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1、概率论 第五节 两个随机变量的函数 的分布的分布M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布课堂练习小结 布置作业概率论 在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一 步讨论:当随机变量 X, Y 的联合分布已知时，如何求出它们的函数 Z = g ( X, Y ) 的分布?概率论 例1 若 X、Y 独立，P(X=k)=ak , k=0 , 1 , 2 , P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求 Z=X+Y 的概率函数.解 =a0br+a1br-1+arb0 由独立性r=0,1,2, 一、 的分布 概率论 解 依题意 例2 若 X 和 Y 相互独立,它们分别服从参数为
2、的泊松分布, 证明Z=X+Y服从参数为于是i = 0 , 1 , 2 , j = 0 , 1 , 2 , 的泊松分布.概率论 r = 0 , 1 , 即Z服从参数为 的泊松分布.概率论 例3 设X和Y的联合密度为 f (x,y) , 求 Z=X+Y 的概率密度. 这里积分区域 D=(x, y): x+y z解Z=X+Y的分布函数是:它是直线 x+y =z 及其左下方的半平面.概率论 化成累次积分,得固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令 x=u-y,得变量代换交换积分次序概率论 由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率 密度为: 由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成 以上两
3、式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.概率论 特别地，当 X 和 Y 独立，设 (X,Y) 关于 X , Y 的边 缘密度分别为 fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为: 下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度.卷积公式概率论 为确定积分限,先找出使被积函数不为 0 的区域 例4 若 X 和Y 独立, 具有共同的概率密度求 Z=X+Y 的概率密度 .解 由卷积公式也即概率论 暂时固定故 当 或 时 ,当 时 ,当 时 ,于是概率论 例5 若X和Y 是两个相互独立的随机变量 , 具 有相同的分布 N(0,1) , 求 Z=X+Y 的概率密度.解 由卷积公式概率论 令得可见 Z=X
4、+Y 服从正态分布 N(0,2).概率论 用类似的方法可以证明: 若X和Y 独立,结论又如何呢? 此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形, 请自行写出结论.若X和Y 独立 , 具有相同的分布 N(0,1) , 则Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).概率论 有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态 分布.更一般地, 可以证明:概率论 休息片刻再继续概率论 二、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分 布函数分别为FX(x) 和 FY(y),我们来求 M = max(X,Y) 及 N = min(X,Y) 的分布函数.FM(z)=P(M
5、z) =P(Xz,Yz)由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 M = max(X,Y) 的分布 函数为: =P(Xz)P(Yz)FM(z)1. M = max(X,Y) 的分布函数即有 FM(z)= FX(z)FY(z) 概率论 即有 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z) =1-P(Xz,Yz)FN(z)=P(Nz) =1-P(Nz)2. N = min(X,Y) 的分布函数由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 N = min(X,Y) 的分布 函数为: =1- P(Xz)P(Yz)FN(z)概率论 设 X1,Xn 是 n 个相互独立的随机变量,它们的 分布函数分别为 我们来求 M=
6、max(X1,Xn) 和N=min(X1,Xn) 的分布函数.(i = 1, , n)用与二维时完全类似的方法，可得 N=min(X1,Xn)的分布函数是M=max(X1,Xn)的分布函数为: 概率论 特别地，当X1,Xn相互独立且具有相同分 布函数F(x)时，有 概率论 例6 设系统 L 由两个相互独立的子系统 连接而成,连接的方式分别为 (i) 串联, (ii) 并联, (iii) 备用 (当系统 损坏时, 系统 开始工作) , 如下图 所示.设 的寿命分别为 已知它们的概率 密度分别为其中 且 试分别就以上三种连接方 式写出 的寿命 的概率密度.XYXYXY概率论 XY解 (i) 串联的
7、情况由于当系统 中有一个损坏时, 系统 L 就停 止工作, 所以此时 L 的寿命为因为 X 的概率密度为所以 X 的分布函数为概率论 当 x 0 时 ,当 x 0 时 ,故 类似地 , 可求得 Y 的分布函数为概率论 于是 的分布函数为= 1-1-FX(z)1-FY(z)的概率密度为概率论 XY(ii) 并联的情况由于当且仅当系统 都损坏时, 系统 L 才停 止工作, 所以此时 L 的寿命为故 的分布函数为概率论 XY于是 的概率密度为(iii) 备用的情况因此整个系统 L 的寿命为由于当系统 损坏时, 系统 才开始工作,概率论 当 z 0 时 ,当 z 0 时 ,当且仅当即 时,上述积分的被积函数不等于零.故概率论 于是 的概率密度为概率论 需要指出的是，当X1,Xn相互独立且具有相 同分布函数F(x)时, 常称M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn)为极值 .由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用 价值.概率论 三、课堂练习设 是相互独立的随机变量, 它们都服从正态分布 .试验证随机变量 具有概率密度概率论 四、小结在这一节中,我们讨论了两个随机变量的函数的分布的求法.概率论 五、布置作业概率统计标准化作业 (三)
