李雅普诺夫稳定性的定义

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1、Ch.5 李雅普诺夫稳定性 分析本章简介(1/2)本 章 简 介q 本章讨论李雅普诺夫稳定性分析。主要介绍李雅普诺夫稳定性的定义以 及分析系统状态稳定性的李雅 普诺夫理论和方法;着重讨论李雅普诺夫第二法及其在线 性系统和3类非线性系统的应用、李雅普诺夫函数的构造、李亚普诺夫代数(或微分)方 程的求解等。目录(1/1)目 录q 概述q 5.1 李雅普诺夫稳定性的定义q 5.2 李雅普诺夫稳定性的基本定理q 5.3 线性系统的稳定性分析q 5.4 非线性系统的稳定性分析q 5.5 Matlab问题 q 本章小结概述(1/5)概 述q 一个自动控制系统要能正常工作,必须首先是一个稳定的系 统。例如,

2、电压自动调解系统中保持电机电压为恒定的 能力;电机自动调速系统中保持电 机转速为一定的能力以及火箭飞行中保持 航向为一定的能力等。具有稳定性的系统称为稳定 系统。q 稳定性的定义为：当系统受到外界干扰后,显然它的平衡被破坏,但在 外扰去掉以后,它仍有能力自动地在平衡态下继续工作 。如果一个系统不具有上述特性，则称为不稳定系统 。概述(2/5)q 也可以说,系统的稳定性就是系统在受到外界干扰后,系统状 态变量或输出变量的偏差量(被调量偏离平衡位置的数值)过 渡过程的收敛性,用数学方法表示就是式中，x(t)为系统被调量偏离其平衡位置的变化量;为任意小的规定量。如果系统在受到外扰后偏差 量越来越大,

3、显然它不可能是一个稳定系统 。概述(3/5)q 分析一个控制系统的稳定性,一直是控制理论中所关注的最 重要问题。对于简单系统，常利用经典控制理论中线性定常系 统的稳定性判据。在经典控制理论中,借助于常微分方程稳定性理论, 产生了许多稳定性判据,如劳斯-赫尔维茨(Routh- Hurwitz)判据和奈奎斯特判据等，都给出了既实用又 方便的判别系统稳定性的方法。但这些稳定性判别方法仅限于讨论SISO线性定常 系统输入输出间动态关系,讨论的是线性定常系统的有界输入有 界输出(BIBO)稳定性,未研究系统的内部状态变化的稳定性。也不能推广 到时变系统和非线性系统等复杂系统。概述(4/5)再则，对于非线

4、性或时变系统,虽然通过一些系统 转化方法,上述稳定判据尚能在某些特定系统和范围内 应用,但是难以胜任一般系统。q 现代控制系统的结构比较复杂,大都存在非线性或时变因素, 即使是系统结构本身, 往往也需要根据性能指标的要求而加 以改变,才能适应新的情况,保证系统的正常或最佳运行状态 。在解决这类复杂系统的稳定性问题时,最通常的方 法是基于李雅普诺夫第二法而得到的一些稳定性理论, 即李雅普诺夫稳定性定理。概述(5/5)q 实际上 ,控制系统的稳定性,通常有两种定义方式：外部稳定性：是指系统在零初始条件下通过其外部 状态,即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳 定性。经典控制理论讨论的确有界 输

5、入有界输出稳定即为外部稳定性 。内部稳定性：是关于动力学系统的内部状态变化所 呈现稳定性,即系统的内部状态稳定性。本节讨论的李雅普诺夫稳定 性即为内部稳定性。外部稳定性只适用于线性系统,内部稳定性不但适 用于线性系统,而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统,只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性 。概述(6/5)q 早在1892年,俄国学者李雅普诺夫（Aleksandr Mikhailovich Lyapunov ， 1857 1918) 发表题为“运动稳定性一般问题” 的著名文献,建立了关于运动稳定性研究的一般理论。 百余年来,李雅普诺夫 理论得到极大发展,在 数学、力学、控制理论

6、 、机械工程等领域得到 广泛应用。 李雅普诺夫把分析一阶常微 分方程组稳定性的所有方法 归纳为两类。概述(7/5)第一类方法是将非线性系统在平衡态附近线性化, 然后通过讨论线性化系统的特征值(或极点)分布及稳定 性来讨论原非线性系统的稳定性问题。这是一种较简捷的方法,与经 典控制理论中判别稳定性方法的思路是一 致的。该方法称为间接法,亦称为李 雅普诺夫第一法。第二类方法不是通过解方程或求系统特征值来判别 稳定性,而是通过定义一个叫做李雅普诺夫函数的标量 函数来分析判别稳定性。由于不用解方程就能直接判 别系统稳定性,所以第二种方法称为直接法, 亦称为李雅普诺夫第二法。概述(8/5)q 李雅普诺夫

7、稳定性理论不仅可用来分析线性定常系统,而且 也能用来研究时变系统、非线性系统,甚至离散时间系统、离散事件动态系统、逻辑动力学系统 等复杂系统的稳定性,这正是其优势所在。概述(9/5)q 可是在相当长的一段时间里,李雅普诺夫第二法并没有引起 研究动态系统稳定性的人们的重视,这是因为当时讨论系统 输入输出间关系的经典控制理论占有绝对地位。随着状态空间分析法引入动态系统研究和现代控制 理论的诞生,李雅普诺夫第二法又重新引起控制领域人 们的注意,成为近40年来研究系统稳定性的最主要方法, 并得到了进一步研究和发展。本章将详细介绍李雅普诺夫稳定性的定义,李雅普 诺夫第一法和第二法的理论及应用。概述(10

8、/5)q 本章需解决的问题:动态系统的状态稳定性理论- -李雅普诺夫稳定性基本概念: 平衡态、李雅普诺夫稳定性、渐近稳定 性、不稳定性基本方法:李雅普诺夫第一法、李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法在线性定 常系统的应用-李雅普诺夫方程的求解 重点！重点与难点！李雅普诺夫稳定性的定义(1/4)5.1 李雅普诺夫稳定性的定义q 系统稳定性是动态系统一个重要的,可以用定量方法研究和表 示的定性指标。它反映的是系统的一种本质特 征。这种特征不随系统变换而改变,但可通过 系统反馈和综合加以控制。这也是控制理论和控制工程的 精髓。在经典控制理论中,讨论的是在有界输入下,是否产生 有界输出的输入输出稳定性问题

9、。从经典控制理论知道,线性系 统的输入输出稳定性取决于其特征方程的根, 与初始条件和扰动都无关,而非线性系统则不 然。李雅普诺夫稳定性的定义(2/4)q 非线性系统的稳定性是相对系统的平衡态而言的,我们很难笼 统地讨论非线性系统在整个状态空间的稳定性。对于非线性系统,其不同的平 衡态有着不同的稳定性,故只能分别讨论各 平衡态附近的稳定性。对于稳定的线性系统,由于只 存在唯一的孤立平衡态,所以只有对线性系 统才能笼统提系统的稳定性问题。李雅普诺夫稳定性理论讨论的是动态系统各平衡态 附近的局部稳定性问题。它是一种具有普遍性的稳定 性理论, 不仅适用于线性定常系统,而且也适 用于非线性系统、时变系统

10、、分布参数系统 。本节先讨论李雅普诺夫稳定 性理论的基础-李雅普诺夫稳定性定义。李雅普诺夫稳定性的定义(4/4)下面将分别介绍如下李雅普诺夫稳定性有关定义。平衡态李雅普诺夫意义下的稳定性渐近稳定性大范围渐近稳定性不稳定性平衡态稳定性与输入输出稳 定性的关系难点,要理解喔!平衡态(1/4)5.1.1 平衡态q 设我们所研究的系统的状态方程为 x=f(x,t) 其中x为n维状态变量;f(x,t)为n维的关于状态变量向量x和时间t的非线性 向量函数。对该非线性系统,其平衡态的定义如下。平衡态(2/4) 定义1q 定义5-1 动态系统 x=f(x,t)的平衡态是使 f(x,t)0 的状态,并用xe来表

11、示。q 从定义5-1可知,平衡态即指状态空间 中状态变量的导数向量为零向量的点 (状态)。由于导数表示的状态的运动 变化方向,因此平衡态即指能够 保持平衡、维持现状不运动的状 态,如上图所示。平衡态(3/4)q 李雅普诺夫稳定性研究的平衡 态附近(邻域)的运动变化问题 。若平衡态附近某充分 小邻域内所有状态的运动 最后都趋于该平衡态,则 称该平衡态是渐近稳定的 ;若发散掉则称为不稳 定的,若能维持在平衡态 附近某个邻域内运动变化 则称为稳定的,如上图所 示。平衡态(4/4)q 显然,对于线性定常系统 x=Ax 的平衡态xe是满足下述方程的解。 Axe=0q 当矩阵A为非奇异时,线性系统只有一个

12、孤立的平衡态xe=0; 而当A为奇异时,则存在无限多个平衡态,且这些平衡态不 为孤立平衡态,而构成状态空间中的一个子空间。 对于非线性系统,通常可有一个或几个孤立平衡态,它们分 别为对应于式f(x,t)0的常值解。平衡态(5/4)q 例如,对于非线性系统其平衡态为下列代数方程组的解,即下述状态空间中的三个状态为其孤立平衡态。平衡态(6/4)q 对于孤立平衡态,总是可以通过坐标变换将其移到状态空间的 原点。 因此,不失一般性,为了便于分析,我们常把平衡态取为状 态空间的原点。q 值得指出的是，由于非线性系统的李雅普诺夫稳定性具有局 部性特点,因此在讨论稳定性时,通常还要确定平衡态的稳定邻 域(区

13、域)。李雅普诺夫意义下的稳定性(1/1)5.1.2 李雅普诺夫意义下的稳定性q 在叙述李雅普诺夫稳定性的定义之前,我们先引入如下几个数 学名词和符号： 范数 球域 然后介绍 李雅普诺夫意义下的稳定性的定义。李雅普诺夫意义下的稳定性范数(1/2)1) 范数q 范数在数学上定义为度量n维空间中的点之间的距离。 对n维空间中任意两点x1和x2,它们之间距离的范数记为 |x1-x2|。 由于所需要度量的空间和度量的意义的不同,相应有各种 具体范数的定义。 在工程中常用的是2-范数,即欧几里德范数,其定义式为其中x1,i和x2,i分别为向量x1和x2的各分量。李雅普诺夫意义下的稳定性范数(2/2) 常用

14、的n为维空间中的其他范数有:1-范数 -范数 李雅普诺夫意义下的稳定性-球域(1/1)2) 球域q 以n维空间中的点xe为中心,在所定义的范数度量意义下的长 度为半径内的各点所组成空间体称为球域,记为S(xe,), 即S(xe,)包含满足|x-xe|的n维空间中的各点x。李雅普诺夫意义下的稳定性稳定性定义(1/4)3) 李雅普诺夫稳定性定义q 基于上述数学定义和符号,我们有如下 李雅普诺夫意义下稳定性的定义。图5-1李雅普诺夫意义下的稳定性稳定性定义(2/4)q 定义5-2(李雅普诺夫稳定性) 若状态方程 x=f(x,t) 所描述的系统, 对于任意的0和任意初始时刻t0, 都对应存在一个实数(

15、,t0)0, 使得对于任意位于平衡态xe的球域 S(xe,)的初始状态x0, 当从此初始状态x0出发的状态方程的解x都位于球域 S(xe,)内,则称系统的平衡态xe是李雅普诺夫意义下稳定的,李雅普诺夫意义下的稳定性稳定性定义(3/4) 即逻辑关系式 0 t0 0 x0S(xe,) t t0 x(t)S(xe,) 为真,则xe是李雅普诺夫意义下稳定的。 若实数(,t0)与初始时刻t0无关,即逻 辑关系式0 0 t0 x0S(xe,) t t0 x(t)S(xe,) 为真,则称稳定的平衡态xe是李雅普诺夫意义下一致稳定的 。q 对于定常系统来说,上述定义中的实数(,t0)与初始时刻t0必定 无关,

16、故其稳定性与一致稳定性两者等价。 但对于时变系统来说,则这两者的意义很可能不同。李雅普诺夫意义下的稳定性稳定性定义(4/4)q 上述定义说明,对应于平衡态xe的每一个 球域S(xe,), 一定存在一个有限的球域S(xe,), 使得t0时刻从S(xe,)出发的系统 状态轨线总不离开S(xe,), 则系统在初始时刻t0的平衡态xe 为在李雅普诺夫意义下稳定的。 以二维状态空间为例,上述定义的几何解释和状态轨线变 化如图5-1所示。李雅普诺夫意义下的稳定性稳定性定义(5/4)q 对于李雅普诺夫稳定性，还有如下说明：李雅普诺夫稳定性针对平衡状态而言，反映的是平 衡状态邻域的局部稳定性，即小范围稳定性。系统做等幅振荡时，在平面上描出一条封闭曲线， 只