分形几何与分形插值

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1、分形几何与分形插值孙洪泉 教授第一章 绪论 1.1 分形的起源人类在认识世界和改造世界的活动中离不开几何 学。在历史上科学技术的发展与几何学的进步始终 是密切相关的。在经典几何学中, 我们可以用直线 、圆锥、球等一类规则的形状去描述诸如车轮、道 路、建筑物等人造物体。因为这些物体本来就是根 据欧氏几何的规则图形生成的。然而在自然界中, 却存在着许许多多极其复杂、极不规则的形状。例 如, 海岸线、山川、河流、岩石、断裂、森林、闪 电等等。它们都是非规则形状, 用欧几里德几何是 无能为力的。下面我们给出欧氏空间中不能解释的一些的“奇怪” 现象。koch雪花的面积有限，周长为无限。这是欧氏空 间中的

2、“奇怪”现象。为了说明这样的事实，下面我 们给出koch雪花的生成步骤（如图1.1所示）。取周长为1的正三角形为初始元。第一步（k=1）：将边长三等份，并以中间的一份 为底边构造正三角形，去掉该三角形的底边，将两 腰与剩下的两份相连，得到生成元（见图1.1）。原 三角形每条边都用生成元替换，得到具有6个凸顶点 的12边形。 第二步（k=2）：对第一步得到的图形，同样将其边 长三等份，并以中间的一份构造正三角形，去掉该 三角形的底边，将两腰与两边的两份相连，得到生成元替换，得到24个凸顶点的48边形。如此方法 ，一直作下去，当k时便得到Koch雪花。运用初等几何和初等代数知识不难求得每一步 图形

3、的周长（设k为步数；L图形边长）：由此可见，随着n时，Koch雪花的周长。初始元 k=0:L=1生成元k=1:L=4/3=(1+1/3)1n, Lk=2: L=16/9=(1+1/3)2 k=n: L=16/9=(1+1/3)n图1.1 Koch 雪花的生成然而，由Koch雪花的制作过程可知，每一步的 图形都包含在半径为1的单位园中。因此Koch雪花 的面积是有限的。这种面积有限、周长为无穷大的图 形在欧氏空间中也是一种不可思意的“奇怪”现象。为什么会有这种“奇怪”的现象发生呢？从分形的 概念引入之后，人们发现用上述方法作出的Koch 雪花边长是极其复杂，它的维数已不是欧氏空间中 曲线的维数1

4、维了，它的维数是大于1维的。但 这个边长也不能填满任何一个小的面积，所以它的 维数是小于2维的。同样，在测量英国海岸线时，人们发现海岸线的 长度随着测量时使用的码尺的变小而增大。1967年 法国数学家B. B. Mandelbrot提出了“英国的海岸 线有多长？”的问题，这好像极其简单，因为长度 依赖于测量单位。以1km为单位测量海岸线，那些 短于1km的迂回曲折都忽略掉了；若以1m为单位测 量，那些大于1m的迂回曲折就能被测量出来，所以 测出的长度将变大。测量单位进一步变小，测得的长度将愈来愈大。 如果这些愈来愈大的长度能趋近于一个确定值，这 个极限值就是海岸线的长度。但Mandelbrot

5、发现： 当测量单位变小时，所得的长度是无限增大的。难 道海岸线的长度是不确定的，或者说，海岸线是无 限长的。为什么？后来人们发现，英国海岸线以及 Koch雪花的周长都是极其复杂的几何图形，它们的 维数是介于12之间的分数维。而我们使用的量测 码尺都是一维的。用小于图形维数的码尺去度量图 形，得到的结果只能是无穷大；反之，用大于图形 维数的码尺去度量图形，得到的结果只能是零。上述例子说明确实存在维数不是整数的图形，分 数维分形几何的思想便从这里萌芽。“分形”一词译于英文Fractal，系分形几何的创 始人曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）于1975年 由拉丁语Frangere 一词创造

6、而成，词本身具有“破 碎”、“不规则”等含义。1973年, 法国数学家Benoit B. Mandelbrot在法兰西学院讲课时, 首次提出了分 维和分形几何的设想。他创造了 “分形 (Fractal)” 这个新术语。分形 (Fractal) 这个词出自拉丁语 fractus, 其原意具有不规则、分裂、支离破碎等意 思。引入到中国，Fractal 这个词起初被人们译为“ 分形”、“分维”、“分数维”、“分维数”等。现在已基 本上统一称为“分形”。Benoit B. Mandelbrot创立的分形几何，借助 于自相似性原理，洞察于混乱现象中的精细结构， 其研究对象为自然界和社会活动中广泛存在的复

7、杂无序，而又具有某种规律的系统，它为人们从局 部认识整体、从有限认识无限提供了新的方法，为 研究自然界中的不规则现象提供了一种定量描述手 段。因此, 近年来分形几何不论在理论上, 还是在应 用上都得到了迅速的发展。1.2 什么是分形我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界 ，例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市 变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线 、坑坑洼洼的地面等等，都表现了客观世界 特别丰富的现象。在传统欧氏几何学里，人们总是把研究对象想象成一个个规则的形体：直 线、圆形、方形、曲面、立方体等，而我们生活的 现实世界中存在的物体，竟有如此多的不规则和支 离破碎。与欧几里得几何图形相比，拥

8、有完全不同 层次的复杂性。分形几何则提供了一种描述和研究 这种不规则复杂现象的新方法。什么是分形几何？通俗一点说就是研究无限复 杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学 。什么是自相似呢？我们日常生活中的菜花就是一 个具有统计自相似性的分形几何体的很好的例子(图 1.2)。从一棵菜花上掰下一枝，放大后它与整体是 相似的，再从这枝上掰下更小的一枝，再进行放大 ，它也与这棵菜花的整体也是相似的。又如，河流 水系(图1.3)，一个大的河流、水系与它的支流、更小的一枝，再进行放大，它也与这棵菜花的整体 也是相似的。又如，河流水系(图1.3)，一个大的河 流、水系与它的支流、更小的水系就具有统计意义

9、 上的自相似性。图1.3显示了亚马逊河水系的自相似 特征, 经测量计算得其分形维数为1.85。图1.2 菜花的自相似性征1/2 inch1/2 inch1/2 inch图1.3 河流水系的分形特征N500 km其实，自相似的例子在我们的身边到处可见。例如 一棵大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状 上没什么大的区别，所以我们说，大树与树枝这种关 系在几何形状上称之为自相似关系；我们再拿来一片 树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质。动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记 录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您 无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。分形几何的创始人Be

10、noit B. Mandelbrot 说过: “云团不是球体, 山峰不是锥形, 海岸线不是圆弧, 树 皮也并不光滑, 闪电也不是直线传播2。” 这就说明 了在自然界中大量的物体都不能用传统的几何形态 来精确地进行描述。 而在这些 “不规则” 的形体中, 大量的具有分形的特征。分形是适合于描述大自然的几何。研究表明星云 的分布、海岸线的形状、山形的起伏、地震、河网 水系、材料组织生长、湍流、酶和蛋白质的结构、 人体血管系统、肺膜结构、脑电图、城市噪音、股 市的涨落等等，大至宇宙星云分布，小到准晶态的的晶体结构，从地学、生物学、物理学、化学以至 社会科学都普遍存在分形现象。分形几何揭示了世界的本，

11、分形几何是真正描述 大自然的几何学。区别于经典几何，分形几何有两 个基本特征，即自相似性与分形维数。自相似性就 是说物体的任何细小部分与整体相似，例如上述 Koch雪花的周长。这种相似性称为严格自相似性。 然而, 自然界中常见的自相似是统计自相似，即统计 意义上的自相似性。我们对上述分形的描述加以引伸，可以得到下列 分形的含义：1、分形既可以是几何图形，也可以是由“功能”或 “信息”架起的数理模型；2、分形可以同时具有形态、功能和信息三方面的自相似性，也可以只有其中某一方面的自相似性；3、自相似性可以是严格的，也可以是统计意义 上的，自然界的大多数分形都是统计自相似的；4、相似性有层次结构上的

12、差异，数学中的分形 ，具有无限嵌套的层次结构，而自然界中的分形只 有有限层次的嵌套，且要进入到一定的层次结构以 后才有分形的规律；5、相似性有级别（即使用生成元的次数或放大 倍数）上的差异。级别最高的是整体，最低的称为0 级生成元。级别愈接近，则愈相似。级别相差愈大 ，相似性愈差。可用无标度区间或标度不变性表示 。1.3 维数与分形维数在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的， 平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维 。也可以稍加推广，认为点是零维的。还可以引 入高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。分形的另一个特征是分数维数，即维数可以是 分数的。这类维数是在研究自然界中复杂现象时 需要引

13、入的一个重要概念。为了弄清楚分形维数的计算方法，我们首回顾 在欧氏空间中，度量不同维数的单位形体时，尺 码与度量次的关系(见图1.4)。取单位长的线段(1维形体)，以长为 的码尺去度 量它，度量的次数为N(r)= 2，它是码尺的1次幂分 之一；若以长为 的码尺去度量它，则度量的次数为 N(r)= 3，它仍然是码尺的1次幂分之一；当 以长为 的码尺去度量它，则度量的次数为N(r)= n ，它仍然是码尺的1次幂分之一，见图1.4（a）。再取单位正方形(2维形体)，以边长为 (码尺)的小 正方形去度量它，度量的次数为N(r)= 4，它是码尺 的2次幂分之一；若以边长为 (码尺)的小正方形去 度量它，

14、则度量的次数为N(r)= 9，它仍然是码尺的 2次幂分之一；当以边长为 的小正方形去度 量它，则度量的次数为N(r)= n2，它仍然是码尺的1 次幂分之一，见图1.4（b）同理，对于单位立方体(3维形体)，用不同的码 尺去度量它时，其度量次数是码尺3次幂分之一,见 图1.4(c)。(a) (b)图1.4 欧氏空间中单位形体码尺与度量次数之间关系 r：码尺，N (r)：度量次数，l(r)：单位形体体积 (a) 一维形体；(b) 二维形体；(c) 三维形体所以，我们可以得到，对于d维欧氏空间中的形体 ，码尺长度r与度量次数N (r)之间关系为公式(1.4.1)是欧氏空间中维数定义的数学表达式， 它

15、是维数本质的数学特征。对于分形空间中的分形 体，如果它是严格自相似的，则它的相似维数也可 以通过公式(1.4.1)来求得。由于分形几何具有特殊 的复杂性，对于一般的分形集的维数的计算，根据 不同的情况可以用极限的形式定义不同的分形维数 计算公式，以后的章节将有详细介绍。(1.4.1)对于分形，目前还没有一个确切的定义，正如生 物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通 常是列出生命体的一系列特性来加以说明。对分形的 定义也可作同样的处理。对于某一集合A，如果具有下面的性质，可称为分 形集：(1)曼德布罗特曾把满足下式条件 的集合A，称为 分形集。其中，Dim(A)为集合A的分形维数，di

16、m(A) 为其拓扑维数。一般来说，Dim(A)不是整数，而是 分数；(2)集合A具有近似的、或统计的自相似性，亦即满 足标度不变性；(3)集合A具有不规则性，从整体到局部均难以用传 统的几何学进行描述；(4)集合A具有精细结构，也就是说，它具有任意 小的比例的细节；(5)在许多情况下，集合A可以用非常简单的方法 定义，它具有递归性，可在计算机上以递归的方式 生成。总之，分形几何与传统的几何完全不同，传统的 欧几里德几何的对象具有一定的特征长度和标度， 其所描述的是人类生产的工业产品的规则形状，分 形几何则是无特征长度与标度的，它擅长描述自然 界普遍存在的景物，分形几何的图形具有自相似性 和递归性，它比较适于用计算机迭代生成。1.4 插值与分形插值给定一组测量数据（信息点）(xi , Fi ); xi-1xi , i = 1, 2, , N 欲构造一个函数f(x)，使它的几何图形连 续地穿过每个点，即Fi = f ( xi ), i =