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1、3. 如何作好建模过程中的假设 1. 根据实际问题需要提出新的不同假设 实例 席位分配问题：甲，乙，丙三个公司各投资 103万元，63万元，34 万元组建联合企业集团。为了成立由 20 人组成的集团董事会，按 投资数比例分配 董事席位如下：甲公司 10人 ( ( 20 (103 / (103+63+34) ) = 2051.5% = 10.3人 ) ，乙公司 6人 ( 20 (63 / (103+63+34) ) = 2031.5% = 6.3人 ) ，丙公司 4人 ( 20 (34 / (103+63+34) ) = 2017 % = 3.4人 )。经一段时间后，委员会需要增加一个代表席位，
2、变为 21人董事会，根据投资数比例分配办法，重新计算如下：甲公司 11人（2151.5% = 10.8 人），乙公司 7人（2131.5% = 6.61 人），丙公司 3人（2117 % = 3.57 人）。问题分析：“按投资数比例分配席位是科学合理 ”的说法，在增加席位这一新问题上，显然是一个不成功的假设。需提出新的假设，并建立新的席位分配模型，以期解决在增加代表人数时，某个单位不仅得不到代表增加数，反而减少原有代表数的问题。 出现 反常现象（Alabama Paradox）！ 分配席位过程中，“公平”是一个原则。“公平” 的数量化度量方法是考虑代表率。但由于人数需取整原因，不可能做到绝对公
3、平，即绝对按代表率数值来分配整数席位是无法实施的，因此在评价两种都不是绝对公平的方案时，要对不公平程度作出数量化度量，以不公平程度最小为取舍原则。什么是一个方案的 不公平程度的数量度量 ？先研究只有两个公司的情况。如果已有分配方案： 公司 投资数 席位 代表率甲公司 p1 n1 p1 / n1乙公司 p2 n2 p2 / n2假定 p1 / n1 p2 / n2 , 即对甲公司存在 不公平因素 。借用数学中的有关概念, 引入该方案的相对不公平值 r 来量化这个 不公平因素 ： 这时，若再增加一席，有两种方案：甲 p1 n1+1 p1 /（n1+1） 乙 p2 n2 p2 / n2和甲 p1 n
4、1 p1 / n1乙 p2 n2+1 p2 /（n2+1）它们各自有两个相对不公平值 r1 和 r2 : 我们现在为了解决两公司情况中增席而不发生反常现象（Alabama Paradox）的问题，认为 “取相对不公平值为最小的方案来操作 ” 是能够建立科学合理的席位分配模型的（一种新假设 ）。在这种最合理的假设下，我们的操作过程（建立模型过程）为比较 r1 和 r2 的大小：如果 r1 r2 ， 则给乙公司增席；如果 r 2 r1 ， 则给甲公司增席。 若记 则 “ 给甲公司增席” r1 Q2 .称之为 Q 值（Quota），上述建模方法因此称为 “比较 Q 值大小法 ” ，简称 “Q值法 ”
5、 ，具体地说，就是在现有的席位分配状态下，各自计算Q值，哪个Q 值大，就增加一席给哪个公司。至于开始的分配方案，可以均取为一席，然后用上述Q值法从第三席起进行增席操作，直止所有席位分配完毕。这样建立的席位分配模型，显然能够解决问题而不出现 Alabama Paradox 。这种模型也适用于两个公司以上的多公司情况。 例如我们来解决本节开始提出的三公司分配董事会席位问题： 公司 （投资数） 席位数 （Q值） 甲公司（103万元） 1 （5304.5） 2（1768.2） 2（1768.2） 乙公司（63万元） 1 （1984.5） 1（1984.5） 2（661.5） 丙公司（34万元） 1 （
6、578） 1 （578） 1 （578）3（884.1） 4（530.5） 4（530.5） 4（530.5） 2（661.5）2（661.5）3（330.8） 3（330.8）1（578） 1（578） 1 （578） 2（192.7）5（353.6） 6（252.6） 6（252.6） 7（189.4） 3（330.8）3（330.8） 4（198.5） 4（198.5）2（192.7） 2（192.7） 2 （192.7） 2 （192.7）7（189.4） 7（189.4） 8（147.3） 9（117.9） 5（132.3）5（132.3） 5（132.3） 5（132.3）2（19
7、2.7） 3（96.3） 3 （96.3） 3 （96.3）9（117.9） 10（96.4） 11（80.4） 11 6（94.5） 6（94.5） 6（94.5） 63（96.3） 3（96.3） 3（96.3） 4 问题的最后答案是：甲公司 11席，乙公司 6席，丙公司 4席。 从分配过程中可看到，实际上总共20个席位时，分配方案是 （11，6，3），而不是（ 10，6，4 ），在此基础上再增一席，就变成了（11，6，4） 我们称 Q值法 ，即分配方案的相对不公平值应最小 ，是建立席位分配模型的一种 假设 ，而不是一种真理，这表明还可以提出另外种种假设，从而可能得到席位分配模型的另外的解
8、答方案。答案不唯一 ！ 这就是数学建模的魅力所在 ！ 例如，在多公司席位分配问题中，有人认为衡量各种方案中不公平程度最小的数量指标 （建模的不同假设）是 rmax 最小值 ，从而得到一种称之为 rmax 最小法 的数学模型 。 这种方法的操作过程是：设想将增加一席分别给某公司，共有若干个（n 个）方案，每个方案中公司与公司之间都可以算出一个相对不公平值 r，一共可得到 n（n+1）/ 2 个 r 值，其中最大的一个 r 值称为该方案的 rmax 值，在 n 个 rmax 值中最小的值，称为 rmax 最小值 （两极分化最小的模型是好模型），它所对应的分配方案就认为是相对而言最为公平合理的方案。
9、考察以下分配 13 个席位后，再增加一席时的操作实例：公司 投资数 已分配席位数 甲公司 25 2 乙公司 100 10 丙公司 14 1 p n p/n25 3 8.33 (1) 100 10 10 rmax = （14 - 8.33）/ 8.33 = 0.6814 1 14p n p/n25 2 12.5 (2) 100 11 9.09 rmax = （14 - 9.09）/ 9.09 = 0.5414 1 14p n p/n25 2 12.5 (3) 100 10 10 rmax = （12.5 - 7）/ 7 = 0.78514 2 7根据 rmax最小法 ，应取方案（2）,即 ( 2
10、 , 11 , 1 ) 为相对而言最为 “ 公平合理 ” 的增席方案。 在此（ 2 ， 10 ， 1 ）的基础上，如果要增加一席有三种方案：故根据 Q 值法 ，在 （2 ，10 ，1 ）时，相应的 Q 值分别为 （104.1 , 90.9 , 98 ) , 故增一席时应取方案（1）， 即( 3 , 10 , 1 ) ； 而根据 按投资数比例法 ( 140.179 = 2.506 3 ; 140.719 = 10.07 10 ; 140.101 = 1.41 1 ) ， 也应取方案（1），即 ( 3 , 10 , 1 ) ！ 该问题产生了两个相互矛盾但都为 “ 正确 ” 的解答 ！应该注意到，投
11、资数比例值 此时 Q 值25/ 139 = 0.179 104.16100/139 = 0.719 90.914/139 = 0.101 98在数学模型（高教出版社）第 55页习题 1中，还介绍了一种比利时大学生 Victor Dhondt 提出的 DHondt 法 ，请分析一下他提出的方案公平（不公平）程度数量化方法（建模新假设）是什么？这种方法是否可以解决增席问题？它与这里介绍的 Q值法 和 rmax最小法 在具体操作中是否会有不一样的结果？如果有不一样的情况，则可以说明 Q值法 、rmax最小和 DHondt 法 是不一样的三种方法。（提示：考察三公司投资数分别为25，100，14；席位
12、总数为 8 的分配问题。Q 值法 结果是：1，6，1 ；rmax 最小法 结果是：2，5，1 ； DHondt 法 结果是： 1，7，0 。） 你能提出第四种解决增席问题的方法吗？2. 模型假设的逐步完善与修改 实例 电饭锅销售量预测问题：根据某些统计数据寻求销售量 x 随时 间 t 变化的曲线 x = x（t）, 从而给决策部门提供 销售预测信息 ，以便在最佳时间点 上推出新一代的产品。 假设：新产品面世一段时间内，任何时刻销售量关于时间的 增长率 是一常数 r 。 建模：记 x（t）为销售量，t 为时间。在某时刻起的某段时间间隔 内，由假设可得： 销售量 x 的 增长量 为 x（t + t）- x（t） = x（t） ； 单位时间的增长量为 单位时间的增长量为 这段时间间隔内平均增长率为 t 时刻的（瞬时）增长率为由假设得模型： . 这里 x（0）= x0 为面世时的销售基数（可认为是为作广告的赠送 品数目）。 求解： x(t) = x0ert .分析： 将 t 离散化 : t = 1 , 2 , 3 , 4 , . 记 er = q 1 , 则 x = x0
