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1、 1.静矩CxydAxCxyCyO附录I 平面图形的几何性质 I-1 截面的静矩和形心的位置2.形心3.形心与静 矩的关系图形对某轴的静矩 为零，则该轴一定过图 形的形心；某轴过图形 的形心，则图形对该轴 的静矩为零。例I-1 求图示半径为r的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐 标yC。 OCrxydAyCydy解：过圆心O作与x轴垂直的y轴，在距x任意高度y处取一个与x 轴平行的窄条，所以 4、组合图形的形心与静矩（1）组合图形的静矩（2）组合图形的形心解：将此图形分别为I、II、III三 部分，以图形的铅垂对称轴为y轴， 过II、III的形心且与y轴垂直的轴线取 为x轴，则例I-2 求图示
2、图形的形心。150yCxOx1y120010yC300IIIIII10由于对称知： xC=01.极惯性矩：2.惯性矩：为图形对一点的极惯性矩；xydAxyrO3.惯性积： 为图形对x、y一对正交轴的惯性积；分别为图形对x、y轴 的惯性矩；4.惯性矩与极惯性矩的关系：平面图形对过一点的任意一对正交轴的惯性矩之和为常数， 等于图形对该点的极惯性矩。I-2 极惯性矩 惯性矩 惯性积解：平行x轴取一窄长条，其面积为dA=bdy，则惯性矩、极惯性矩恒为正值，惯性积有正负，单位： m4、cm4、mm4；若图形有一个对称轴，则图形对包含此对称轴的一对正 交轴的惯性积为零；惯性矩、惯性积和极惯性矩均为面积的二
3、次矩 如将dA看成质量dm，则Ix、Iy、Ip分别为平面体对x、y 、原点的转动惯量。例I-3 求图示矩形对通过其形心且与边 平行的x、y轴的惯性矩Ix、Iy和惯性积Ixy。dyb/2b/2xyyh/2h/2CdA又因为x、y轴皆为对称轴，故Ixy=0。同理可得由于圆形对任意直径轴都是对称的，故Ix=Iy注意到I=Ix+Iy，得到例I-4 求图示直径为d的圆对过圆心的任意直径轴的惯性矩Ix、Iy及对圆心的极惯性矩I。dCxydrr解：首先求对圆心的极惯性矩。 在离圆心O为r处作宽度为dr的薄圆环，其面 积dA=2prdr，则一、平行移轴公式 1.公式推导2.平行移轴公式b和a是图形的形心C在O
4、xy坐标系中的坐标，所以它们是 有正负的。3.注意：xC、yC轴是形心轴，在所有的平行轴中，图形对形心轴 的惯性矩最小；I-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式组合截面的惯性矩和惯性积 二、组合图形的惯性矩：OxyCdAxCyCabyx xCyC已知： 、 、 ，形心在xOy坐标系下的坐标(a，b)，求Ix、Iy、Ixy例I-5 求图示T型截面对形心轴 的惯性矩。530530例I-6 已知三角形对底边(x1轴)的惯性 矩为bh3/12，求其对过顶点的与底边平 行的x2轴的惯性矩。bx1hx2xCh/3解：由于x1、x2轴均非形心轴，所以 不能直接使用平行移轴公式，需先求出三 角形对形心轴xC的惯性
5、矩，再求对x2轴的 惯性矩，即进行两次平行移轴：303055CC2C1y221y1zC1zC2 求T形截面对形心轴的惯性矩 先求形心的位置： 取参考坐标系如图，则：再求截面对形心轴的惯性矩：yCzyCzC一、惯性矩和惯性积的转轴公式1.公式推导 ：2.转轴公式：3.注意：a是x轴与x1轴的夹角，由x轴逆时针转到x1轴 时的a为正。I-4 惯性矩和惯性积的转轴公式截面的主惯性轴和主惯性矩 y1=|AC|dAy1x1y1x1ayxaDEBACOxy已知：Ix、Iy、Ixy、a，求 、 、 。=|AD|-|EB| =ycosa-xsina利用三角变换，得到同理，利用： x1=|OC|=|OE|+|B
6、D|=xcosa+ysina得到形心主惯性矩：图形对形心主轴的惯性矩； 2.主轴方位： 利用主轴的定义惯性积等于零进行求解；主轴与x轴的夹角:由上式可求出相差90o的a0，a0+90o，分别对应于一对相垂 直的主轴x0、y0；二、主惯性轴、主惯性矩1.主轴的相关概念：主轴(主惯性轴)：惯性积等于零的一对正交轴；形心主轴：过图形形心的主轴，图形的对称轴就是形 心主轴与主轴方位的对应关系：求a0时只取主值|2a0|p/2)， 若IxIy，则由x轴转过a0到达x0轴时，有 ；若IxIy， 则 。注意，a0为正值时应逆时针旋转。任何具有三个或三个以上对称轴的平面图形，所有形心 轴都是主轴，如正三角形、正方形、正多边形。求惯性矩的极值所在方位，得到与上式相同结果。所以： 图形对过某点所有轴的惯性矩中的极大值和极小值，就是对过该 点主轴的两个主惯性矩。3.主惯性矩大小： 120101010 70例I-7 计算图示截面的形心主轴和形心主惯性矩IIIIIIICxyy0x0 a0图形的对称中心C为形心，在C点建立坐标 系xCy如图将整个图形分成I、II、III三个矩形，如图整个图形对x、y轴的惯性矩和惯性积分别为形心主惯性矩大小例I-8 求图示正方形对过形 心的x1、y1轴的惯性矩和惯性积。xyaa Cx1y1a解：由于：，则同理，
