《高中数学排列组合问题的几种基本方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学排列组合问题的几种基本方法（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、*Date1新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当 作元素个数作全排列.若干个不同的元素局部“等分”有 个均等堆, 要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! 若干个不同的元素“等分”为 个堆,要将选取 出每一个堆的组合数的乘积除以m! 非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘 法原理作积.分组（堆）问题的六个模型：无序不等分； 无序等分；无序局部等分；(有序不等分； 有序等分；有序局部等分.) 处理问题的原则：1. 分组（堆）问题Date2新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞例1.有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要 求每个工程队至少要得到一项工程.
2、 共有多少种不同 的发包方式？解：要完成发包这件事，可以分为两个步骤：先将四项工程分为三“堆”，有种分法；再将分好的三“堆”依次给三个工程队， 有3!6种给法.共有6636种不同的发包方式.1. 分组（堆）问题Date3新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞例2 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？ 解：分两步进行： 几个元素不能相邻时 ,先排一般元素，再 让特殊元素插孔.第1步，把除甲乙外的一般人排列：第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔)： 解决一些不相邻问题时，可以先排“一般 ”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决.2.插空法：Date4新疆奎屯市第一
3、高级中学 特级教师王新敞相邻元素的排列，可以采用“局部到整体”的排 法，即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素，然 后再进行整体排列.3.捆绑法例3 . 6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法? 解：（1）分两步进行： 甲 乙第一步，把甲乙排列(捆绑)：第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队： 几个元素必须相邻时,先 捆绑成一个元素，再与 其它的进行排列.Date5新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞例4. 5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少 种站法？几个元素顺序一定的排列问题，一般是先排列，再消 去这几个元素的顺序.或者，先让其它元素选取位置排 列，留下来的空位置
4、自然就是顺序一定的了.4.消序法(留空法)解法1：将5个人依次站成一排，有解法2：先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好， 有种站法，然后再消去甲乙之间的顺序数 甲总站在乙的右侧的有站法总数为种站法，留下的两个位置自然给甲乙有1种站法 甲总站在乙的右侧的有站法总数为Date6新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞变式：如下图所示,有5 横8竖构成的方格图,从 A到B只能上行或右行共 有多少条不同的路线? 解: 如图所示 1 2 3 4 5 6 7将一条路经抽象为如下的一个 排法(5-1)+(8-1)=11格:其中必有四个和七个组成! 所以, 四个和七个一个排序就对应一条路经, 所以从A到B共
5、有 条不同的路径. 4.消序法(留空法)也可以看作是 1,2,3,4,5,6,7, 顺序一定的排列， 有种排法.Date7新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞n个 相同小球放入m(mn)个盒子里,要求每个 盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球 串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段. 例5. 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名 额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班至少一个名 额,则不同的分配方案共有_种.5.剪截法（隔板法）：解： 问题等价于把16个相同小球放入4个盒子里, 每个盒子至少有一个小球的放法种数问题. 将16个小球串成一串，截为4段有 种截断法，对应放到4
6、个盒子里.因此，不同的分配方案共有455种 .Date8新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞n个 相同小球放入m(mn)个盒子里,要求每个 盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球 串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段. 变式： 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选 手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班的名额 不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有_种.5.剪截法：解： 问题等价于先给2班1个，3班2个，4班3个， 再把余下的10个相同小球放入4个盒子里,每个盒子 至少有一个小球的放法种数问题. 将10个小球串成一串，截为4段有 种截断法，对应放到4个盒子里. 因此，不
7、同的分配方案共有84种 .Date9新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒 子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编 号都不同,这种排列称为错位排列.6.错位法：特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44. 例6. 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个 盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒 子的编号相同的放法有_种. 解： 选取编号相同的两组球和盒子的方法有 种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法.故所求方法有159135种.Date10新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞7.剔除法 从总体中排除不符合条件
8、的方法数，这是一种 间接解题的方法. 例7. 从集合0,1,2,3,5,7,11中任取3个元素分别作为直 线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标 原点的直线有_条.解：所有这样的直线共有 条，其中不过原点的直线有 条，所得的经过坐标原点的直线有210-18030条.排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解 析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这 类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.Date11新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞B B 巩固练习Date12新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞A 4. 5个人排成一排，其中甲、乙不相邻的排法种数是 （ ） A.6 B.12 C.72 D.144C巩固练习Date13新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞分堆问题； 解决排列、组合问题的一些常用方法 ：错位法、剪截法（隔板法）、捆绑法 、剔除法、插孔法、消序法(留空法). 小结Date14新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞
