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1、MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 *1第一章 Matlab入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 内容提要l l 函数、极限、级数的符号运算函数、极限、级数的符号运算 l l 符号微积分符号微积分 l l 数值微积分数值微积分 l l 常微分方程的符号解法常微分方程的符号解法 l l 常微分方程的数值解法常微分方程的数值解法 l l 补充：补充： 求解代数方程和超越方程求解代数方程和超越方程 求函数的极值求函数的极值Date2第一章 Matlab入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数
2、学中的MATLAB命令 函数、极限与级数的符号运算u符号替换l f=subs(符号表达式, 符号对象1, 符号对象2)将符号表达式中的符号对象1 用符号对象2代替注：符号对象1 和 符号对象2 也可以是符号表达式l例如： syms x y a b t f=x2+x*y f=subs(f, x, t) f=subs(f, t, a+b) f=subs(f, a+b, x)subs是substitution(替换)的缩写Date3第一章 Matlab入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 函数、极限与级数的符号运算u符号替换 l f=subs(符号表达式, 符号对象1
3、1, 符号对象12, ,符号对象21, 符号对象22, )将符号表达式中的符号对象11、符号对象12、 分别用 符号对象21、符号对象22、代替 。 l例如： syms x y a b f=x2+x*y g=subs(f, x, y, a, b) h1=subs(f, x, y, sym(pi), sym(3)%求函数值（符号计算） h2=subs(f, x, y, pi, 3)%求函数值（数值计算）Date4第一章 Matlab入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 函数、极限与级数的符号运算u符号函数及其运算 l大部分MATLAB数学函数和逻辑关系运算也可以
4、用于符号对象l其他一些符号运算命令选讲： factor(符号表达式) 对表达式作因式分解expand(符号表达式) 将表达式展开collect(符号表达式, 符号)将表达式按符号合并同类项simplify(符号表达式) 将表达式化简simpe(符号表达式) 将表达式化简到所含字符最少Date5第一章 Matlab入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 函数、极限与级数的符号运算u符号函数及其运算g=finverse(f, x) 求符号函数f(x)的反函数g(x)fg=compose(f, g)求符号函数f和g的复合函数f(g)l举例Date6第一章 Matlab入
5、门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 函数、极限与级数的符号运算u极限与级数v在MATLAB中，极限与级数运算归属于符号运算llimit(f, x, a) 求符号函数f的极限 llimit(f, x, a, right) 求符号函数f的右极限llimit(f, x, a, left) 求符号函数f的左极限说明：上述命令中的a可以是无穷大 inf 或 -infp说明：多元函数的极限需要使用累次极限来计算举例Date7第一章 Matlab入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 函数、极限与级数的符号运算u极限与级数lsymsum(s, n
6、, a, b) 求符号通项s的和其中，b可以是无穷大inf举例sym是symbol(符号)的缩写Date8第一章 Matlab入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 函数、极限与级数的符号运算u极限与级数ltaylor(f, n, a, x)求符号函数f在点a关于自变量x的n-1阶泰勒多项式举例ltaylortool 泰勒工具举例Date9第一章 Matlab入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 符号微积分u导数与偏导数ldiff(f, x) 求符号函数f对x的导函数或偏导数ldiff(f, x, n) 求符号函数f对x的n阶导函数
7、或偏导数l注：diff是differential(微分)的缩写举例n问:如何求函数在给定点的导数值(或偏导数值)？p说明：参数方程求导和隐函数求导需要使用相关数 学公式（见教材66-67页）Date10第一章 Matlab入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 符号微积分u不定积分与定积分lint(s, x)求符号函数f关于变量x的不定积分l注：int是integration(积分)的缩写lint(s, x, a, b)求符号函数f关于变量x的定积分，a、b分别是积分 下限和上限，a、b可以是函数表达式，也可以是无 穷大inf或-inf举例Date11第一章 Ma
8、tlab入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 符号微积分u不定积分与定积分l对于定积分，当系统求不出精确解时，如果被积函 数中不含待定符号，可以使用vpa命令给出近似解例如：syms xa=int(sin(sin(x), 1, 2)vpa(a)p说明：重积分、曲线积分与曲面积分需要使用数学 方法转化为累次积分来计算Date12第一章 Matlab入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 u数值微积分的特点采用数值算法，主要用于解决导数和定积分的近似 计算问题可以解决离散数据的相关计算问题l实例：某河床的横断面如图所示，试根据图示的测
9、量数据(单位: m)，计算各测量点的坡度和横断面的面积。数值微积分041012 1522283440 136 8953Date13第一章 Matlab入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 u数值导数lFx=gradient(F, x)该命令求一元函数F的数值导数F (x)其中，x是自变量的一组取值(离散数据)，F是因变 量的对应取值(离散数据) ，Fx得到的是各离散数据 点的导数值(近似解)。p说明：x的取值越密集，得到的导数值就越精确。该命令常用于求解离散型数据的变化率。l例：计算上例中的坡度数值微积分gradient ：梯度、变化率Date14第一章 Mat
10、lab入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 u数值导数lFx=gradient(F, x)l例题：求函数y=x2sinx在区间-3,3的数值导数，并作出原函数与导函数的图形。 问：该函数在x=1.5的数值导数是多少？试讨论它与“精 确导数值”的误差。（演示）数值微积分Date15第一章 Matlab入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 u数值偏导数lFx, Fy=gradient(F, x, y)该命令求二元函数F的数值偏导数Fx和Fy其中，x, y分别是自变量x和y的一组取值；F是定义在 x-y平面点集区域上的函数值(矩阵表示)
11、，平面点集区 域可以使用meshgrid命令生成；Fx和Fy分别得到的是 每个点上关于x和y的偏导数值(矩阵表示)。p说明：x和y的取值越密集，得到的偏导数值就越精确；该命令常用于求解离散型数据的方向导数、梯度、散度 、旋度等。数值微积分Date16第一章 Matlab入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 u数值偏导数lFx, Fy=gradient(F, x, y)l举例数值微积分Date17第一章 Matlab入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 u数值定积分l梯形法数值积分：trapz(x, y)其中x表示自变量在积分区间的
12、一组取值，y表示被 积函数对应于x的一组函数值。l例：计算前例中的横断面积l例题 求积分解：x=-1: 0.1: 1 ; y=exp(-x.2) ; trapz(x,y)数值微积分trapz是trapezoid(梯形)的缩写Date18第一章 Matlab入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 u数值定积分l高精度数值积分：quad(f, a, b)或quadl(f, a, b)求函数f在区间a, b上的定积分，其中f 可以使用字符串函数表达式或内联函数，定义函数的乘、除、乘方 时要使用点运算。积分限 a 、b 必须是常量。quad采用自适应步长Simpson积分
13、法quadl采用高精度Lobatto积分法l例 求积分解：z=quadl(exp(-x.2), -1, 1)数值微积分quad是quadrature(求积分)的缩写Date19第一章 Matlab入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 u数值定积分l注意：trapz, quad, quadl都不能用于求反常积分。数值微积分Date20第一章 Matlab入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 u数值重积分l矩形区域上的二重积分和立方体区域上的三重积分： 二重积分命令 dblquad(f, a1, a2, b1, b2)f 为被积函数,
14、 积分区域为矩形a1, a2; b1, b2 三重积分命令 triplequad(f, a1, a2, b1, b2 , c1, c2)f 为被积函数, 积分区域为立方体a1, a2; b1, b2; c1, c2说明：被积函数可以使用字符串函数表达式或内联函数；乘 、除、乘方要用点运算；积分限必须是常量；f是字符串 函数表达式时，积分的顺序按照自变量的字典顺序进行，f是 内联函数时，积分的顺序按照自变量的定义顺序进行。数值微积分Date21第一章 Matlab入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 u数值重积分l积分顺序举例 dblquad(sin(t./r.2),1,2,6,9)即 二重积分 f=inline(sin(t./r.2), t, r) dblquad(f,1,2,6,9)即 二重积分数值微积分Date22第一章 Matlab入门MATLAB 数学实验 第 3 章 高等数学中的MATLAB命令 u数值重积分l例 计算重积分
