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1、3.2 集合的基本运算集合的交、并、差、补、对称差集合相等的证明并集union定义：设A，B是两个集合，所有属 于A或属于B的元素组成的集合，称为集合 A与B的并集，记作AB; AB=xxA xB。 ABE交集intersection定义：A，B是两个集合，即属于A，又属于B，称为集合A与B的交集，记为AB。即AB=xxA xBEAB广义的并集集合的并(union)：集合A和B的并AB定义为：AB = x | xA或者xB，集合的并可推广到多个集合，设A1, A2, , An都是集合，它们的并定义为：A1A2An = x | 存在某个i，使得xAi 广义的交集集合的交(intersection
2、)：集合A和B的并AB定义为：AB = x | xA而且xB，集合的交也可推广到多个集合，设A1, A2, , An都是集合，它们的交定义为：A1A2An = x | 对所有的i，都有xAi 集合的交并例题1例如：集合A=x-2x2，xR， B=x0x4,xR 求AB，AB 。 解：AB=x-2x2或0x4,xR =x-2x4,xR AB=x-2x2且0x4,xR=x0x2,xR 0 1234-1-2-3集合的交并例题2设A为奇数集合，B为偶数集合，求AB 和AB 。 解：AB=xx是偶数或x是奇数=ZAB=xx既是偶数又是奇数= 集合的交并例题3设A1=1，2，3，A2=2，1，3，A3=3
3、，1，2，求A1A2，A1A3，A2 A3。解：三个集合均有两个元素，其中一个元素是数。另一元素是两个数组成的集合，三个集合没 有相同元素，A1A2=A2A3=A3A1=不相交如AB=称A，B不相交。 集合的差设A，B是两集合，属于A而不属于B的元素全体称为A与B的差集，记作A-B，即A-B=xxAxB。 EAB补集(complement set)集合A的补集，记为A，是那些不属于集合A的元素所构成的集合，即A=x | xA。通常来说，是在存在一个全集U的情况下讨论集合的补集。全集U是所讨论的问题域中所有元素所构成的集合。 显然，A=E-A。 AE可知：xA xA xA 求证证A-B=AB 证
4、明 A-B=x|xA-B=xxAxB=xxAxB=AB 当A，B不相交时，A-B=A，B-A=B E AB对称差定义：设A，B是两集合，集合（A-B）（B-A ）称为集合A，B的对称差，记作AB。即AB=xxA且x BxB且x A=x(xAx B)(xBx A)AB=(AB)-(AB) EAB对称差举例例1、A=a,b,e B=a,c,d解：B-A=c,d A-B=b,e， AB=c,d,b,e 例2、A=xx-2,xR,E=xx2求A，AA 。 解：A= xx-2=x-2x2，xR A-A= AA=(A-A)(A-A)= 集合运算性质（运算律）1、 交换律AB=BA，AB=BA2、 结合律（
5、AB）C=A（BC） （AB）C=A（B C）3、 分配律A（BC）=（AB）（AC） A（BC）=（AB）（AC)4、幂等律 AA=A，AA=A5、同一律 A=A,AE=A 9、 德摩根律（AB）=AB6、零一律 A=，AE=E （AB）=AB7、补余律 AA=，AA=E 10、双重否定律（A）=A8、吸收律 A（AB）=A 注：A-B=AB A（AB）=A 集合相等的证明的方法一、利用集合的定义证明； 二、利用集合等式证明；（常用） 三、利用谓词公式证明； 四、用集合成员表。（略）证明：A（BC）=（AB）（AC）(1)xA(BC ) ,分两种情况(a) 如xAxAB且x AC x(AB)
6、(AC)(b) 如x A,则xBCxB且xCxAB且xACx(AB)(AC)任何情况下均有x(AB)(AC)A(BC)(AB)(AC)证明：A（BC）=（AB）（AC）(续)(2)x(AB)(AC)xAB且xAC分两种情况(a) 若xA,则xA(BC)(b) 若x A， 由x A,xABxB,由x A,xACxCxBCxA(BC) 任何情况均有xA(BC) (AB)(AC)A(BC) (1)(2)合并为 A（BC）=（AB）（AC）求证：A-(BC)=(A-B)(A-C)证明： x(A-B)(A-C)，则x(A-B) x(A-C) （xA)(xB)(xA)(xC) （xA)(xB)(xC) （
7、xA)(xB)(xC) （xA) (xBxC) (xA)(xBC ) x A-(BC)从而， A-(BC)=(A-B)(A-C)利用谓词公式证明求证：A- (BC)=(A-B)(A-C)证明：(A-B)(A-C)x|x(A-B)(A-C)=x|x(A-B) x(A-C)=x|xA(xB)(xA)(xC)=x|(xA)(xB)(xC)=x|(xA)(xB)(xC)=x|（xA) (xBxC)=x|(xA)(xBC )=x| x A-(BC)=(A-B)(A-C)利用集合等式证明求证：A-(BC)=(A-B)(A-C)(A-B)(A-C)ABAC=ABC=A(BC)=A-(BC)证证明吸收律A（A
8、B）=A证明：A（AB）=（A）（AB）=A（B）=A=A已知AB=AC,AB=AC,求证B=C证明:B=B(AB) (吸收律)=B(AC) (等量代入)=(BA)(BC)(分配律)=(AC)(BC)(等量代入)=(AB)C(分配律)=(AC)C(等量代入)=C (吸收律) 说明:AB=ACB=CAB=ACB=C两种推理均是不成立的。 课堂练习用三种方法求证： (B-A)A=BA集合的化简化简(ABC)(AB)-(A(B-C)A)证明:原集合=(AB)-A(吸收律)=(AB)A=(AA)(BA)(分配律)=(BA) (互补律)=BA (同一律) 集合包含的性质 AE如果ABC，则ACABAAB
9、AB AB=B AB=A B A集合包含的证明方法： 一、包含的定义；xA，最后x B ； 二、利用已知等式和包含性质A B AB=B AB=A A-B= B A例题：证明：A，B是集合，AB P（A）P(B） uP(A)uA,ABuB, uP（B） 从而P(A)P(B) xA xA xP(A), P(A)P(B) xP(B) xB AB 。 另外 AP(A),P(A)P( B) AP(B) AB 。 例题：证明：如果AB，那么B A证明： B A= (BA)= A从而 B A求证：如果A B，则P(A) P(B)证明：(使用定义：x左，最后x 右)x P(A) ，则x A，又由已知A B，所
10、以x B从而x P(B) 。 P(A) P(B)例题设F表示一年级大学生的集合，S表示二年级大学生的集合，R 表示计算机系学生的结合，M表示数学系学生的集合，T表示选 修离散数学的学生的集合，L表示爱好文学的学生的集合，P表示爱好体育的学生的集合。则下列句子所对应的集合表达式为：1）所有计算机系二年级的学 生都选修离散数学。R S T 2）数学系的学生或者爱好文 学或者爱好体育运动。M LP 3）数学系一年级的学生都没 有选修离散数学。 4）只有一、二年级的学生才爱 好体育运动。 5）除去数学系和计算机系二年 级的学生外都不选离散数学。只有数学系和计算机系二 年级的学生才选离散数学。T ( MR )S
