数学教育心理学——数学问题解决

《数学教育心理学——数学问题解决》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学教育心理学——数学问题解决（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、 数学问题解决一 、什么是问题二、什么是问题解决三、数学问题解决的过程一 、什么是问题1.问题是一个不稳定系统 2.问题是一种刺激情景 3.问题的含义 1.问题是一个不稳定系统 如果对某人来说，一个系统的全部元 素、元素的性质和元素间的关系都是他所 知道的，那么这个系统对于他来说就是一 个稳定系统.如果这个系统中的某些内容是他所不 知的，那么该系统对于他来说就是一个问 题系统，即问题.如果这个问题系统的元 素、性质和关系都是有关数学的，那么它 就是一个数学问题. 问题具有主观性.一个系统能否成为一个 问 题，取决于认识该系统的主体.它对于有些人 而 言是问题，但对于另一些人而言则不是问题.例如

2、： “已知直角三角形的两条直角边的长度，求 其直 角边的长度.”对于绝大多数小学生而言是一个问题， 但对于高中生而言则不成为问题. 2.问题是一种刺激情景信息加工理论从两个角度来认识问题：一是问题的客观方面；二是问题的主观方面.问题的客观方面是课题（task）的客观陈述 称为课题范围（task domain任务领域） .问题的主观方面是解题者对问题的客观陈 述的理解，称为问题空间（problem space） .问题空间由任务的初始状态（即任务的给 定条件）、目标状态（即任务最终要达到的 目标）和中间状态（即任务从初始状态向目 标状态转化的若干可能途径，每一个途径又 由若干步骤构成）组成.如果

3、我们把使问题从 初始状态向目标状态转化的操作称为算子 （operator），那么问题空间是由问题的初 始状态、目标状态和一些算子构成的.例如：试求出8与5的和.问题空间的初始状态是已知数字8与数字5 ， 目标是求它们的和. 儿童的算子可能是： 先将8个实物与5个实物放在一起，然后由 1数到13； “8！”，伸出5个手指，逐个数手指， “9、10、11、12、13， 等于13！”； 8 + 5 = 8 +（2 + 3）=（8 + 2）+ 3 = 10 + 3 = 13； 8 + 5 =（3 + 5）+ 5 = 3+（5 + 5）= 3 + 10 = 13.综上所述，我们可以把问题定义为：给定信息

4、和目标之间有某些障碍需要克服 的刺激情景.对解题者而言，一个刺激情景能否成为问 题，关键是给定信息与目标之间是否有障碍.因此，同一个课题范围对有的被试可能成 为问题，但对另一些被试则不是问题.3.问题的含义问题是一种状态，在这种状态中，主体要 去 完成一个任务，而对于这个任务，主体没有 完 全确定的法则，没有易于理解的方法.问题对于主体而言表现出两个基本特性：认同性；障碍性.（1）认同性即主体接受并试图去解决这个问题. 例3 一个不懂英文的作家看到下面的材料：Let be a polynomial of degree n such that for each . Find . (Singapo

5、re 1988) 这个材料对他而言并没有成为一个问题， 因为他一点不知道这些符号的意义.即使是一个英文很好的作家，如果他没有 解决这个问题的倾向，那么这个材料也不会 成 为他的一个问题.（2）障碍性. 即是说，主体最初的尝试是无效的，或者说 主体利用已有的模式解决不了，没有旧模 式可以利用.一个问题一旦可以轻易地用先 前的经验模式来解决，那么它就不再是一 个问题（Problem）. 教科书上的很多习题（question），尤其是 课堂练习，都可以直接用教师提供的模式 去解答，这些习题不是真正意义上的问题. 那些用来训练和巩固教师所讲的基础知识和 基本技能的练习（exercises）,一般来说

6、也不是问题. “真正”的问题则是可以用于培养学生的科 学发现的能力和创新的意识.我们可以从以下四个方面来理解问题:A它是非常规的，无现成的模式可套; 有一支探险队急需过河，虽然每个人都会划 船，可是河边只有一条能载一个大人或两 个小孩的小船，怎么办呢？探险队中仅有 的两个小孩想出了一个办法，使全体队员 都过了河.请问他们是怎样过河的？这是一个非常规问题，因为学生的数学认知 结构里没有什么现成的法则、原理可以直 接利用.它需要创造性思维才能解决. B问题提供的仅仅是一种情景，被试可以从 不同的角度去理解 下面四个图形中，哪一个具有其它三个不具 有的属性？第2个也具备其它三个不具备的属性：它是唯一

7、一个不具备所述属性的图形.C问题具有新奇性和可探索性，能激发学生 的兴趣“五羊”足球队举行庆功晚宴，出席者 两两 碰杯一次，总共碰杯990次，问共有多少来宾 出 席晚宴？D它是开放性问题.封闭性问题（closed problem） :问题给出 的 条件往往都是用得着的，而且只用一次;问题 的 答案只有正确与不正确（包括不完整）两种 ， 并且正确的答案是唯一的.以封闭性问题为基础的数学教学是有缺陷 的. 例如，记忆性较多，思考性较少；程序化的 技能性思维较多，开放性的创造性思维较 少；教学倾向于结果，忽视思维过程；重 模仿，轻创造.因此，只要学生记忆力好， 勤学苦练，再加上细心，就能在考试中取

8、得好成绩，高分低能的现象便应运而生.数学教学需要开放性问题（open-ended question）， 又称构造性反应（constructed response） ，它要求被试创造一个反应.而封闭性问题则要求被试回忆、选择一个反 应.开放性问题的特点是： 结论开放:即同一个问题可以有不同的结论； 条件开放:即条件可以不充分，可以多余，也 可 以不够； 思路开放:即强调解决问题的不同思路，被试 可以按自己的思路、方法去解答，不必套 用固定的解题程序. 问题：如果你今天将200元存入银行，那么6年后的今天，这笔钱的本息是多少？二、什么是问题解决什么是问题解决，由于理解的层面不同， 至 今仍然没有统

9、一的认识.1.桑代克认为问题解决是由刺激情境与适 当 反应之间形成的联结构成的，这种联结是通过 试 误逐渐形成的.2.加涅把问题解决学习看成是八种学习类型 中 最高级和最复杂的一种类型，即以独特的方式 选 择多组规则，并且把它们综合起来运用，它将 导 致建立起学习者先前不知道的更高级的一组规 则.3.顿悟学习理论认为问题解决就是顿悟，即 知 觉重组.它是通过被试重新组织构建有关事物的 形 式而实现的. 4.现代信息加工心理学认为问题解决是一种以 目标定向的搜寻问题空间的认知过程.5.英国学校数学教育调查委员会报 告数学算 数认为，问题解决就是把数学应用于各种情 形的能力 .6.全美数学教师理事

10、会在行动的议程中 对 问题解决的意义作了如下说明：1.问题解决包括将数学应用于现实世界， 包 括为现时和将来出现的科学理论与实际服务， 也 包括解决拓广数学科学本身前沿的问题；2.问题解决从本质上说是一种创造性的动 ；3.问题解决能力的发展，其基础是虚心、 好 奇和探索的态度，是进行试验和猜测的意向 .从数学的角度来看，问题解决中所指的问 题 包括实际问题（含数学应用题）和纯数学问题.要顺利地进行问题解决，首先，主体要接受并试图去解决这个问题 ， 其态度应该是积极的；其次，由于问题对于主体的障碍性，主体 利 用已有的模式解决不了，没有旧模式可以利用 ， 这就要求主体要创造性地综合运用已有的知识

11、 和 经验.这里所说的创造性，并非仅仅是一般社会 意 义上的真创造，而主要是个人意义上的再创造.数学问题解决就是主体创造性地应 用 数学去解决问题的学习活动.问题解决的价值： 1.可以使主体充分发挥自己的潜能，创造性 地解决新情境下的问题； 2.可以使主体在实际情境中获取和构造数学 ，而不是机械地去复述数学； 3.可以使主体体验数学的思想方法，构建自 己的数学观念； 4.可以激发主体的自主性心理特征，即自尊 、自信、自律和自我激励，培养主体对数 学的兴趣.总而言之，问题解决已不仅仅局限于解答 问 题，而是一种全新的数学教育观念.三、数学问题解决的过程（一）一般的问题解决过程 1.意识到问题的存

12、在 2.表征问题 3.确定问题解决的策略并尝试某种解法 4.评价与反思 （二）数学问题解决的过程与策略 1.波利亚模式； 2.奥加涅相模式； 3.舍费尔德模式 （一）一般的问题解决过程1.意识到问题的存在只有意识到问题的存在，有解决问题的 需 要，问题解决者才会有以后的一系列解决问 题 的行为，这是问题解决的先决条件.有三种因素影响着问题解决者意识到问题 的 存在： 1动机因素 ；2学习方式.； 3问题解决者缺乏与问题相关的专业知识 .2.表征问题 美国现代认知心理学家西蒙（H.A.Simon）认 为 “表征是问题解决的一个中心环节.它说明问 题在头脑里是如何呈现，如何表现出来的 .” 要想使

13、问题得以解决，问题解决者必须准确 地表征问题，因为对问题的表征如何，极 大地影响着问题解决的难易程度.表征（representation)（何小亚，2011） ： 是指在实物缺席的情况下，重新指代这一实 物 的心理表象或符号形式.两个火车站相距160千米.某个星期六下午 2：00，有两列火车分别从两个火车站出发相 向 而行，当火车驶出车站时，有一只鸟从第一 列 火车出发飞向第二列火车，到达第二列火车 后，又飞回第一列火车，如此反复，直到两 车 相遇.如果两列火车的速度都为每小时40千米 ， 小鸟的飞行速度为每小时50千米，那么，在 两 车相遇之时，小鸟飞行了多少千米？ 如果你把这个问题表征为一

14、个距离问题 ， 即依次求出小鸟在两列火车之间来回飞行的 距 离，再求出这些距离的总和，那么这就比较 麻 烦.但是，如果你把这个问题表征为时间问 题，即不必理会小鸟每次来回飞行的距离， 只 关注小鸟在空中飞行了多长的时间，那么由 小 鸟的飞行速度就很容易确定出小鸟飞行了多 少 千米，即50160 （40+40）=100（千米）.有两种表征问题的方式：1.内部表征（或心理表征）从现代认知心理学的角度来看，问题解 决 者对问题的内部表征也就是形成问题空间.问题空间=初始状态+目标状态+算子，它 取 决于问题解决者把问题提供的信息和他的认 知 结构中的信息整合的情况.问题解决者的认知结构影响着问题空间

15、的构成 .对 同一问题而言，不同的问题解决者形成不同的问题 空 间，或同一问题解决者在不同时间也会有不同的问 题 空间.另外，问题的呈现方式也会影响问题空间的形 成. 2.外部表征即：把问题用图形、表格、模型等外部的 形 式表示出来.尽管工作记忆的容量十分有限（ 约 59个信息项），但借助于外部表征，可以 大 大减轻工作记忆的负担，有利于问题的解决. 1将内部表征写出来 2画出示意图 3列出表格 4构造模型(例子见教材 P 162 164）3.确定问题解决的策略并尝试某种解法在完成了对问题的表征之后，问题解决者就要 来 确定解决问题的策略（即解决问题的方案、计划或 办 法）。它决定着问题解决的

16、方向与成败。同一个问题可以有不同的解决问题的策略，问 题 解决者确定以什么策略来解决问题，一方面取决于 他 自身相关的知识和经验，另一方面取决于他如何表 征 问题。对问题的表征不同，所选择的解决方法也不 同.在确定了某种解决方案之后，接着就要执行这一 方 案，尝试解答。 4.评价与反思当问题解决者确定并完成了某个解决方案 之 后，他还需要对结果进行评价,对解决问题的过程进行反思，也就是要对 结 果进行核查、验算，或者寻找能够证实或反 驳 这一解答的证据。对解决问题的过程的评价与反思可以使 我 们更好地理解某一方法的实用性。仔细思考 为 什么一种方法在某种情境中不适用，有助于 在 其它情境中更好地运用。 （二）数学问题解决的过程与策略 1.波利亚模式乔治波利亚（G.Polya，1887-1985）是美 籍 匈牙利人，著名的数学家和数学教育家. 他在怎样解题一书中提出了著名的 “怎样解题”表，将解题过程分为