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1、返回2 行列式的基本性质与计算一、行列式的基本性质 二、行列式按任一行（列）展开返回定义3 设 一、行列式的基本性质 返回因为性质2. 互换两行(列),行列式改变符号.註：由性质1可知, 行列式中行与列具有同等地位, 行列式的性质凡是对行成立的, 对列也成立, 反之亦然.所以性质1. 行列式与它的转置行列式相等,即 返回註: 换行:换列:即例如:返回又如:推论1. 若行列式 中某一行(列)的所有元素均 为零,则 返回推论2. 若行列式D 中有两行(列)完全相同,则D=0.证明: 将相同的两行互换,有 性质3. 若行列式中某行(列)的所有元素是两个数 的和,则D可表示成两个新行列式之和.即返回返
2、回证明:当 i=1时，由行列式的定义知返回当i1时，把第i行与第一行互换，再按上面的方法 把行列式拆成两个行列式之和，然后再把这两个行 列式的第i行与第一行互换即可返回推论3. 若行列式 D 中有某两行(列)对应元素成比 例, 则 D=0.性质4. 行列式中某一行(列)所有元素的公因子可 以提到行列式符号的外面. 即返回(第 j 行)推论20.(第 i 行)也就是返回性质5 把行列式中某一行(列)的各元素乘以常数k 后加到另一行(列)对应的元素上去, 行列式保持不变, 即返回又注意:註: 利用上述性质和推论可以简化行列式的运算, 即可把行列式化成上三角(或下三角)行列式来计算.返回性质1. 行
3、列式与它的转置行列式相等,即 性质2. 互换两行(列),行列式改变符号.性质3. 若行列式中某行(列)的所有元素是两个数 的和,则D可表示成两个新行列式之和.即性质4. 行列式中某一行(列)所有元素的公因子可 以提到行列式符号的外面. 性质5 把行列式中某一行(列)的各元素乘以常数k 后加到另一行(列)对应的元素上去, 行列式保持不变返回例1. 计算解:D返回返回例2. 计算解 :从第四行开始, 后行减去前行, 得返回返回例3. 计算n 阶行列式 解: 此行列式的特点是各行 n 个数之和均为 a+(n-1)b, 故把第二列至第 n 列都加到第一列上去:返回返回型返回例5：计算解: (镶边法)返
4、回返回二、行列式按任一行(列)展开返回定理一. 行列式等于它的任一行(列)的各元素与 它们对应的代数余子式乘积之和，即或证明: 把行列式 D 的第 i 行的每个元素按下面的 方式拆成 n 个数的和, 再根据性质3, 可将 D 表示成 n 个行列式之和:引理：一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行（或 第 j 列）所有元素除 外都为零，则这个行列 式等于 与它的代数余子式的乘积，即返回引理返回推论. 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的 对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证明: 不妨设 i j, 考虑辅助行列式返回第 i 行第 j 行其中第i行与第 j行对应元素相同, 又将 按第 j行展开,有于是得返回上述证法按列进行, 同理可得 证毕.小结: 关于代数余子式的性质有:(1).(2).或简写成:返回返回例1. 利用定理一计算前面的例1解 :D返回返回例2. 计算解: 按第一行展开,有返回返回递推公式返回例3.证明范德蒙(Vandermonde)行列式说明:返回下面我们来证明范德蒙(Vandermonde)行列式.证明: 用数学归纳法. 因为返回返回按归纳法假设, 有故返回常见的行列式计算法1.用定义2.化为三角行列式3.每行(列)元素之和为同一常数4.奇数阶的反对称行列式为零(n为奇数）返回所以返回 型镶边法归纳法递推法利用范德蒙行列式
