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1、11.3 1.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 一、数学期望与方差二、协方差与协方差2若当级数 绝对收敛时，称 为随机变量X的数学期望，记为E（X），即X x1 x2 x3xnPk p1 p2 p3 pn1、数学期望的定义定义 2 设连续型随机变量X的概率密度为f(x),则当广义积分绝对收敛时，称此积分的值为随机变量X的 数学期望，记为 E（X），即 E（X）=E(X)= 一、数学期望与方差1、定义1 设离散型随机变量X的分布律为：32、 数学期望的性质：（4）若X，Y为两个相互独立的随机变量，则有E（XY）=E（X）E（Y）（1）设C是常数，则 E（C）=C 这里C视为 退化的随机变
2、量（2）设X为一随机变量，C为常数，则有E（CX）=CE（X）（3）设X，Y为两个随机变量，则有E（X+Y）=E（X）+E（Y）注： (1)相互独立时 (2)4例2、已知XE(X)，求Y=2X-1的数学期望 解 依题意知，X的概率密度为于是 进而 3、随机变量函数的数学期望离散型: X的分布率为: P X=xk =Pk , k=1,2且级数 5连续型: X的概率密度为f(x) ，若积分 (1)已知随机变量X的分布,求其函数Y=g(X)的期望:绝对收敛 绝对收敛 6（2）连续型R.V(X，Y)的概率密度为: f(x,y) 则有（1）离散型 (X，Y) 的分布律为：(2)、已知随机变量（X,Y）的
3、分布，求函数Z=g(X,Y)的数学期望求 的期望例3：已知随机变量X的概率密度为 7例1.26 设随机变量 解 依题知，X的概率密度为故 4、方差的概念8另外，记，称为标准差或均方差D（x）=Var（X）=存在,则称之为X的方差.记为D（X）或Var(X)定义 若X是一随机变量，若 5、方差的计算方法：当X为离散型随机变当X是连续型随机变量常用公式:9例5：已知XU(a,b)，求E(X)和D(X). 解 由题知，X的概率密度为于是有而 6、方差的性质:10(1)D(C) 0; (2) D(CX)=C2D(X); (3) 当X、Y独立,D(X+Y)=D(X)+D(Y); (4) D(X)=0等价
4、于PX=C=1. (C为常数)7、常见分布的期望方差 :11(5)均匀分布:(1)二点分布:(2)二项分布:(3)泊松分布:(4)正态分布:E(X)=np D(X)=np(1-p)(6) 指数分布E(X)=p D(X)=pq12例1.29 设XE(t)，YN(0,t2)，(t0)且X与Y相互独立，而 Z=2X-3Y+1，试求E(Z)和E(Z2).解 因XE(t)，YN(0,t2)故所以 131、协方差:设随机变量X与YCov(X,Y)= EX-E（X）Y-E（Y）称其为X与Y的协方差,也记为XY注：Cov(X,X)= EX-E（X）X-E（X）=D(X) Cov(X,Y) =E(XY)-E(X)E(Y).为X,Y的相关系数. 2、相关系数:称数值二、协方差与相关系数14例1.30 设(X,Y)的概率密度为解 因定理1.2提供的公式，直接有于是有153、性质：注: (1)当 较大时,我们通常说X与Y的线性相关程度较好; 当 较小时，我们说X与Y的线性相关程度较差.(2)XY=0我们也称X与Y不相关. 注：设二维随机变量则X与Y的相关系数为16(4) X与Y的k+l 阶混合中心矩设(X,Y)是随机变量，k,l是整数注：数学期望是的一阶原点矩，方差是二阶中心矩，协方 差是二阶混合中心矩。4、随机变量的矩
