利用平方根概念解方程式

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1、 例1利用平方根概念解方程式解下列各一元二次方程式。 x225 (x3)216 解 由 x225 得 x 是 25 的平方根，25 的平方根是 和 ， 因此 x 5 或 x 5， 所以原方程式的解為 5 和 5。 將 x3 當作一個數，則 x3 是 16 的平方根， 16 的平方根是 4，所以 x34， 也就是 x34 或 x34， 得到 x1 或 x7， 所以原方程式的解為 1 和 7。解下列各一元二次方程式。 25x281 (x4)225所以原方程式的解為和 。x4 5x45，x9 或 x1 所以原方程式的解為 9 和1。例2先移項再利用平方根概念解方程式解下列各一元二次方程式。 (x7)

2、230。 4(2x3)2626解 (x7)230 (x7)23 所以 x7 是 3 的平方根，又 3 的平方根為 ， 所以 x7 ， 因此 x7 或 x7 ， 所以原方程式的解為 7 。移項例2先移項再利用平方根概念解方程式解下列各一元二次方程式。 (x7)230。 4(2x3)2626解 4(2x3)2626 4(2x3)232(2x3)282x32x3x所以原方程式的解為 。移項解下列各一元二次方程式。 (x3)2230 2(4x5)2153(x3)223，x3 ，x3 ，所以原方程式的解為 3 。(4x5)29，4x53， x ，x2 或 x ， 所以原方程式的解為2 和 。如果 x2m

3、x32 可以配成完全平方式，那麼 m 是多少？例3配方法分別找出適當的數填入中，使下列各式變成完全平方式。 x212x x25x x2 x解 的值等於 x 項係數一半的平方，所以 ( )26236，因此 x212x36(x6)2。 的值等於 x 項係數一半的平方，所以 ( )2 ，因此 x25x (x )2。 的值等於 x 項係數一半的平方，所以 ( )2( )2 ，因此 x2 x (x )2分別找出適當的數填入空格中，使下列各式變成完全平方式。 x218x (x )2 x26x (x )2 x215x (x )2 x2 x (x )2 x218x81(x9)2819( )2(3)29x26x

4、9(x3)293例4利用配方法解 x2 項係數為 1 的方程式解下列各一元二次方程式。 x22x20 x2x1解 x22x20 x22x2 x22x12212 (x1)23 x1 x1 所以原方程式的解為 1 。移項等號兩邊同加( )212例4利用配方法解 x2 項係數為 1 的方程式解下列各一元二次方程式。 x22x20 x2x1解所以原方程式的解為等號兩邊同加( )2( )2移項解下列各一元二次方程式。 x210x3 x225xx210x52352(x5)222x5x5所以原方程式的解為 5 。x25x2x25x( )22( )2(x )2 ，x x 所以原方程式的解為 。例5利用配方法解

5、 x2項係數不為 1 的方程式解下列各一元二次方程式。 3x25x10 2x23x10。解 3x25x10所以原方程式的解為例5利用配方法解 x2項係數不為 1 的方程式解下列各一元二次方程式。 3x25x10 2x23x10。解 2x23x10所以原方程式的解為解下列各一元二次方程式。 2x211x20 2x27x10所以原方程式的解為 。所以原方程式的解為 。例6利用配方法解常數項係數較大的方程式解一元二次方程式 x24x3960。解x24x3960x24x396x24x2239622(x2)2400x2 20x220，x22 或 x18所以原方程式的解為 22 和18。移項等號兩邊同加(

6、 )222解一元二次方程式 x26x891。x26x891x26x9900(x3)2900x330x330x33 或 x27所以原方程式的解為 33 和27。例7已知兩根求原一元二次方程式的係數以配方法解一元二次方程式 3x210xa0，可得 ， 則 a的值是多少？想法解可先利用移項法則將 寫成等號一邊有根式， 另一邊沒有根式的形式，再將等號兩邊同時平方就可 找到滿足此解的一元二次方程式。與 3x210xa0 比較係數可得 a 。以配方法解一元二次方程式 2x22xb0，可得 ， 則 b 的值是多少？與 2x22xb0 比較係數可得 b5。將x25x40 等號兩邊同乘以1，再利用上述公式求 解

7、，與直接將x25x40 的各項係數代入上述公式， 所求得的解是一樣的嗎？將 x25x40 等號兩邊同乘以 1 得 x25x40，則 x，所以 x4 或 x1。而x25x40 的公式解為 x所以 x4 或 x1。因此兩種方法所求得的解是相同的。利用判別式判別下列各方程式解的情形。 4x22x 0 2x29x50 x2x10令 a4、b2、c2244 0即方程式的兩根相等。令 a2、b9、c5 (9)2425 410 即方程式有兩個相異的根。令 a1、b1、c1 12411 30 即方程式無解。例8利用公式解求 x2 項係數為正的方程式利用公式解求一元二次方程式 5x213x70 的解。解令 a5

8、、b13、c7 得 b24ac(13)2457169140290 故方程式的兩根為 x 即 或 ，所以方程式的兩根為 和 。利用公式解求下列各一元二次方程式的解。 x28x120 3x25x7令 a1、b8、c12 b24ac824112160令 a3、b5、c7 b24ac5243(7)1090例9利用公式解求 x2 項係數為負的方程式利用公式解求一元二次方程式4x22x50 的解。解令 a4、b2、c5 得 b24ac224(4)5840故方程式的兩根為 x即 或 ，所以方程式的兩根為 和 。利用公式解求下列各一元二次方程式的解。 2x27x50 11x23x2令 a2、b7、c5 b24

9、ac (7)24( 2)58903x211x20 令 a3、b11、c2 b24ac 1124(3)(2)970例10已知方程式有重根，求未知數已知 m0 且一元二次方程式 x2mx5m110 有重根，求 m 之值。解因為方程式有重根，所以 b24acm241(5m11)0m220m440(m22)(m2)0m22 或 m2 (不合)所以 m22。已知 m0 且一元二次方程式 x2(m1)x3m60 有重根，求 m 之值及此方程式的解。因為方程式有重根，所以 b24ac(m1)241(3m6)0m210m250，(m5)20，m5 (重根)所以 m16，3m63569原方程式為 x26x90，

10、(x3)20，x3 (重根)。1利用平方根概念解一元二次方程式可以利用平方根的概念，解形如 x2k (k 0)及 a(xb)2c (ac0)的一元二次方程式。例 x225，x 5，所以原方程式的解為 5 和5。 2(x3)216，(x3)28，x3 2 ，x32 ，所以原方程式的解為32 。2將 x2mx 加上適當常數項化成完全平方式將形如 x2mx 的式子加上 x 項係數一半的平方，可以配成完全平方式。例 x214x( )2x214x72(x7)23利用配方法解一元二次方程式利用配方法解一元二次方程式的步驟歸納如下： 先整理方程式為 ax2bxc，a0 的形式。 利用等量公理使 x2 項的係

11、數變為 1。 等號兩邊同時加上一次項係數一半的平方。 等號左邊配成完全平方式。 利用平方根概念解出 x。例 3x26x603x26x6x22x2x22x( )22( )2(x1)23x1x14一元二次方程式的公式解當 a0 且 b24ac 0 時，一元二次方程式 ax2bxc0 的公式解為例 解 x26x30 時，令 a1，b6，c3，利用公式解可得解2x25x10 時，令 a2，b5，c1，利用公式解可得5一元二次方程式 ax2bxc0(a0)解的情形 當 b24ac0 時，此方程式的解為例 2x210x50，b24ac600， 當 b24ac0 時，此方程式的解為 (重根)。例 4x28x40，b24ac0，x 1(重根)。 當 b24ac0 時，此方程式無解。例 x22x20，b24ac40，此方程式無解。1已知下列各式都是完全平方式，試求出 b、c 的值。 bx230x9 9x2cx16( x)22 x332 所以 6 30 即 b25(3x)223x442 所以 c234242解下列各一元二次方程式。 (x3)219 9(x2)2160 2x28x17920 3x25x10x3x3(x2)2 ， x2 x2 x 或 x x24x8960 x24x48964 (x2)2302 x230 x32 或