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1、命题与四种命题高二数学 选修2-1 第一章 常用逻辑用语常用逻辑用语常用逻辑用语“数学是思维的科学”逻辑是研究思维形式和规律的科学.逻辑用语是我们必不可少的工具.通过学习和使用常用逻辑用语,掌握常用逻辑 用语的用法,纠正出现的逻辑错误,体会运用常用 逻辑用语表述数学内容的准确性、简捷性.命题及其关系1.1.1 命题思考下列语句的表述形式有什么特点?你能判断 它们的真假吗? (1) 125; (2) 3是12的约数; (3) 0.5是整数; (4)对顶角相等; (5)3 能被2整除; (6)若x2=1,则x=1.语句都是陈述句,并且可以判断真假。命题的概念用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的
2、陈述句 叫做命题。 判断为真的语句叫做真命题。 判断为假的语句叫做假命题。 理解:1)命题定义的核心是判断,切记:判断的标准必须 确定,判断的结果可真可假,但真假必居其一。2)含有变量且在未给定变量的值之前无法确定语句 的真假。(1) 125; (2) 3是12的约 数; (3) 0.5是整数; (4)对顶角相等; (5)3 能被2整除; (6)若x2=1,则 x=1.用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述 句叫做命题。如何判断一个语句是不是命题?1)7是23的约数吗? 2)X5. 3)-23。 x4。看看下列语句是不是命题?不是(疑问句)不是(疑问句)不是(感叹句)是(否定陈述句 )是
3、(肯定陈述句 )不是(开语句)例1 判断下面的语句是否为命题?若是命题, 指出它的真假。(1) 空集是任何集合的子集. (2)若整数p是素数,则p是奇数 .(3)指数函数是增函数吗?(4)若平面上两条直线不相交,则这两条直线平行.(5)(6)x15.(是,真)(是,真)(是,假)(是,假)(不是命题)(不是命题)练习 判断下列语句是否是命题 .(1)求证 是无理数。(2)(3)你是高二学生吗?(4)并非所有的人都喜欢苹果。(5)一个正整数不是质数就是合数。(6)若 ,则(7)x+30.(1)(3)(7)不是命题,(2)(4)(5)(6)是命题。“若p则q”形式的命题命题“若整数a是素数,则a是
4、奇数。”具有“若p 则q”的形式。 qpl通常,我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条 件,q叫做命题的结论。l“若p则q”形式的命题是命题的一种形式而不是唯 一的形式,也可写成“如果p,那么q” “只要p,就有q” 等形式。l其中p和q可以是命题也可以不是命题.l“若p则q”形式的命题的优点是条件与结论容易辨 别,缺点是太格式化且不灵活.“若p则q”形式的命题的书写l了解命题表示的判断,明确与判断有关的条件与结 论。l对于一些条件与结论不明显的命题,一般采取先添 补一些命题中省略的词句, 确定条件与结论。l如命题:“垂直于同一条直线的两个平面平行”。l写成“若p则q”的形式为:若两个平面垂直
5、于同一条直线,则这两个平面平 行。例2 指出下列命题中的条件p和结论q:l若整数m能被2整除,则m是偶数;l菱形的对角线互相垂直且平分。解:1) 条件p:整数m能被2整除, 结论q:整数m是偶数。2) 写成若p,则q 的形式: 若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直且平分。 条件p:四边形是菱形,结论q:四边形的对角线互相垂直且平分。例3 把下列命题改写成“若p则q”的形式 ,并判定真假。(1) 负数的平方是正数.(2) 偶函数的图像关于y轴对称.(3)垂直于同一条直线的两条直线平行(4) 面积相等的两个三角形全等.(5) 对顶角相等.真命题 真命题 假命题 假命题 真命题练习 1、将命题“m0
6、时,函数y=mx+b的值随x值的 增加而增加”改写成“p则q”的形式,并判断命题 的真假。解答:m0时,若x增加,则函数y=mx+b的值也随之增加,它是真命题在本题中,m0是大前提,应单独给出 ,不能把大前提也放在命题的条件部分内 2、把下列命题改写成“若p,则q”的形 式,并判断它们的真假.(1)等腰三角形两腰的中线相等; (2)偶函数的图象关于y轴对称; (3)垂直于同一个平面的两个平面平行。(1)若三角形是等腰三角形,则三角形两边上的中线相等。这是 真命题。(2)若函数是偶函数,则函数的图象关于y轴对称,这是真命题。(3)若两个平面垂直于同一平面,则这两个平面互相平行。这是 假命题。命题
7、及其关系1.1.2 四种命题下列四个命题中,命题(1)与命题 (2)(3)(4)的条件和结论之间分别有 什么关系?l若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数;l若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数;l若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数;l若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数。观察命题(1)与命题(2)的条件和结论 之间分别有什么关系?l若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数;l若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数;互逆命题:一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 结论和条件,这两个命题叫做互逆命题。 原 命 题:其中一个命题叫做原命题。 逆 命 题:另一
8、个命题叫做原命题的逆命题。pq qp即 原命题:若p,则q逆命题:若q,则p例如,命题“同位角相等,两直线平行”的逆命题是“两直 线平行,同位角相等”。观察命题(1)与命题(3)的条件和结论 之间分别有什么关系?l若f(x)是正弦函数, 则f(x)是周期函数;3. 若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数.pqp原命题:若p,则qq为书写简便,常把条件p的否定和结论q的否定分 别记作 “p” “q”否命题:若p,则q互否命题 原命题 (原命题的)否命题例如,命题“同位角相等,两直线平行”的否命题是“同位 角不相等,两直线不平行”。观察命题(1)与命题(4)的条件和结论 之间分别有什么关系
9、?l若f(x)是正弦函数, 则f(x)是周期函数;4. 若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数.pqq原命题: 若p, 则qp逆否命题: 若q, 则p互为逆否命题 原命题 (原命题的)逆否命题例如,命题“同位角相等,两直线平行”的逆否命题是“两 直线不平行,同位角不相等”。、互否命题:如果第一个命题的条件和结论是第二个命题 的条件和结论的否定,那么这两个命题叫做互否命题。如果 把其中一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的否命 题。、互为逆否命题:如果第一个命题的条件和结论分别是第 二个命题的结论的否定和条件的否定,那么这两个命题叫做 互为逆否命题。、互逆命题:如果第一个命题的条件(
10、或题设)是第二个 命题的结论,且第一个命题的结论是第二个命题的条件,那 么这两个命题叫互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题 ,那么另一个叫做原命题的逆命题。三个概念原命题,逆命题,否命题,逆否命题四种命题形式: 原命题: 逆命题: 否命题: 逆否命题:若 p, 则 q 若 q, 则 p 若p, 则q 若q, 则p判断正误,并说明理由:(1)若原命题是“对顶角相等”,它的否命题是“对顶角不相等”。 (2)若原命题是“对顶角相等”,它的否命题是“不成对顶关系的两个角不相等”。否命题与命题的否定 l否命题是用否定条件也否定结论的方式 构成新命题。l命题的否定是逻辑联结词“非”作用于 判断,只否定结
11、论不否定条件。l对于原命题: 若 p , 则 q 有否命题: 若p , 则q 。命题的否定: 若 p ,则q 。例 设原命题是“当c 0 时,若a b ,则 ac bc ”,写出它的逆命题、否命题、逆 否命题,并分别判断它们的真假: 解:逆命题:当c 0 时,若ac bc ,则a b逆命题为真否命题:当c 0 时,若a b ,则ac bc 否命题为真逆否命题:当c 0 时,若ac bc ,则a b 逆否命题为真原结论 反设词 原结论 反设词 是 至少有一个 都是 至多有一个 大于 至少有n个 小于 至多有n个 对所有x, 成立对任何x, 不成立 准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的, 下面
12、是一些常见的结论的否定形式. 不是 不都是不大于 大于或等于一个也没有至少有两个至多有(n-1)个 至少有(n+1)个存在某x, 不成立存在某x,成立练习:分别写出下列命题的逆命题、否命 题、逆否命题,并判断它们的真假。(1)若qb,则a+cb+c .逆命题:逆否命题:否命题:3.知识巩固原命题: 若四边形是正方形,则四边形两对角线垂直。否命题:逆命题:逆否命题:若a+cb+c,则ab. 若ab,则a+cb+c. 若a+cb+c,则ab.若四边形两对角线垂直,则四边形是正方形。若四边形不是正方形,则 四边形两对角线不垂直。 若四边形两对角线不垂直,则四边形不是正方形。k分别写出下列命题。C 原
13、命题: 若p则q逆命题:逆否命题:否命题:若q则p 若 p则 q 若 q则p一.四种命题的概念3.知识巩固一.四种命题的概念k把下列命题改写成“若p则q”的形式,并写出逆命题、否命 题、逆否命题。1.负数的平方是正数2.正方形的四条边相等原命题:否命题:逆命题:逆否命题:原命题:否命题:逆命题:逆否命题:若一个数是负数,则它的平方是正数。若一个四边形是正方形,则它的四条边相等。若一个数的平方是正数,则它是负数。 若一个数不是负数,则它的平方不是正数。 若一个数的平方不是正数,则它不是负数。若一个四边形的四条边相等,则它是正方形。 若一个四边形不是正方形,则它的四条边不相等。 若一个四边形的四条
14、边不相等,则它不是正方形。原命题:若ab,则a+cb+c 逆命题:若a+cb+c,则ab原命题:若四边形是正方形,则四边形两对角线垂直。 逆命题:若四边形两对角线垂直,则四边形是正方形。原命题:若ab,则ac2bc2 逆命题:若ac2bc2,则ab原命题:若四边形对角线相等,则四边形是平行四边形。 逆命题:若四边形是平行四边形,则四边形对角线相等。真 真真 假假 真假 假*判断下列命题的真假,并总结规律。1.互逆命题的真假关系二.四种命题的关系结 论 1原命题的真假和 逆命题的真假没有关 系。原命题:若ab,则a+cb+c 否命题:若ab,则a+cb+c原命题:若四边形是正方形,则四边形两对角
15、线垂直。 否命题:若四边形不是正方形,则四边形两对角线不垂直。原命题:若ab,则ac2bc2 否命题:若ab,则ac2bc2原命题:若四边形对角线相等,则四边形是平行四边形。 否命题:若四边形对角线不相等,则四边形不是平行四边形。真 真真 假假 真假 假*判断下列否命题的真假,并总结规律。二.四种命题的关系2.互否命题的真假关系结 论 2原命题的真假和 否命题的真假没有关 系。原命题:若ab,则a+cb+c 逆否命题:若a+cb+c,则ab原命题:若四边形是正方形,则四边形两对角线垂直 。逆否命题:若四边形两对角线不垂直,则四边形不是正方形。原命题:若ab,则ac2bc2 逆否命题:若ac2bc2,则ab原命题:若四边形对角线相等,则四边形是平行四边形。 逆否命题:若四边形不是平行四边形,则四边形对角线不相等。真真真 真假 假假 假*判断下列逆否命题的真假,并总结规律。3.互为逆否命题的真假关系二.四种命题的关系结 论 3原命题和逆否命 题总是同真同假。否命题:若ab,则a+cb+c 逆命题:若a+cb+c,则ab