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1、数 列数列的概念与简单简单 表示法要点梳理1.数列的定义按照 排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.一定顺序2.数列的分类分类类原则则类类型满满足条件 按项项数分类类有穷穷数列 项项数无穷穷数列 项项数按项项与项间项间 的大小关系 分类类递递增数列an+1 an其中 nN*递递减数列an+1 an常数列an+1=an 按其他 标标准分类类有界数列存在正数M,使|an|M摆动摆动 数列an的符号正负负相间间,如 1,-1,1,-1,有限无限3.数列的表示法:数列有三种表示法,它们分别是 、和 .4.数列的通项公式如果数列an的第n项an与 之间的关系可以用一个公式 来表示,那
2、么这个公式叫做这个数列的通项公式.列表法图象法解析法序号nan=f(n)S1Sn-Sn-1an-1an+1an-1an+1基础础自测测1.下列对数列的理解有四种:数列可以看成一个定义在N*(或它的有限子集1,2,3,n)上的函数;数列的项数是有限的;数列若用图象表示,从图象上看都是一群孤立的点;数列的通项公式是惟一的.其中说法正确的序号是 ( )A. B. C. D.解析 由数列与函数的关系知对,由数列的分类知不对,数列的通项公式不是惟一的,不对. C2.数列1, ,的一个通项公式an是( )A. B. C. D.解析 1可以写成 ,分母为3,5,7,9,即2n+1,分子可以看为13,24,3
3、5,46,故为n(n+2),即 .此题也可用排除法求解,只需验证当n=1时,A选项为 ,B选项为 ,C选项为 ,均不为1,故排除A、B、C,从而选D.D3.在数列an中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an (nN*),则a100等于 ( )A.1B.-1C.5D.-5解析 方法一 由a1=1,a2=5,an+2=an+1-an (nN*)可得该数列为1,5,4,-1,-5,-4,1,5,4,.由此可得a100=-1.方法二 an+2=an+1-an,an+3=an+2-an+1,两式相加可得an+3=-an,an+6=an,a100=a166+4=a4=-1. B4.若数列an的前n
4、项和Sn=n2-1,则a4等于( )A.7B.8C.9D.17解析 a4=S4-S3=42-1-(32-1)=7. A5.数列an中, ,Sn=9,则n= .解析99题型一 由数列的前几项写数列的通项公式【例1】 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式:(1)-1,7,-13,19,(2)0.8,0.88,0.888,(3)(4)(5)0,1,0,1, 题题型分类类 深度剖析思维启迪 先观察各项的特点,然后归纳出其通项公式,要注意项与项数之间的关系,项与前后项之间的关系.(1)由数列的前几项求它的一个通项公式,要注意观察每一项的特点,可使用添项、还原、分割等方法,转化为一些常见数列的通
5、项公式来求.(2)由数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,得出的结果是不可靠的,要注意代值检验,对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整. 探究提高题型二 由数列的递推公式求通项an【例2】根据下列条件,确定数列an的通项公式.(1)a1=1,an+1=3an+2;(2)a1=1,an+1=(n+1)an;(3)a1=2,an+1=an+(1)构造等比数列;(待定系数法)(2)转化后利用累乘法求解;(3)转化后利用累加法求解.解 (1)an+1=3an+2,an+1+1=3(an+1),数列an+1为等比数列,公比q=3,又a1+1=2,an+1=23n-1,an=2
6、3n-1-1.思维启迪探究提高 已知数列的递推关系,求数列的通项时,通常用累加、累乘、构造法求解.当出现an=an-1+m时,构造等差数列;当出现an=xan-1+y时,构造等比数列;当出现an=an-1+f(n)时,用累加法求解;当出现 时,用累乘法求解.知能迁移2 根据下列各个数列an的首项和基本关系式,求其通项公式.(1)a1=1,an=an-1+3n-1 (n2);(2)a1=1,an= an-1 (n2).解 (1)an=an-1+3n-1 (n2),an-1=an-2+3n-2,an-2=an-3+3n-3,a2=a1+31.以上(n-1)个式子相加得an=a1+31+32+3n-
7、1=1+3+32+3n-1= .题型三 由Sn与an的关系求通项an【例3】(12分)已知数列an的前n项和Sn满足an+2SnSn-1=0 (n2,n N*),a1= ,求an.由已知条件可将an=Sn-Sn-1(n2)代入等式,得关于Sn与Sn-1的一个等式,经变形推得数列 具有等差数列的特征,进而求得Sn,再得an. 思维启迪解 当n2, nN*时,an=Sn-Sn-1,Sn-Sn-1+2SnSn-1=0,数列的通项an与前n项和Sn的关系是,此公式经常使用,应引起足够的重视.已知an求Sn时方法千差万别,但已知Sn 求an时方法却是高度统一.当n2时求出an也适合 n=1时的情形,可直
8、接写成an=Sn-Sn-1,否则分段表示.探究提高知能迁移3 已知下列数列an的前n项和Sn,求an的通项公式:(1)Sn=2n2-3n;(2)Sn=3n+b.解 (1)a1=S1=2-3=-1,当n2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-2(n-1)2-3(n-1)=4n-5,由于a1也适合此等式,an=4n-5.(2)a1=S1=3+b,当n2时,an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=23n-1.当b=-1时,a1适合此等式;当b-1时,a1不适合此等式.当b=-1时,an=23n-1;当b-1时,题型四 数列的性质【例4】已知数列的通项公式为 .(1)0.98是不是
9、它的项?(2)判断此数列的增减性.(1)令an=0.98,看能否求出正整数n;(2)判断an+1-an的正负.解 (1)假设0.98是它的项,则存在正整数n,满足 =0.98,n2=0.98n2+0.98.n=7时等式成立,0.98是它的项. 思维启迪此数列为递增数列.(1)看某数k是否为数列中的项,就是看关于n的方程an=k是否有正整数解.(2)判断数列的单调性就是比较an与an+1的大小. 探究提高知能迁移4 已知数列an的前n项和Sn=-n2+24n (nN*).(1)求an的通项公式;(2)当n为何值时,Sn达到最大?最大值是多少?解 (1)n=1时,a1=S1=23.n2时,an=S
10、n-Sn-1=-n2+24n+(n-1)2-24(n-1)=-2n+25.经验证,a1=23符合an=-2n+25,an=-2n+25(nN*).(2)方法一 Sn=-n2+24n,n=12时,Sn最大且Sn=144.方法二 an=-2n+25,an=-2n+250,有n .a120,a130,故S12最大,最大值为144. 方法与技巧1.求数列通项或指定项.通常用观察法(对于交错数列一般用(-1)n或(-1)n+1来区分奇偶项的符号);已知数列中的递推关系,一般只要求写出数列的前几项,若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.2.强调an与Sn的关系:an=思想方法 感悟提高3.已知递推关系求通项:这类问题的要求不高,但试题难度较难把握.一般有三种常见思路:(1)算出前几项,再归纳、猜想;(2)“an+1=pan+q”这种形式通常转化为an+1+ =p(an+ ),由待定系数法求出 ,再化为等比数列;(3)累加或累乘法.