第八章弹性力学问题一般解·空间轴对称问题

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1、第八章第八章 弹性力学问题一弹性力学问题一 般解般解 空间轴对称问题空间轴对称问题 前面重点讨论了弹塑性力学的平面问题。关于梁的弯曲问题由于空间维度的 简化，作为平面应力问题在材料力学中比较成功地得到了解决，我们只是在 平面问题中进行了检验。8-1 8-1 弹性力学问题的一般解弹性力学问题的一般解一、位移法 现在我们将对一般空间弹性力学问题的解法给予理论分析，并举出解法实例 。在一般求解边值问题时，按照未知量的不同有位移法与应力法，下面分别 来进行讨论。若以位移为基本未知量，必须将泛定方程改用位移 来表示。现在来进行 推导：将式(4-2)代人式(4-6)得 再将式(a)对j取导后再代人式(4-

2、1)得 （4-1）同理，并采用Laplac算符如物体内质点处于运动状态，式(8-1)也可写为当体力不计时，有式(8-2) (用位移表示的）平衡(运动)微分方程的展开式为上述式(8-3)或式(8-4)称为Lame(拉梅）方程(或Lame-Navier（纳维 叶）方程)。式(8-1)、式(8-2)和式 (8-3)的推导过程是平衡方程、几 何方程及本构方程的综合，因此以位移形式表示的平衡(运动)微分 方程是弹性力学问题位移解法的基本方程。Lame方程在弹性波动 力学问题中是极为重要的理论基础。 由此，用位移法解弹性力学问题归结为按给定边界条件积分Lame方程 。 (式中 为函数 沿物体表面法线n的方

3、向导数)，其展开式为其方法与将应力形式的平衡方程转化为Lame方程的方法大致相同。现推导如 下：先后将式(4-6)、式(4-2)代人式(4-13)得所求问题的边界条件给定的是边界上的位移 ，则可直接进行计算。 如果全部边界或部分边界上给出的是应力边界条件， 就要将应力 形式的边界条件转换成为位移形式。解 :以xy为边界面，取z轴垂直向下。采用半逆解法。由于载荷和几何形状都对称于z 轴，则各点位移只在z向有变化。试假设因此由Lame方程式(8-3)的前两式知，它们成为恒等式自然满足，而第三式给出而 例8-1设有半空间无限体，容重为p，在上边界上受均布压力q， 求体内的位移和应力。 体力分量如图8

4、-1所示。 面力分量在z=0处,于是 式中A、B为积分常数 。边界上边界条件式(8-6)前两式自然满足，因为 只与z有关 。 其第三式为又将式(3)代入式(4)得 ，再代回式(3)，得为了确定常数B，可以将无限的边界条件转化为有限的，即假定半空间体在距 平面边界h足够远处已经很小而可以忽略，即 ，则由式(5)得于是，式(3)给出的位移为将 换成 来表示，则位移解答为显然最大位移发生在边界上，由式(8-7)可知将式(8-7)代入几何方程(4-2)求出应变，再引用式本够方程(4-6)可得应力分量解答二、应力法以应力作为基本未知量，需将泛定方程改用应力分量表示。应 力方程可由应变协调方程(4-4)和

5、平衡微分方程(4-1)，用应力应 变关系就可得到用应力表示的应变协调方程。不过也可从位移 方程，即已求得的Lame方程式(8-1)出发来推导： 第一步，先将Lame方程转变为三个正应力和的关系式，供以下 推证使用。将式(3-27)和式(3-28)代人式(8-1)得 将式(d)简化，可得使式(e)对k取导，则再将式(f)乘以以(展开式相加)，可得由于 ，再使 ；前两项合并，得令 ，由式(4-12)知 ，化简则有 第二步，再由Lame方程，利用几何方程与虎克定律得到应力公 式。再按式(f)改变下标符号，可写出以下两式 将式(j)及式(k)相加，得出利用式(4-5)，式(1)中 ， 简化后得由式(i

6、)并将下标符号i改为k可得 于是有其展开式为（ 用应力表示的协调方程）6个方程可以解6个应力分量）由 ，式(8-10)可写成当不计体力时，有式(812)和式(813)称为BeltramiMichell(贝尔特拉米米 歇尔)方程，也即应力协调方程。 由此，用应力法解弹性力学问题归结为按给定边界条件满足平 衡微分方程(4-1)和协调方程。注意到：BeltramiMichell方程是 以应力形式表示的变形协调方程，并且在推导中虽然用到了平 衡方程(此处引用Lame方程推出)，但推导中进行了对平衡方程 的求导见式(f)已不能代表平衡方程本身了，故而要重新考虑 平衡方程，于是得出上述应力法求解的结论。

7、下一节我们举等截面悬臂梁的弯曲为空间问题按应力求解的实 例。现在我们来讨论两种求解方法的特点： 按位移法求解弹性力学问题时，未知函数的个数比较少，仅有 三个未知量 、 、 。但必须求解三个联立的二阶偏微分方 程。 应力法系以六个应力分量作为基本未知函数，用应力法虽然比 位移法多了三个，而得到比位移法更复杂的方程组，但由于用 应力作为未知函数后，边界条件比位移法简单得多，所以对于 已知表面力边界的问题，用应力法所得的最后基本方程式，在 多数实际问题中反而比位移法简单而且容易求解。应该指出，用位移法解弹性力学问题时，在满足位移表示的平 衡方程及边界条件求得物体各点位移后，用几何条件得出应变 分量，

8、则变形连续条件自行满足(因为所设位移函数是单值连续 函数)。而用应力法解弹性力学问题时，还须注意所谓位移单值 性的问题，因为由应变求位移时，需要进行积分运算，这就涉 及到积分的连续条件问题。对于单连体(即只有一个连续边界的 物体，也就是内部无空洞的物体)问题，如满足平衡方程、应力 协调方程及应力边界条件，则应力分量完全确定，其解是唯一 确定的。而对于多连体(即内部有空洞的物体)问题，则除了满 足上述方程及边界条件外，还要考虑位移的单值性条件(即物体 中任意一点的位移是单值的)，这样才可能完全确定应力分量( 这一点已经在本书第六章中厚壁筒解答里进行过讨论)。 虽然上面所说按应力法求解比位移法求解

9、容易些，但就解决弹 性体问题的普遍性而言，按位移求解是更为普遍适用的方法， 特别是在弹性波传播理论及在数值计算方法中，例如有限差分 法、有限单元法等得到了广泛的应用。对于具体实际问题，应根据问题的特点或者所要求的未知 参量，恰当地选择求解方法。不论以位移或应力作为未知函数 的位移法或应力法(相当于材料力学和结构力学中求解超静定 问题时的位移法与应力法)，在弹塑性力学中为便于构设未知 函数，具体解题大多采用逆解法与半逆解法。 8 8- -2 2 任意等截面悬臂梁的弯曲任意等截面悬臂梁的弯曲 这里将讨论任意等截面悬臂梁，在自由端受力 P作用的问题。P力过自由端的弯曲中心T，并 与过截面形心A的一个

10、主形心轴平行。取固定 端截面的形心为坐标原点，取梁的轴线为z、x 、y轴与截面的形心主轴重合，图8-2。用半逆解法解此题，参考材料力学结果，设式中 为截面对y轴的惯性矩。将式(a)代入平衡方程(4-1)，略去体力，得由式(b)前两式知剪应力 和 与坐标z无关，只是x、y的函数 。 使则式(8-14)满足方程式(b)，式中的f(y)为y的任意函数 ，以式(8-14)代人式(c)，有 为满足 与沿x向的面力边界条件。 以式(a)代入应力协调方程(8-13)则式(8-13)的前四式成为恒等式，第五及第六式为 并注意到取应力函数 由式(d)式的第二式积分可知 式中C是积分常数。这个常数有简单的物理意义

11、，我们考察悬臂梁的横截面 上任意一微分体的转动角(刚性转动位移)它沿轴的变化率是 由式(i)可见该旋转角沿z方向的变化率 (相当单位长度的轴向转角)包 括两项；现在再考察边界条件式(4-13) 。以式(e)代人式(h)，得 实际上，C(2G)就是单位长度的扭转角。若P力通过截面的弯曲中心T，柱 体无扭转发生，应取C=0，这时式(e)化为 其中y的一次项表示对不同y坐标的纵向微条，将产生不同的单位长度的轴向 转角，因此这部分将引起横截面的畸变；其中常数项表示对杆中所有的纵向 微条，将产生相同的单位长度的轴向转角，这时杆的任意一个横截面，只是 刚性地转过某一角度，因此这部分表不杆的扭转变形。柱体的

12、侧面有 无外力作用，边界条件前两式自动满足以式(8-14)代人，有 将式(8-14)代人式(j)有 所以 我们可以选取任意函数f(y)，使式(8-16)方括号内的项等于零，即于是，侧面无外力的边界条件转化为 ，也就是在周边上 是常 数，如取这常数为零，则 。如考虑自由端端面边界条件，可以求出截面 上无扭矩的条件，也即弯曲中心T距形心A的位置e(图8-2)，此部分计算从略。 于是弯曲问题归结为解微分方程(8-15)，而在周边上满足式(8-17)及 。注意到式(8-15)也就是Boisson方程，柱体弯曲问题也可以通过薄膜比 拟法求解。而第三式因有因为 例8-2 试求半径为ro的圆截面悬臂梁，端点

13、受P 力作用时截面内的弯曲剪应力(图8-3)。解: 截面周边为一圆周，其方程为 为了使周边上满足式(8-17)，取于是方程(8-15)为 式中m为常系数。以式(4)代入式(3)，即可求得可见 可以是关于y三次、关于x二次的多项式，为使周边上 ，取 将式(5)代人式(4)，得将式(6)和式(2)代入式(8-14)，得剪应力讨论：现在对应力分布作一些分析。在水平直径上(x=O)，由式(8-18)得到当y=0，即在圆心处， 取得最大值，即 在水平直径两端x=0，处，有 对一般钢材，取 ，则有 所以对于最大剪应力，初等理论的解答误差约为4。 式中A为截面的面积。由式(8-19)给出的水平直径上的 分布

14、如图8-4所示。 根据材料力学梁的初等理论，设剪应力均 匀分布在截面的水平直径上,得出 ，则8 8- -3 3 空间轴对称问题的基本方程空间轴对称问题的基本方程 在工程中有不少问题的几何形状是回转体，物体的几何约束和所受的载 荷亦是对称于回转轴z的。此时用柱坐标表达更为方便，所有各个力学参量 分量都是r和z的函数而与无关(图8-5)。这种问题称为空间轴对称问题，它是 解决弹性接触问题的基础。现用相距dr的两个圆柱面，互成d的两个铅直面 和相距dz的两个水平面，从弹性体中截取一个微小六面单元体图8-5(a)，仿 照直角坐标及极坐标的基础理论推导方法，建立圆柱坐标的泛定方程。现将 公式介绍如下。 1平衡方程 式(8-23)即为空间轴对称问题的平衡微分方程。 注意到应力分量是(r，z)的函数，如图8-5(b)将微分体各面上的应力分量写出 。单位体积内的体力在r、z方向的分量分别表示Fr、Fz，根据此微分体在r方 向的平衡条件 ，得 在得式(8-23)第一式，同理取z向平衡条件 ，得式(8-23) 的第二式，也即在式(a)中， 及 分别为微分体上、下面的剪应力；因为 很小,可取 ,并略去高阶微量，全式除以于是两者叠加可得空间轴对称问题的位移应变关系式 2几何方程 由径向位