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1、1平稳性和非平稳时间序列分析一、非平稳时间序列和伪回归n许多常用的经济时间序列，如GDP、物 价指数、股票价格等往往不符合平稳性 定义，都有非平稳的特性。n非平稳序列没有不变的中心趋势，不能 用时间序列的样本均值和方差推断各时 点随机变量的分布特征，经典回归分析 的基础和有效性就都遇到了问题。2（一）以两个随机游走序列之间的回归为 例说明这种影响 设 和 是两个相互之间不相关的随 机游走序列，即它们分别满足 和 。为了简单起见，进一步假设 和 。这样两个随机游走序列分别为 和 。 3n用下面无常数项的两变量线性回归模型 进行分析：n其中的误差项满足4（二） “伪回归”（Spurious reg
2、ression） 非平稳时间序列更严重的影响是，虽然它们会破 坏经典回归分析的基础和有效性，但根据分析 结果并不一定能发现问题。有时即使时间序列 严重非平稳，分析结果应该是无效的，但t、F 、 等指标却很正常，模型的显著性和拟合程 度看起来都很好。这种问题通常称为“伪回归” 问题。5二、时间序列平稳性的单位根检验（一） Granger和Newbold提出了判断伪回归的 一个经验法则：若回归分析结果中 DW， 就可能存在伪回归问题。 （二）“单位根检验”（Unit root test）n基本思路：包含单位根过程是大多数经济时间 序列非平稳性的原因，因此可以通过检验是否 存在单位根，检验时间序列过
3、程的平稳性。n最常用的方法： 1、迪基-富勒检验（Dickey-Fuller Test, DF） 2、扩展迪基-富勒检验（ADF）61、基本的DF检验方法 （1）检验时间序列 是否属于最基本的 单位根过程，也就是随机游走过程 ，其中 为白噪声过程。 （2）检验思路 n首先 服从如下的自回归模型7n如果其中 ，或者变换成如下的回归 模型中的 ，那么时间序列 就是最基 本的单位根过程 ，肯定是非平 稳的。n对上述差分模型中的显著性检验，就是 检验时间序列是否存在上述单位根问题 。8n问题是如果时间序列确实是非平稳的单位根过 程，那么最小二乘法估计回归得到的t统计量不 服从t分布，因此不能用t分布表
4、的临界值判断 的显著性。n迪基和富勒通过蒙特卡罗模拟方法构造了专门 的统计分布表，给出了包括10%、5%、1%几 个显著性水平的临界值，称为DF临界值表。n为了区别起见，把上述模型回归分析计算的t统 计量改称为“统计量”。92、扩展迪基-富勒检验（ADF）n随机游走过程只是最简单的一种单位根 过程，许多非平稳时间序列包含更复杂 的单位根过程，包含常数项、趋势项和 高阶差分项等。n为了使迪基-富勒检验适用单位根过程的 检验，必须作适当的扩展。10n扩展的方法是分别采用下列模型：n以这三个模型为基础的单位根检验称为“ 扩展迪基-富勒检验” 。11三、时间序列的单积性n检验时间序列平稳性的目的不是淘
5、汰数 据，因为简单地排除数据会浪费这些数 据包含的信息，甚至会导致计量分析无 法进行，平稳性检验的根本目的是更好 地利用数据。n单积和协积是利用非平稳时间序列数据 的关键。12n不少非平稳时间序列作差分变换得到的差分序 列都是平稳序列。对于这种非平稳时间序列的 差分序列，基于平稳数据的计量分析就是有效 的。n由于时间序列的差分序列与时间序列本身包含 许多一致的信息，差分与原变量之间常常可以 相互转换，因此利用差分数据进行计量分析也 是有意义的。n并不是所有非平稳时间序列的差分序列都是平 稳的。利用差分数据进行分析之前，必须对差 分序列进行平稳性检验。检验的方法是把单位 根检验用于时间序列的差分
6、序列。13对于经过差分变换仍然非平稳的时间序列，还可 以对差分序列再作差分变换，也就是对原序列 作两次差分变换。n如果两次差分变换得到的二次差分序列是平稳 的，则二次差分序列可用于计量分析。n如果二次差分序列仍然是非平稳的，还可以进 行三次差分，并根据三次差分序列的平稳性分 别处理。14n依次类推，一个非平稳时间序列可以在 进行了d次差分才变为平稳序列。这种经 过d次差分才平稳的时间序列，称为d阶“ 单积”（Integrated）的，并记为 。15四、时间序列的协积性 （一）定义 如果一组时间序列都 是同阶单积 的（ ），并且存在向量 使加权组合 为平稳序列 （ ），则称这组时间序列为“协积的
7、” （Cointegrated），其中 称为“ 协积向量”。 16n具有协积性的非平稳序列各自的非平稳 趋势和波动有相互抵消的作用，因此虽 然非平稳本身有导致回归分析失效的影 响，但如果模型中的几个非平稳时间序 列具有协积性，回归分析仍然可以是有 效的，不需要担心非平稳性会造成问题 。17（二）以两变量线性回归 为例。n因为 ，因此 平稳就 是 平稳，这就意味着要 么 和 本身都是平稳的，要么 和 都是同阶单积并有协积关系。这两种 情况下模型的回归分析都是有效的。因 此只要误差序列 平稳该模型就是有 效的。 18n因为回归残差序列 的平稳性与误差 序列 的平稳性是一致的，因此 的平稳性可以通过
8、 进行检验。n时间序列之间的协积性检验，就是检验 它们的线性回归残差序列的平稳性。也 就是说，非平稳时间序列伪回归和单位 根的思想，实际上只是迫使我们检验回 归残差序列的平稳性。19五、误差修正模型（Error correction model, ECM） n误差修正模型是有协积关系的一阶单积 时间序列 之间，包含一个反映长期均 衡对短期波动影响的“误差修正机制”的， 特定形式的差分方程模型。 20n两个一阶单积的非平稳时间序列 之间的回 归可能导致虚假回归。运用差分变换虽然可以 克服时间序列非平稳的问题，但差分变换会使 得经济变量关系的长期信息丧失，还会导致回 归模型误差序列相关性，从而使得
9、回归分析失 效或降低价值。n采用由简单的自回归分布滞后模型ARDL(1,1) 导出的误差修正模型，则可以克服这些问题， 不仅能够保留变量关系的长期动态信息，而且 还能够保证回归分析的有效性。21n设一个ARDL(1,1)模型如下：如果把该模型变形成 的一阶差分的如下 形式：22如果我们作下列变换 ，那么模型变为：n误差修正模型的自动调整机制类似于适应性预 期模型。如果误差修正项的系数 在统计上 是显著的，它将告诉我们 在一个时期里的失 衡，有多大一个比例部分可在下一期得到纠正 。或者更应该说“失衡”对下一期 水平变化的 影响的大小）。23n运用ECM模型进行分析的一般步骤： 1、对两个时间序列进行单积分析，检验 和 的单积性，看它们是否属于同阶 。如果这一点不成立，那么无法进行 ECM模型分析。如果这一点成立，则进 行下一步。 242、对两个 进行协积分析。 具体方法：对 作线性回归 ，得到回归系数 和残差序列 。再 检验残差序列 的单积性。如 不是平 稳的 ，则不能进行ECM分析。如 是 平稳的 ，则 和 间的协积性获肯 定，协整系数向量为 。253、把 作为误差修正项，代入前述ECM 模型。因为 和 有协整关系，ECM模 型各项都平稳，因此可直接用OLS法估计 参数。最后再进行相关检验和进行应用 分析等。 26
