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1、 矩阵的秩例如:对于方阵,矩阵在初等变矩阵的秩可以反映矩阵的可逆性、换下可化成怎样的标准形式、线性方程组是否有解、 齐次线性方程组的基础解系含有几个解向量等.还有“特征值”.能反映矩阵的许多特性.除“秩”外,Ch3 矩阵的特征值和特征向量在矩阵求逆、矩阵运算中，掌握矩阵的特征值、 特征向量和相似矩阵理论是重要和方便的。它们在很 多方面都有广泛应用。3.1 矩阵的特征值和特征向量 在经济管理的许多定量分析模型中，经常遇到 矩阵特征值和特征向量问题。引言例如例1 定量分析污染与工业发挥水平的关系模型：，设是某地区目前的污染水平，是目前的工业发展水平。若干年后的污染述评和工业发展水平分别为，它们之间
2、具有关系或 记有当有，。，由此，可预测出污染水平和工业发展水平的状态 具有倍数关系。这是所谓矩阵特征值与特征向量问题。 。下面给出特征值与特征向量概念，除特别声明， 均在实数域上讨论矩阵特征值与特征向量问题。时一、 矩阵的特征值、特征向量概念定义3.1 设是 阶矩阵，如果存在一个数,相应地有非零向量,使得（3.1.1）, 那么就称是矩阵的一个特征值, 称为的一个特征向量.的属于特征值注1)矩阵的特征值、特征向量有两个前提条件: （1） 特征值是一个数； （2） 特征向量是非零向量, 且满足； （3）对任何数,有 , 但0不是的特征向量,也不能说不是的特征值.注2)特征值与特征向量是相互联系的两
3、个概念,即有特征值一定有相应的特征向量, 有特征向量一定有相应的特征值.注3) 等式刻划特征向量的特性:对 作用只发生数量倍的变化.对于普通的几何空间而言, 上述特性 有明显的几何意义:与共线.一般地，向量经过线性变换后，表明是共线的。注4）对给定矩阵， 并不是随便那个数都是它的特征值的。二、特征值、特征向量的求法、特征多项式设矩阵有一个特征值 ,是 的属于特征值 的 特征向量，则 ,于是有. 这表明 是齐次线性方程组 (3.1.2 )的一个非零解（向量）。 因而由齐次线性方程组理论，于是其系数矩阵的行列式 。设 为 阶矩阵,命题是矩阵 一个特征值充分必要条件是为以 为变量的一元 次代数方程(
4、3.1.3) 的根。称为A的特征矩阵，其行列式定义3.2含有未知数 的矩阵称为矩阵 的特征多项式,记作 . 称为矩阵 的特征方程。是A的属于 特征值的特征向量的充分必要条件是为 特征方程的根，设 为 阶矩阵,代数方程（证明略）定理3.1则 是A的特征值，是齐次线性方程组的非零解（向量）。注1) 的特征多项式 是一个 次 且首项系数是1；多项式, 注2) 如果 是A的特征值，常常称为A的特征根；注3) 根据定理3.1和齐次方程组理论， 可以得到推论1 如果 是A的属于特征值 的特征向量， 则对任意常数 ，也是A的属于特征值 的特征向量。且 ，则推论2如果都是A的属于特征值 的特征向量，也是A的属
5、于特征值 的特征 向量。 为数值。推论3 如果都是A的属于特征值 的特征向量， 则也是A的属于特征值的特征向量， 其中(它就是 的属于特征值的全部特征值、特征向量的求法 注4)第一步 对给定下的矩阵 ， 计算特征多项式 ;第二步 求出特征方程 中的全部根 (即 的全部特征值，其中可能有重根或成对出现、重数相同的复数根); 第三步 对每一个特征值 , 求出齐次线性方程组的一个基础解系的极大无关的特征向量组),由此可求出 的属于 的全部特征向量 ， 其中为数值.例2求矩阵 的特征值和 相应的特征向量. 解：矩阵 的特征多项式为 因此由 可得 的全部特征值为 .即求解对于 ，解齐次线性方程组 ,得到
6、一个基础解系 ， ，这里 为任意常数。于是 的属于的全部特征向量为即求解对于 ，解齐次线性方程组 ,得到一个基础解系 ，这里 为任意常数。 于是 的属于 的全部特征向量为 ，例3求矩阵 的特征值和相应的特征向量.解：矩阵 的特征多项式为 因此 没有实数解，在实数域上无特征值 ，但在复数域上，可得 的全部特征值为 解齐次线性方程组 ,对于 ， 即求解 得到一个基础解系 ，全部特征向量为 ，解齐次线性方程组 ,对于 ，的于是的属于 的全部特征向量为，这里 为任意常数。即求解得到一个基础解系 ，于是的属于 这里为任意常数。特征值与讨论数域有关，如果限制在实数域上， 矩阵的特征值可能不存在或者不够多。
7、注5） 本例表明，对于给定的实数矩阵， 其特征值可能不是实数，这时它的所有特征值全为复数。对于 ，例4求矩阵特征值和相应的特征向量.解: 矩阵 的特征多项式为 因此由可得 的全部特征值为（二重根），.即求解解齐次线性方程组 ,得到一个基础解系，于是的属于的全部特征向量为这里为不全为零的任意常数。 即求解对于 ， 解齐次线性方程组 ,于是 的属于 的全部特征向量为得到一个基础解系，这里，为任意常数。求矩阵特征值和相应的特征向量.例5 解:矩阵 的特征多项式为（二重根）， .因此由可得 的全部特征值为即求解对于 ，解齐次线性方程组 ,得到一个基础解系 解齐次线性方程组 ,的属于 的全部为非零任意常
8、数 。于是 特征向量为，这里即求解对于 ，,于是 的属于得到一个基础解系，的全部特征向量为 ，为任意常数。这里对于给定的 阶矩阵A，记为 。的解空间。注6）A最多有 个不同的特征值， 每个特征值可以确定一簇特征向量。阶矩阵A属于特征值的特征向量全体再添加零向量构成 的一个子空间， 称为矩阵A 对应特征值 的特征子空间，它就是齐次线性方程组证明：设是矩阵A的属于的一个特征向量，则于是的一个特征向量。由此可知，是 阶矩阵 的一个特征值，并且是矩阵的属于例6设 是 阶矩阵A的一个特征值，证明是阶矩阵的一个特征值。三、矩阵特征值和特征向量的性质特征多项式、特征值.定理3.2设是 阶方阵, 则与 有相同
9、的有 证明：根据行列式性质和特征多项式定义，此即 与 有相同的特征多项式， 从而有相同的 特征值。则 ，假定 不可逆，是它的任一特征值都不等于零。定理3.3阶方阵可逆的充分必要条件于是证明： 必要性： 设阶方阵可逆， 则 ，的任一特征值都不为零。即0不是 的特征值，亦即于是充分性：设的任一特征值都不为零，这表明0是 的特征值， 与已知条件矛盾。 故 必然可逆。个彼此不同的特征值，线性无关。定理3.4设是阶方阵,是 的个彼此不同的特征值，分别是 的属于 的特征向量， 则证明略属于 的线性无关的特征向量组，定理3.5设是 阶方阵,是的 是的 则证明略是线性无关向量组。个特征值为 ,设 ,例如例4中情形。根据定理3.5，是的 个所有不同的特征值，则特征子空间的基向量组 合起来的向量组线性无关。则定理3.6满足并且在复数域中的 1) （矩阵A的迹）；2)哈密顿凯莱 定理的迹具有性质： 1)2)3)4 )设是的特征多项式, 则例 设矩阵，已知A有特征值求x的值和A的另一特征值解：于是有
