动量定理与动量守恒定律

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1、第四章第四章 动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律安徽大学出版社ANHUI UNIVERSITY大学物理学安徽大学出版社 大学物理学*Page2ANHUI UNIVERSITY41 质点和质点系的动量定理42 动量守恒定律4 43 3 质心质心 质心运动定理质心运动定理第四章第四章 动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律大学物理学Page第四章动量定理与动量守恒定律ANHUI UNIVERSITY *341 质点和质点系的动量定理一、力的冲量 质点的动量定理由牛顿第二定律. 分离变量对一段时间积分冲量(impulse) 作用力在作用时间内的累积量.(矢量)单位(SI): 牛顿秒

2、(NS )恒力的冲量：质点动量定理(theorem of momentum) 物体在运动过程中所受 合外力的冲量,等于该物体动量的增量.大学物理学Page第四章动量定理与动量守恒定律ANHUI UNIVERSITY *4说明(1)冲量的方向与动量增量的方向一致.(2)动量定理中的动量和冲量都是矢量，分量式如下.在实 际计算时，往往选择合适的坐标系，用其在坐标轴上的分量式 进行计算； :(3) 动量定理仅适用于惯性系, 且与惯性系的选择无关.大学物理学Page第四章动量定理与动量守恒定律ANHUI UNIVERSITY *5二、质点系的动量定理对质点系中第i 个质点运用牛 顿第二定律.合内力合外

3、力求和, 有因为内力成对出现, 上式可写为:*合外力等于总动量对时间的变化率.大学物理学Page第四章动量定理与动量守恒定律ANHUI UNIVERSITY *6积分可得:质点系动量定理 作用于质点系的合外力的冲量等于系 统动量的增量.合外力的冲量系统末动量系统初动量说明(1) 内力的作用不改变系统的总动量, 但内力做功却 可以改变系统的总动能.(2) 变质量物体的运动方程:大学物理学Page第四章动量定理与动量守恒定律ANHUI UNIVERSITY *7应用动量定理时应注意以下几点： 1.在实际计算时，往往选择合适的坐标系，用其在坐标轴上的 分量式进行计算；3.在碰撞或冲击问题中, 牛顿定

4、律无法直接应用, 而动量定理的 优点在于避开了细节而只讨论过程的总体效果.动量定理不仅 适用于碰撞或打击过程，也适用于其他力学过程，在实际问题 中，如果有限大小的力（如重力）与冲力同时作用时，因冲力 极大，作用时间又极短，可以忽略有限大小的力的冲量。2. 是作用于系统内各质点的外力的矢量和，在处理铅直方 向的碰撞一类问题时应考虑重力，只有当物体间的相互作用力 远大于重力时，重力才能忽略不计；大学物理学Page第四章动量定理与动量守恒定律ANHUI UNIVERSITY *8动量定理常应用于碰撞问题冲力：两物体在碰撞瞬时产生的 相互作用力。 平均冲力：冲力对碰撞时间的平 均。例如人从高处跳下、飞

5、机与鸟相 撞、打桩等碰撞事件中，作用时 间很短，冲力很大 .在 一定时, 越小，则 越大 .注意大学物理学Page第四章动量定理与动量守恒定律ANHUI UNIVERSITY *9例 如图, 一重锤从高度为h =1.5m的地方由静止下落，锤与被加工的工件的碰撞后的 末速度为零. 若打击时间分别为10-1s, 10-2s, 10-3s, 10-4s，试计算这几种情形下平均冲力 与重力的比值.解: 取如图坐标系, 设重锤质量为m .重锤初速度 , 末速度为0.对重锤应用动量定理, 令平均冲力为 大学物理学Page第四章动量定理与动量守恒定律ANHUI UNIVERSITY *10由此解得 计算结果

6、如下10-1s 10-2s 10-3s 10-4s6.5 56 551 5501大学物理学Page第四章动量定理与动量守恒定律ANHUI UNIVERSITY *11例 如图用传送带A输送煤粉, 料斗口在A上方高h=0.5m处，煤 粉自料斗口自由落在A上. 设料斗口连续卸煤的流量为 q=40kg/s, A以v = 2.0m/s的水平速度匀速向右移动. 求装煤的 过程中, 煤粉对A的作用力的大小和方向. (不计相对传送带静 止的煤粉质量.) hA大学物理学Page第四章动量定理与动量守恒定律ANHUI UNIVERSITY *12解：煤粉对A的作用力即单位时间内落下的煤粉给A的 平均冲力。这个冲

7、力大小等于煤粉单位时间内的动量改变 量，方向与煤粉动量改变量的方向相反。设 时间内落下的煤粉 质量为 则有由动量定理xy初动量末动量大学物理学Page第四章动量定理与动量守恒定律ANHUI UNIVERSITY *13可得煤粉所受的平均冲力为xyO煤粉给传送带的平均冲力为方向由如图夹角表示方向由如图夹角表示大学物理学Page第四章动量定理与动量守恒定律ANHUI UNIVERSITY *1442 动量守恒定律(law of momentum conservation)恒矢量定义 系统所受合外力为零时,系统的总动量保持不变.说明(1) 系统的动量守恒是指系统的总动量不变，系统内 任一物体的动量是

8、可变的, 各物体的动量必须相对于同 一惯性参考系 .(2) 守恒条件: 合外力为零. 有些情况外力不为零, 比 如在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中, 内力外力, 则可略去外力, 认为系统动量守恒. 大学物理学Page第四章动量定理与动量守恒定律ANHUI UNIVERSITY *15(3) 若系统所受外力的矢量和不为零，但合外力在 某个坐标轴上的分矢量为零，总动量虽不守恒, 但动量 守恒可在某一方向上成立.(4) 动量守恒定律只在惯性参考系中成立, 是自然界 最普遍, 最基本的定律之一 , 即使在微观高速范围仍适用.大学物理学Page第四章动量定理与动量守恒定律ANHUI UNIV

9、ERSITY *16例 设有一静止的原子核,衰变辐射出一个电子和一个中微子 后成为一个新的原子核. 已知电子和中微子的运动方向互相垂直 ,且电子动量为1.210-22 kgms-1,中微子的动量为6.410-23 kgms-1 . 问新的原子核的动量的值和方向如何?解即恒矢量大学物理学Page第四章动量定理与动量守恒定律ANHUI UNIVERSITY *17又因为代入数据计算得系统动量守恒 , 即大学物理学Page第四章动量定理与动量守恒定律ANHUI UNIVERSITY *1843 质心(center of mass) 质心运动定理一、质心在研究多个物体组成的系统或有限广延体时, 质心

10、是个重要的概念, 对于质点系运用动量定理, 有:可写为:即:大学物理学Page第四章动量定理与动量守恒定律ANHUI UNIVERSITY *19令: 为质点的总质量, 并令则有质心 我们把前式定义的位置矢量 的矢端处的 几何点C, 称为质点系的质量中心, 简称质心.质心运动方程1) 离散分布的质点系的质心位置(直角坐标系)大学物理学Page第四章动量定理与动量守恒定律ANHUI UNIVERSITY *202) 质量连续分布的质点系的质心位置说明(1) 质心是由质量分布所决定的一个特殊的几何点, 不一定在质点 上.(2) 根据质心定义 a.两质点的质心在其连线上,质心到两质点的距离与质量成反

11、比; b.两质点系的质心, 即为将两质点系质量集中于各自质心而构成 的两个假想质点的质心; c.密度均匀的对称物体, 质心在其几何中心. (例如球,圆盘等)大学物理学Page第四章动量定理与动量守恒定律ANHUI UNIVERSITY *21如图所示，刚体由半径为r、质量为m1的匀质薄圆盘和沿圆 盘直径方向连接的长为l、质量为m2的匀质细杆组成，试求 其质心位置。大学物理学Page第四章动量定理与动量守恒定律ANHUI UNIVERSITY *22求半径为R的匀质半薄球壳的质心位置 。在半球壳上取一圆环，其平面与y轴垂 直。则圆环面积为dm= 2Pi R2sin d 设质量面密度为，则圆环的质

12、量为dS=2Pi Rsin Rd 大学物理学Page第四章动量定理与动量守恒定律ANHUI UNIVERSITY *23二、质心运动定理 (theorem of motion for center of mass)引入质心后,所以质点系的动量作用在质点系上的合外力等于质点系的总质量乘以质点系质心的加速度。质点系内各质点的动量的矢量和等于质点系质心的速度乘以质点系的总质 量。大学物理学Page第四章动量定理与动量守恒定律ANHUI UNIVERSITY *24如图所示，大楔子的质量为m1，小楔子的质量为m2，它们的水平边长 分别为l1和l2， 假定它们之间不存在摩擦力，当小楔子从图中位置滑到 下

13、角与桌面接触时，大楔子向左滑动多远？解：滑动前，系统质心在Ox轴方向的坐标为 ：滑动后，系统质心在Ox轴方向的坐标为 ：由于质心不变，所以：大学物理学Page第四章动量定理与动量守恒定律ANHUI UNIVERSITY *25三、质心参考系 柯尼希定理所谓质心参考系, 就是质点系的质心与坐标原点重 合且坐标轴的方向相对于原惯性系保持不变的坐标系. 在质心参考系中, , 因而质点系的总动量为零.因此又称为零动量参考系或动量中心系.质点系相对于质心参考系的运动具有特殊性:(1) 质心系中, 质点系的总动量恒为零;(2) 质点系相对于质心系的角动量定理与质点系在惯性系 中相对于某定点的角动量定理具有

14、相同的形式. (3) 下面将要介绍的柯尼希定理.大学物理学Page第四章动量定理与动量守恒定律ANHUI UNIVERSITY *26质点系中任一质点mi 相对于某一惯性系K 速度是 ,相对质点系质心的速度是 , 质点系质心相对于K系的速度是 , 则由伽利略速度变换式, 有:质点系相对K 系总动能为:大学物理学Page第四章动量定理与动量守恒定律ANHUI UNIVERSITY *27= 0质心动能相对动能柯尼希定理 质点系相对惯性系的动能, 等于质点系的 质心动能和相对动能之和. *质点系的动量等于质心的动量, 质点系的动能, 在一般情 况下并不等于质心的动能.大学物理学Page第四章动量定理与动量守恒定律ANHUI UNIVERSITY *28两体问题质量分别为m1和m2的两个相互作用的质点组成的 质点系, 就是所谓两体问题.两质点在惯性系K 中速度分别是 和 , 在质心系C中速度是 和 , 于是两质点的相对速度 为:由于是质心系.两式联立, 解得大学物理学Page第四章动量定理与动量守恒定律ANHUI UNIVERSITY *29相对动能 约化质量两体问题中的柯尼希定理