，得非负性和有限可加性，得11P P( (A+A+B B)=)=P P( (A A)+)+P P( (B B) ) 故故 P P( ( ) ) =1-P =1-P( (A A) P P( (B B).).解解例例2 2 作业：作业：P27P27，T16,17.T16,17.
