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1、东方沸点学校为你服务高考总复习高考总复习 数学（理）数学（理）第三节节 函数的单调单调 性 东方沸点学校为你服务高考总复习高考总复习 数学（理）数学（理）东方沸点学校为你服务高考总复习高考总复习 数学（理）数学（理）最新考 纲1.了解函数单调性的概念 2掌握判断一些简单函数单调性的方法 ，并能利用函数的单调性解决一些问 题高考热 点1.求函数的单调区间或判断函数在某个 区间内的单调性 2给出一个含有字母参数的函数在某个 区间内的单调性，求参数的取值范围 3函数的单调性与函数最值的综合问 题.东方沸点学校为你服务高考总复习高考总复习 数学（理）数学（理）函数的单调性(1)增函数、减函数、单调区间
2、的概念单调性是一个“区间”概念，一般谈到函数的单调性时，必须指明 函数的单调性只能在定义域内讨论，即单调区间是定义域的 函数f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数f(x)在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质区间子集东方沸点学校为你服务高考总复习高考总复习 数学（理）数学（理）(2)证明函数单调性的一般方法与步骤设x1，x2是给定区间上的任意两个自变量的值，且x1x2.作差f(x1)f(x2)，并将差式变形判断f(x1)f(x2)的正负，从而证得函数的单调性(3)函数单调性的判定方法利用 ：即“取值作差变形定号判断”利用已知函数的 ，将函数转化为已知函数的单调性进行判断定义单调性
3、东方沸点学校为你服务高考总复习高考总复习 数学（理）数学（理）利用函数的 ：图象从左到右逐渐上升，则函数在其区间上为增函数；图象从左向右逐渐下降，则函数在其区间上为减函数(4)函数单调性的应用单调性是函数的重要性质，它在研究函数时具有重要作用，具体体现在：利用单调性比较 确定函数的 或求函数的 (5)函数的单调性与导数函数单调性的判断、求单调区间等也可以通过求导函数的方法求得图象大小最值值域东方沸点学校为你服务高考总复习高考总复习 数学（理）数学（理）东方沸点学校为你服务高考总复习高考总复习 数学（理）数学（理）东方沸点学校为你服务高考总复习高考总复习 数学（理）数学（理）分析 先判断单调性，
4、再用单调性的定义证明(1)采用通分进行变形；(2)采用因式分解进行变形；(3)采用分子有理化的方式进行变形题型一函数单调性的判断与证明问题思维提示定义法：设x1x2，判断f(x1)f(x2) 的符号 导数法东方沸点学校为你服务高考总复习高考总复习 数学（理）数学（理）东方沸点学校为你服务高考总复习高考总复习 数学（理）数学（理）东方沸点学校为你服务高考总复习高考总复习 数学（理）数学（理）东方沸点学校为你服务高考总复习高考总复习 数学（理）数学（理）规律总结 对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义(基本步骤为取点、作差或作商、变形、判断)求解可导函数则可以利
5、用导数解之. 东方沸点学校为你服务高考总复习高考总复习 数学（理）数学（理）备选例题1判断函数f(x) 在区间(1,1)上的单调性东方沸点学校为你服务高考总复习高考总复习 数学（理）数学（理）东方沸点学校为你服务高考总复习高考总复习 数学（理）数学（理）题型二求函数的单调区间思维提示利用定义 利用导数分析 (1)利用单调性的定义求解；(2)利用导数求函数的单调区间东方沸点学校为你服务高考总复习高考总复习 数学（理）数学（理）东方沸点学校为你服务高考总复习高考总复习 数学（理）数学（理）东方沸点学校为你服务高考总复习高考总复习 数学（理）数学（理）东方沸点学校为你服务高考总复习高考总复习 数学（
6、理）数学（理）规律总结 (1)用定义法判断函数单调性的关键在于比较f(x1)和f(x2)的大小，一般的方法是作差、因式分解，出现几个因式乘积，从而便于判断符号(2)利用导数求函数f(x)的单调区间，关键在于正确求出导函数f(x)大于0或小于0的解集.东方沸点学校为你服务高考总复习高考总复习 数学（理）数学（理）备选例题2讨论函数 的单调性东方沸点学校为你服务高考总复习高考总复习 数学（理）数学（理）东方沸点学校为你服务高考总复习高考总复习 数学（理）数学（理）东方沸点学校为你服务高考总复习高考总复习 数学（理）数学（理）例3 求下列函数的单调区间，并指出其增减性解 (1)令t1x2，则t1x2
7、的递减区间是0，)，递增区间是(，0又当a1时，yat在(，)上是增函数；当0a1时，yat在(，)上是减函数题型三求复合函数的单调区间思维提示将复合函数拆分 “同增异减”东方沸点学校为你服务高考总复习高考总复习 数学（理）数学（理）东方沸点学校为你服务高考总复习高考总复习 数学（理）数学（理）规律总结 复合函数yfg(x)的单调规律是“同则增，异则减”，即f(u)与g(x)若具有相同的单调性，则fg(x)为增函数，若具有不同的单调性，则fg(x)必为减函数讨论复合函数单调性的步骤是：求出复合函数的定义域；把复合函数分解成若干个常见的基本函数，并判定其单调性；把中间变量的变化范围转化成自变量的
8、变化范围；根据上述复合函数的单调性规律判定其单调性.东方沸点学校为你服务高考总复习高考总复习 数学（理）数学（理）东方沸点学校为你服务高考总复习高考总复习 数学（理）数学（理）东方沸点学校为你服务高考总复习高考总复习 数学（理）数学（理）东方沸点学校为你服务高考总复习高考总复习 数学（理）数学（理）题型四函数单调性的应用 思维提示利用单调性建立相关不等式东方沸点学校为你服务高考总复习高考总复习 数学（理）数学（理）分析 (1)的求解是容易的；对于(2)，应利用函数单调性的定义来证明，其中应注意f(xy)f(x)f(y)的应用；对于(3)，应利用(2)中所得的结果及f(xy)f(x)f(y)进行
9、适当配凑，将所给不等式化为fg(x)f(a)的形式，再利用f(x)的单调性来求解东方沸点学校为你服务高考总复习高考总复习 数学（理）数学（理）东方沸点学校为你服务高考总复习高考总复习 数学（理）数学（理）东方沸点学校为你服务高考总复习高考总复习 数学（理）数学（理）规律总结 求解与抽象函数有关的不等式问题，主要依据函数的单调性，其中要把不等式中出现的常数转化为某自变量的函数值，把不等式两边都化为同一自变量的函数值的形式，然后根据单调性得到自变量应满足的不等式再进行求解.东方沸点学校为你服务高考总复习高考总复习 数学（理）数学（理）备选例题4已知函数f(x)满足：对任意x，yR，都有f(xy)f
10、(x)f(y)f(x)f(y)2成立，且x0时，f(x)2.(1)求f(0)的值，并证明：当x0时，1f(x)2；(2)判断f(x)的单调性并加以证明；(3)若函数g(x)|f(x)k|在(，0)上递减，求实数k的取值范围东方沸点学校为你服务高考总复习高考总复习 数学（理）数学（理）东方沸点学校为你服务高考总复习高考总复习 数学（理）数学（理）(2)函数f(x)在R上是增函数设x1x2，则x2x10，f(x2x1)2，f(x2)f(x2x1x1)f(x2x1)f(x1)f(x2x1)f(x1)2f(x2x1)f(x1)1f(x1)2.由(1)可知对任意xR，f(x)1，f(x1)10.又f(x
11、2x1)2，f(x2x1)f(x1)12f(x1)2，f(x2x1)f(x1)1f(x1)2f(x1)，即f(x2)f(x1)，函数f(x)在R上是增函数东方沸点学校为你服务高考总复习高考总复习 数学（理）数学（理）(3)由(2)知函数f(x)在R上是增函数，函数yf(x)k在R上也是增函数，若函数g(x)|f(x)k|在(，0)上递减，则x(，0)时，g(x)|f(x)k|kf(x)，即x(，0)时，f (x)k0.x(，0)时，f(x)f(0)2，k2.东方沸点学校为你服务高考总复习高考总复习 数学（理）数学（理）答案 D东方沸点学校为你服务高考总复习高考总复习 数学（理）数学（理）东方沸点学校为你服务高考总复习高考总复习 数学（理）数学（理）例2 已知yloga(2ax)在0,1上是x的减函数，则实数a的取值范围是( )A(0,1) B(1,2)C(0,2) D(1，)答案 B东方沸点学校为你服务高考总复习高考总复习 数学（理）数学（理）解题思路 a0，ug(x)2ax在区间0,1上是减函数，又由于yloga(2ax)在区间0,1上是减函数，ylogau是增函数a1，还要使2ax0在区间0,1上总成立只要g(1)0即2a0，得a2.1a2.故选B.错因分析 忽视2ax0在区间0,1上恒成立，错选D.
