《稳定性定义与稳定性条件(四讲new)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《稳定性定义与稳定性条件(四讲new)（51页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第4章 控制系统稳定性分析4.1 稳定性定义与稳定性条件当系统受到扰动后，其状态偏离平衡状态，在随后所有时间内， 系统的响应可能出现下列情况： 1)系统的自由响应是有界的； 2)系统的自由响应是无界的； 3)系统的自由响应不但是有界的，而且最终回到原先的平衡状态。李雅普诺夫把上述三种情况分别定义为稳定的、不稳定的和渐近 稳定的。显然，如果系统不稳定，则系统的响应是无界的，系统的输出将 逐渐增加直到损坏系统，或者进入振荡状态。因此，系统稳定是保证 系统能正常工作的首要条件。稳定性是控制系统最基本的性质。李雅普诺夫用范数作为状态空间“尺度”的度量。4.1.1 范数的概念1. 向量的范数定义：n维向
2、量空间 的范数定义为:(4.1)2. 矩阵的范数定义：mn矩阵A的范数定义为:(4.2)(4.3)4.1.2 4.1.2 平衡状态平衡状态系统没有输入作用时，处于自由运动状态。当系 统到达某状态，并且维持在此状态而不再发生变化的 ，这样的状态称为系统的平衡状态。根据平衡状态的定义可知,连续系统 的平衡状 态 是满足平衡方程 即 的系统状态。离散 系统 的平衡状态，是对所有的k，都满足 平衡方程 的系统状态。首先讨论线性系统 的平衡状态。由 于平衡状态为 ，因此，当A为非奇异矩 阵时，系统只有一个平衡状态 ；当A 为奇异矩阵时，系统有无穷多个平衡状态。对于非线性系统，可能有一个平衡状态， 也可能
3、有多个平衡状态。这些平衡状态都可以 由平衡方程解得。下面举例说明。例4.1 求下列非线性系统的平衡状态解 由平衡状态定义，平衡状态 应 满足:得非线性系统有三个平衡状态：, , .研究系统稳定性都是对平衡状态而 言的。4.1.3 李雅普诺夫稳定性定义1.稳定定义:如果对于任意给定的每个实数 ,都 对应存在着另一实数 ,使得从满足不等 式 的任意初态 出发的系统响 应,在所有的时间内都满足 则称系统 的平衡状态 是稳定的.若 与 的选取无 关,则称平衡状态 是一致稳定的.l2.渐近稳定定义：若平衡状态 是李雅普诺夫意义下稳定 的，并且当 时， ,即 ， 则称平衡状态是渐近稳定的。3. 大范围（渐
4、近）稳定定义：如果对任意大的 ，系统总是稳定的， 则称系统是大范围（渐近）稳定的。如果系统 总是渐近稳定的，则称系统是大范围渐近稳定 的。4. 不稳定定义：如果对于某一实数 ，不论 取多 小，由 内出发的轨迹，至少有一条轨迹越 出 ，则称平衡状态为不稳定.上述定义对于离散系统也是适用的，只是 将连续时间t理解为离散时间k。注意:稳定性讨论的是系统没有输入（包括参考 输入和扰动）作用或者输入作用消失以后的自 由运动状态。所以，通常通过分析系统的零输 入响应，或者脉冲响应来分析系统的稳定性。在经典控制理论中，只有渐近稳定是稳 定系统，只在Lia稳定不是渐近稳定是 临界稳定，在工程上属于不稳定系统。
5、图（a）、(b)、(c)分别表示平衡状态为稳定、 渐近稳定和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。5 二次型标量函数：1） 存在2）3）当时，则称 是正定的（正半定的）。如果条件3）中不等式的符号反向，则称 是负定的（负半定的）。 l 例l 1） 正定的l 2） 半正定的l 3） 负定的l 4） 半负定的l 5） 不定的5 二次型：塞尔维斯特（Sylvester）定理： 为正定的充要条件是 的所有顺序主子行列式 都是正的。如果 的所有主子行列式为非负的 （其中有的为零），那么 为半正定的。例4.2 证明下列二次型函数是正定的。课后完成利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。 1、线性定常系统稳定性的
6、特征值判据：李氏稳定的充要条件：即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左 半部。4.1.44.1.4李雅普诺夫第一方法（间接法）李雅普诺夫第一方法（间接法）4.1.44.1.4李雅普诺夫第一方法（间接法）李雅普诺夫第一方法（间接法）设 ， 为孤立平衡点。（1）平衡点平移：令则将 在原点展开得 ，yGAyy)(+=如果存在 ，则 不稳定；(2)近似线性化：来决定。 例4.3 已知非线性系统il Re( ( ) 0Ail Re( ( ) 0A=ij=1n其中 常数，试分析其平衡状态的稳定性。知系统有平衡点解: 求平衡状态：由下面仅对 情况进行研究，其它情况类似计算由特征方程 ，得 -=11010 ac
7、osxae当 时，系统在 渐近稳定；时，系统在 不稳定;如果 ,其稳定性靠一次近似不能判断。4.1.54.1.5李雅普诺夫第二方法（直接法）李雅普诺夫第二方法（直接法）定理1 假设系统的状态方程为如果存在一个具有连续偏导数的标量函数并且满足条件：1） 是正定的；2） 是负定的。那么系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。能量随时间连 续单调衰减且x,V(x,t) xe=0是大范围渐近稳定;如果 V(x,t)与t无关,则是大范围一致渐近稳定。不求解系统的运动方程，而是借助于一个lia函数来直接对系统 平衡状态的稳定性做出判断。从能量观点来进行稳定性分析。例4.4 已知系统试用李雅普诺夫第二方法判断其
8、稳定性。定理4 若1) 2) 则原点是不稳定的。定理3 若1) 2) 3） 在非零 状态存在恒为零，则原点是李雅普诺夫意义下稳定。 说明： 系统维持等能量水平运动，使 维持在非零状态而不运行至原点。定理2 若1) 2) 3) 在非零状 态不恒为0，则原点是渐近稳定的。 说明：不存在 ,经历能量等于恒定 ，但不维持该状态。 能量函数随时 间增大，x在原 点处发散( , ) 0V x t&原点处是大范围渐近稳定的解: 显然，原点 是唯一平衡点，取 ，则又因为当时，有所以系统在例4.5 已知系统试用李雅普诺夫第二方法判别其稳定性。解: 系统具有唯一的平衡点取 则因为除原点处外， 不会恒等于零。 当时
9、，所以系统在其原点 处大范围渐近稳定。 例4.6 系统的状态方程为试确定系统在其平衡状态的稳定性。解: 系统具有唯一的平衡点取则 于是知系统在原点处不稳定。4.1.6 4.1.6 几点说明几点说明定常连续系统，Q，P 为正定实对称阵4.2 李亚普诺夫方法在线性系统中应用4.2.14.2.1线性定常系统渐近稳定性判别法线性定常系统渐近稳定性判别法定理1: 系统在原点全局渐近稳定的充要条件为方程,有唯一正定对称解. 证明：充分性：考虑系统其中令如果 则大范围渐近稳定。x Ax=&必要性：xe=0渐近稳定P存在且正定PP例4.8: 分析下列系统稳定性解：令得则由xe=0解上述矩阵方程，有即得因为可知
10、P是正定的。因此系统在原点处是大范围 渐近稳定的。 则系统在原点为渐近稳定的充分必要条件是方程存在唯一正定对称解定理2定常离散系统，Q，P 为正定实对称阵设例4.9 试确定系统在原点的稳定性, 得解:在李雅普诺夫方程中,取由此解出（课后练习）4.2.2 线性定常连续系统的稳定性条件 （同学自学）1. SISO线性定常连续系统稳定的条件设描述SISO线性定常连续系统的微分方程为:(4.4)则系统的特征方程为:(4.5)设特征方程(4.5)有k个实根 ，r对共轭复根 ，则系统的脉冲响应为:(4.6)从上式可以看出：1）若 ， 均为负实部，则有 ，因此 ，当所有特征根的实部都为负时，系统是稳定 的；
11、2）若 ， 中有一个或者几个为正，则有 ，因此，当特征根中有一个或者几个为正实部 时，系统是不稳定的；l3）若 中有一个或者几个为零,而其它 ， 均为负，则有 为常数。若 中有一个 或者几个为零，而其它 、 均为负，则 y(t)的稳态分量则为正弦函数。因此，当特征 根中有一个或者几个为零，而其它极点均为负 实部时，系统是一种临界情况，称为临界稳定 的。临界稳定在李氏稳定性意义下是稳定的， 但在工程上是不允许系统工作在临界稳定状态 的，所以，临界稳定在工程上是不稳定的。结论：线性定常连续系统稳定的充分必要条 件是，系统的全部特征根或闭环极点都具有负 实部，或者说都位于复平面左半部。 2. MIM
12、O线性定常连续系统稳定的条件描述MIMO线性定常连续系统的状态方程为：（4.7）设A有相异特征值 ，则存在非奇异线性变换 ，使 为对角矩阵，即:非奇异线性变换后的状态方程的零输入解为:由于 ， ，所以，原状态方程的 零输入解为:(4.8)可见 (4.9)将上式展开, 的每个元素都是 的线 性组合，所以可写成矩阵多项式:所以(4.10)从上式可见，当A的所有特征值位于复平面左半平 面，即 ， ，则对任意x(0)，有 ，系统渐近稳定。只要有一个特征值值的实部大于 零，对对于 ， ，系统统不稳定。当有特 征值的实部等于零，而其它特征值的实部小于零 ，则随着时间的增加，x(t)趋于常值或者为正弦波 ，
13、系统是李雅普诺夫意义下稳定的，或者称为临 界稳定的。当A具有重特征值时,x(t)含有 诸项 ，稳定性结论同上。结论：MIMO线性定常连续系统稳定的 充分必要条件是，系统矩阵A的全部特征 值具有负实部，或者说都位于复平面左半 部。4.2.3 线性定常离散系统的稳定性1. SISO线性定常离散系统稳定性条件设线性定常离散系统的脉冲传递函数为 ，则 系统输出的Z变换为 ：(4.11) 现在讨论系统在单位脉冲序列离散信号(R(z)=1) 作用下的输出响应序列。（1） 有 n个互异的单极点 ， 。Y(z)可以展成:相应的脉冲响应序列为:(4.12)如果所有的极点在单位圆内,即 ， ，则 ，所以，系统是渐近稳定的。如果其中有一个极点在单位圆上，设 ， 而其余极点均在单位圆内，则
