数学建模之运筹学

《数学建模之运筹学》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模之运筹学（68页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、 第一讲 数学建模简介及数学规划模型 Introduction of MM and Mathematical Programming ModelNetwork Programming 数学建模Mathematical Modeling 第一讲 数学建模简介及数学规划模型Page 2 of 68数学建模简介第一讲 数学建模简介及数学规划模型Page 3 of 68一般地，一般地，数学模型数学模型可以描述为，对于现实世界的一个可以描述为，对于现实世界的一个特特 定对象定对象，为了一个，为了一个特定目的特定目的，根据特有的，根据特有的内在规律内在规律，作，作 出一些出一些必要必要的的简化假设简化假设

2、，运用适当的，运用适当的数学工具数学工具，得到的，得到的 一个一个数学结构数学结构。把现实世界中的实际问题加以把现实世界中的实际问题加以提炼提炼，抽象抽象为数学模型，为数学模型， 求出求出模型的解，模型的解，验证验证模型的合理性，并用该数学模型所模型的合理性，并用该数学模型所 提供的解答来提供的解答来解释解释现实问题，我们把数学知识的这一应现实问题，我们把数学知识的这一应 用过程称为用过程称为数学建模数学建模。数学模型或者能数学模型或者能解释解释特定现象的现实状态，或者能特定现象的现实状态，或者能预测预测 到对象的未来状况，或者能到对象的未来状况，或者能提供提供处理对象的最优处理对象的最优决策

3、决策或或 控制控制。第一讲 数学建模简介及数学规划模型Page 4 of 68数学模型的分类 1、按模型的应用领域分类：生物数学模型 医学数学模型 地质数学模型 数量经济学模型数学社会学模型 2、按是否考虑随机因素分类：确定性模型 随机性模型 3、按是否考虑模型的变化分类：静态模型 动态模型第一讲 数学建模简介及数学规划模型Page 5 of 684、按应用离散方法或连续方法分类：离散模型 连续模型 5、按建立模型的数学方法分类：几何模型 微分方程模型 图论模型规划论模型 马氏链模型第一讲 数学建模简介及数学规划模型Page 6 of 686、按人们对是物发展过程的了解程度分类： （1）白箱模

4、型：指那些内部规律比较清楚的模 型。如力学、 热学、电学以及相关的工程技 术问题。 （2）灰箱模型：指那些内部规律尚不十分清楚， 在建立和改 善模型方面都还不同程度地有许多 工作要做的问题。如 气象学、生态学经济学等领域的模 型。 （3）黑箱模型：指一些其内部规律还很少为人们所知的现象。 如生命科学、社会科学等方面的问题。但 由于因素众多、 关系复杂，也可简化为灰箱模型来研 究。 第一讲 数学建模简介及数学规划模型Page 7 of 68数学建模的几个过程1、模型准备 2、模型假设3、模型建立 4、模型构成5、模型求解 6、模型分析7、模型检验 8、模型应用 第一讲 数学建模简介及数学规划模型

5、Page 8 of 68 模型准备了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征形成一个 比较清晰 的问题模型假设针对问题特点和建模目的 作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中第一讲 数学建模简介及数学规划模型Page 9 of 68 模型建立用数学的语言、符号描述问题 发挥想像 力使用类比法 尽量采用简单的数学工 具各种数学方法、软件和计算机技术如结果的误差分析、统计分析、模型对数据 的稳定性分析模型求解模型分析第一讲 数学建模简介及数学规划模型Page 10 of 68模型检验与实际现象、数据比较，检验模型的合理 性、适用性 模型应用第一讲 数学建模简介及数学规划模型Page 1

6、1 of 68数学建模有助于培养以下几个方面的素质和能力： 数学素质和能力 计算机应用能力 论文写作能力 团队合作精神和进行协调的组织能力 培养想象能力 发展观察力，形成洞察力 勇于参与的竞争意识和不怕困难、奋力攻 关的顽强意志第一讲 数学建模简介及数学规划模型Page 12 of 68为培养和选拔优秀的数学人才，世界各国 有各种不同形式不同层次的数学竞赛. 传 统的数学竞赛只局限于演绎、推理等纯数 学形式，它不能培养和发展学生运用数学 知识解决实际问题的能力，不能满足科学 技术飞速发展的时代需要. 从1983年起， 在美国就有一些有识之士开始探讨组织一 项应用数学方面的竞赛的可能性.第一讲

7、数学建模简介及数学规划模型Page 13 of 681985年美国第一届大学生数学建模竞赛（ mathematical competition in modeling） 1988年改为mathematical contest in modeling 简称MCM. 由美国工业与应用数学会和美国 运筹学会联合举办. 1985年起每年举行一 届，一般在每年的二月下旬或三月初的某 个星期五或星期日举行. 美国竞赛评出 Outstanding, Meritorious, Honorable Mention及Successful Participation等级别.第一讲 数学建模简介及数学规划模型Page

8、 14 of 681989年北京的三所大学组队参加美国的 MCM竞赛,此后我国的参赛队伍越来越多. 19921993年中国工业与应用数学学会（ CSIAM）举办了两次中国大学生数学建模 竞赛. 1994年起，由国家教委（教育部）高教司和 中国工业与应用数学学会共同于每年9月 举办，1999年开始设立大专组的竞赛.第一讲 数学建模简介及数学规划模型Page 15 of 68无论是美国还是我国大学本科组数学建模竞赛题 每年都是两道，参赛队从中任选一道题目. 一般 来说其中一道是连续型，另一道是离散型；或 者一道是开放型的，另一道是严谨型的. 竞赛内 容或题目是由工程技术、管理科学中的实际问 题简化

9、而成，留有充分余地供参赛者发挥其聪 明才智和创造精神. 竞赛形式为三名学生组成一 队，可以自由地收集资料、调查研究，使用计 算机、因特网和任何软件，在三天时间内分工 合作完成一篇论文.评奖标准为模型假设的合理 性、建模的创造性、结果的准确性和文字表述 的清晰程度.第一讲 数学建模简介及数学规划模型Page 16 of 68初等模型第一讲 数学建模简介及数学规划模型Page 17 of 68一辆汽车在拐弯时急刹车，结果冲到路边一辆汽车在拐弯时急刹车，结果冲到路边 的沟里（见下图），交通警察立即赶到了的沟里（见下图），交通警察立即赶到了 事故现场。司机申辩说，当他进入弯道时事故现场。司机申辩说，当

10、他进入弯道时 刹车失灵，他还一口咬定，进入弯道其车刹车失灵，他还一口咬定，进入弯道其车 速为每小时英里（这是该路的速度上速为每小时英里（这是该路的速度上 限，约合每秒限，约合每秒. .米）。警察验车时米）。警察验车时 证实该车的制动器在事故发生时确实失灵证实该车的制动器在事故发生时确实失灵 ，然而，司机所说的车速是否真实可信呢，然而，司机所说的车速是否真实可信呢 ？第一讲 数学建模简介及数学规划模型Page 18 of 68现在，让我们帮警察计算一下司机所报速度的真实性。现在，让我们帮警察计算一下司机所报速度的真实性。 连接刹连接刹 车痕迹的初始点和终点，用车痕迹的初始点和终点，用x x表示沿

11、连线汽车横向所走出的距离，表示沿连线汽车横向所走出的距离， 用用y y表示竖直的距离，如下图表示竖直的距离，如下图第一讲 数学建模简介及数学规划模型Page 19 of 68上面的表中，我们给出了外侧刹车痕迹的有关值，而且，经过测量还上面的表中，我们给出了外侧刹车痕迹的有关值，而且，经过测量还 发现，该车并没有偏离它所行驶的转弯路线，也就是说，它的车头一直指发现，该车并没有偏离它所行驶的转弯路线，也就是说，它的车头一直指 向切线方向。可以假设，该车的重心是沿一个半径为向切线方向。可以假设，该车的重心是沿一个半径为r r的圆做圆周运动。的圆做圆周运动。假设磨擦力作用在该车速度的法线方向上，并设汽

12、车的速度假设磨擦力作用在该车速度的法线方向上，并设汽车的速度v v是一个常是一个常 数。显然，磨擦力提供了向心力，设磨擦系数为数。显然，磨擦力提供了向心力，设磨擦系数为, , 则则其中其中m m为汽车质量为汽车质量. .由上式易得由上式易得如何计算圆周半径如何计算圆周半径r r？假设已知弦的长度为假设已知弦的长度为c c，弓形的高度为弓形的高度为h h，其图如其图如 下所示，由勾股定理知下所示，由勾股定理知第一讲 数学建模简介及数学规划模型Page 20 of 68由前面的表中代入近似数据由前面的表中代入近似数据c=33.27, h=3.55c=33.27, h=3.55后，得后，得r=40.

13、75r=40.75米米根据实际路面与汽车轮胎的情况，根据实际路面与汽车轮胎的情况，可以测量出磨擦系可以测量出磨擦系 数数 ，经过实际测试得到，经过实际测试得到 g=8.175g=8.175米秒米秒 将此结果代入我们上面利用第二定律所得到的式子中，得将此结果代入我们上面利用第二定律所得到的式子中，得v18.25v18.25米秒米秒此结果比司机所报速度（此结果比司机所报速度（17.9217.92米秒米秒）略大。但是，）略大。但是， 我们不得不考虑计算半径我们不得不考虑计算半径r r及测试时的误差。如果误差允许及测试时的误差。如果误差允许 在以内，无疑，此计算结果对司机是相当有利的。在以内，无疑，此

14、计算结果对司机是相当有利的。第一讲 数学建模简介及数学规划模型Page 21 of 68椅子能在不平的地面上放稳吗？把四只脚的椅子往不平的地面上一放，通 常只有三只脚着地，放不稳，然而有人认 为只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放 稳了，对吗？第一讲 数学建模简介及数学规划模型Page 22 of 68问题分析 通常三只脚着地放稳的标准: 四只脚着地四条腿一样长，椅脚与地面点接触， 四脚连线呈正方形; 地面高度连续变化，可视为数学上的连 续曲面; 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚 同时着地。模 型 假 设第一讲 数学建模简介及数学规划模型Page 23 of 68建立模型用数学语言把椅子

15、位置和四只脚着地的关系表示出来. 椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性 用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 四只脚着地椅脚与地面距离为零距离是的函数xBADC ODC B A 四个距离 (四只脚)两个距离 正方形 对称性正方形ABCD 绕O点旋转A,C 两脚与地面距离之和记为f()B,D 两脚与地面距离之和记为g()第一讲 数学建模简介及数学规划模型Page 24 of 68用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来.f() , g()是连续函数对任意, f(), g()至少 一个为0数学 问题已知： f() , g()是连续函数 ;对任意， f() g()=0 ;且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.地面为连续曲面椅子在任意位置至少三只脚着地第一讲 数学建模简介及数学规划模型Page 25 of 68 模型求解将椅子旋转900，对角线AC和BD互换.由g(0)=0， f(0) 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)0.令h()= f()g(), 则h(0)0和h(/2)