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1、一、 值域与核的概念二、 值域与核的有关性质一、值域与核的概念定义1：设 是线性空间V的一个线性变换，集合 称为线性变换 的值域，也记作 或 集合 称为线性变换 的核，也记作 注： 皆为V的子空间.事实上， 且对 有即 对于V的加法与数量乘法封闭.为V的子空间. 再看 首先，又对 有 从而 即 故 为V的子空间.对于V的加法与数量乘法封闭.定义2：线性变换 的值域 的维数称为 的秩；的核 的维数称为 的零度. 例1、在线性空间 中，令则 所以D的秩为n1，D的零度为1. 1. (定理10) 设 是n 维线性空间V的线性变换， 是V的一组基， 在这组基下的矩阵是A，则1） 的值域 是由基象组生成
2、的子空间，即2） 的秩A的秩. 二、有关性质即 又对 证：1） 设 于是 有 因此， 的秩，又 秩 秩等于矩阵A的秩.2）由1）， 的秩等于基象组由第六章5的结论3知， 的秩2. 设 为n 维线性空间V的线性变换，则的秩 的零度n即 证明：设 的零度等于r ，在核 中取一组基 并把它扩充为V的一组基： 生成的.由定理10， 是由基象组但 设 则有 下证 为 的一组基，即证它们即 可被 线性表出. 线性无关.设 于是有 由于为 V的基. 的秩nr .因此， 的秩 的零度n.故 线 性无关，即它为 的一组基. 虽然 与 的维数之和等于n ，但是未必等于V. 如在例1中, 注意：) 是满射证明：)
3、显然.) 因为 若 为单射，则 3. 设 为n 维线性空间V的线性变换，则) 是单射 反之 ，若 任取 若 则即 故 是单射.从而 是单射 是满射. 证明： 是单射 4. 设 为n 维线性空间V的线性变换，则是满射. 例2、设A是一个n阶方阵， 证明：A相似于证：设A是n维线性空间V的一个线性变换 在一组基 下的矩阵，即 一个对角矩阵由 知 任取 设 则 故有 当且仅当 因此有 又 所以有 从而 是直和 .在 中取一组基： 则 就是V的一组基. 显然有， 在 中取一组基 ：用矩阵表示即 所以，A相似于矩阵线性变换 在此基下的矩阵为 1) 求 及 2) 在 中选一组基，把它扩充为V的一组基， 并求 在这组基下的矩阵.并求 在这组基下的矩阵.3) 在 中选一组基，把它扩充为V的一组基，例3、设 是线性空间V的一组基，已知解：1）先求 设 它在下的坐标为故由于 有 在 下的坐标为 解此齐次线性方程组，得它的一个基础解系： 从而 是 的一组基. 由于 的零度为2 ，所以 的秩为2，又由矩阵A，有即 为2维的.再求2）因为 从而有所以， 线性无关，就是 的一组基. 而 可逆. 从而 ， 线性无关，即为V的一组基. 在基 下的矩阵为 3）因为 可逆 .而从而 线性无关，即为V的一组基. 在这组基下的矩阵为作业P326 16
