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1、2.2-2.3 离散型随机变量一、离散型随机变量的分布列 二、离散型随机变量的分布函数三、常见的离散型随机变量的概率分布定义 设离散型随机变量X所有可能的取值为x1 , x2 , , xn , 设设X取xi的概率，即事件X=xi的概 率为一、离散型随机变量的分布列 定义 若随机变量 X 的可能取值是有限多个或无穷可列多个，则称 X 为离散型随机变量P (X = xi )= pi （i = 1, 2, ） 则称这组概率 为随机变量X的概率分布(概率函数)或 分布列（律）。离散型随机变量的概率分布亦可用概率分布表来表示Xx1x2xnpkp1p2pn分布列的性质q 非负性q 规范性注意:离散型随机变
2、量的概率分布分以下几步来求:(1)确定随机变量的所有可能取值;(2)设法（如利用古典概率）计算取每个值的概率.(3)列出随机变量的概率分布表（或写出概率函数）.例1 从110这10个数字中随机取出5个数字，令 X：取出的5个数字中的最大值试求X的分布律具体写出，即可得 X 的分布律：解：X 的可能取值为5，6，7，8，9，10 并且=求分布率一定要说明 k 的取值范围！例 袋内有5个黑球3个白球,每次抽取一个不放回, 直到取得黑球为止。记X为取到白球的数目,Y为抽取次 数，求X、Y的概率分布及至少抽取3次的概率。解: (1)X的可能取值为0,1,2,3, P(X=0)=5/8, P(X=1)=
3、(35)/(87)=15/56,类似有P(X=2)=(325)/(8 7 6)=5/56, P(X=3)=1/56,所以,X的概率分布为X 0 1 2 3P 5/8 15/56 5/56 1/56(2) Y的可能取值为1,2,3,4,P(Y=1)=5/8, P(Y=2)=P(X=1)=15/56, 类似有：P(Y=3)=P(X=2)=5/56, P(Y=4)=P(X=3)=1/56,所以Y的概率分布为： (3) P(Y3)=P(Y=3)+P(Y=4)=6/56二、离散型随机变量的分布函数Xpk-1 0 10.250.50.25求X的分布函数，并求 -1 0 1xx 解：对于离散型随机变量X,其
4、分布函数F( x) 是分段 阶梯函数，在 X 的可能取值 xk 处发生间断，间 断点为第一类跳跃间断点，在间断点处有跃度 pk(1) 0 1 分布X = xk 1 0Pk p 1-p0 p 1注:其分布律可写成三、常见的离散型随机变量的概率分布凡是随机试验只有两个可能的结果，应用场合常用0 1分布描述，如产品是否格、人口性别统 计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等.则称 X 服从p为参数的0-1分布, 也称为贝努里分布.记 作 X B (1 , p ). 其概率分布可表示为(2) 离散型均匀分布 如在“掷骰子”的试验中，用 表示事件出现 点 ， 则随机变量 是均匀分布 (3) 二项分布背景
5、：n 重Bernoulli 试验中，事件A在n 次试验中发 生的次数 X 是一离散型随机变量. 若P ( A ) = p , 则X的分布律为若随机变量X具有上述概率分布，则称X 服从参 数为n, p 的二项分布，记作特别当 n=1时，二项分布为即为0-1分布。二项分布的图形例4 一大批产品的次品率为0.1，现从中取出15件试求下列事件的概率：B = 取出的15件产品中恰有2件次品 C = 取出的15件产品中至少有2件次品 由于从一大批产品中取15件产品，故可近似看作是一15重Bernoulli试验解：所以，取出的次品数于是例 一个完全不懂英语的人去参加英语考试. 假设此考试有5个选择题，每题有
6、n重选择，其中只 有一个答案正确.试求：他居然能答对3题以上而及 格的概率. 解:由于此人完全是瞎懵，所以每一题，每一个答案 对于他来说都是一样的，而且他是否正确回答各题 也是相互独立的.这样，他答题的过程就是一个 Bernoulli试验 .其中0是常数，则称X服从参数为的泊松分布，记 为XP()(4) 泊松分布（k =0，1，2，）定义 如果随机变量X的概率分布为在一定时间间隔内： 一匹布上的疵点个数； 大卖场的顾客数；泊松分布的应用场合电话总机接到的电话次数；一个容器中的细菌数；放射性物质发出的粒子数； 一本书中每页印刷错误的个数；某一地区发生的交通事故的次数都可以看作是源源不断出现的随机
7、质点流, 若它们满足一定的条件，则称为Poisson流, 在长为 t 的时间内出现的质点数 Xt P ( t )市级医院急诊病人数；等等例7 设随机变量X 服从参数为的Poisson分布， 且已知解：随机变量 X 的分布律为由已知如果随机变量X 的分布律为试确定未知常数c .例8由分布率的性质有解：(5) 几何分布 设用机枪射击一次击落飞机的概率为 ,无限次地射击， 则首次击落飞机时所需射击的次数 服从参数为 的几 何分布，记 .即 容易验证，若在前 m 次射击中未击落飞机，那么,在此条件下，为了等到击落时刻所需要等待时间也服从同一几何分布，该分布与 m 无关，这就是所谓的无记忆性.(6) 超
8、几何分布 设有产品 件，其中正品 件，次品 件（ ） ，从中随机地不放回抽取 件， ，记X为抽到的 的正品件数，求X 的分布律. 此时抽到 件正品的概率为 k=0，1， ，称X 服从超几何分布.记 可以证明超几何分布的极限分布就是二项分布，因此 在实际应用中，当 都很大时，超几何分布 可用下面式子近似 课堂练习1. 将一枚均匀骰子抛掷3次，令X 表示3次中 出现“4”点的次数求X的概率函数提示：. 设生男孩的概率为p,生女孩的概率为 q=1-p，令X表示随机抽查出生的4个婴儿中 “男孩”的个数.求X的概率分布.X的概率函数是：男 女解:X 表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数， 生男孩的概率为p.X=0X =1X =2X =3X =4X可取值0,1,2,3,4.
