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1、2.4 利用Z变换对信号和系统进 行分析一、序列的FT和z变换之间的关系 z=ej的含义：表示在z平面上r=1的圆，称为单位圆。结论: (1)单位圆上的z变换就是序列的傅里叶变换。(2)已知序列的z变换求其的FT的条件是：收敛域中包含单位圆。补充二、序列的z变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系1、采样信号的拉氏变换与序列的Z变换之间的映射关系(1) 设xa(t)的采样信号表示为:(2) 对采样信号进行拉氏变换：设：S=j，Z=rejwr= eTs和z之间的映射关系分析：=TZ=eSTn 0时，S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外(r=|z|1)r= eTj0S平面1Re(z)jIm(z)0Z平
2、面单位圆外部r1右半平面 0单位圆内部r1左半平面 0单位圆r=1虚轴 =0Z平面S平面 =0（s平面实轴）对应于=0（z平面正实轴）； = 0对应于= 0T（z平面一条辐射线）； 由-/T变到/T，对应于由-变到； j虚轴上每2/T段都对应着单位圆一周j0 -/T3/T-3/T/TS平面1Re(z)jIm(z)0Z平面=Ts平面到z平面的映射是多值映射。=0 正实轴 零频 =0T 辐射线 角度 : : =0 实轴 零频 =0 平行直线 频率 :Z平面S平面将s=j代入上式，得：2、模拟信号的拉氏变换与采样信号的拉氏变换之间的关系总结:采样信号与模拟信号之间的关系采样信号的频谱与模拟信号频谱之
3、间的关系模拟信号的拉斯变换与其FT之间的关系采样信号拉斯变换与模拟信号拉斯变换的关系序列Z变换与采样信号拉斯变换的关系序列FT与ZT的关系2.4 利用Z变换对信号和系统进 行分析Z变换域分析的意义n便于考察信号、系统的特征n便于系统的分析与设计n比傅立叶变换的应用范围广2.4.1系统的传输函数和系统函数n系统的时域描述单位脉冲响应h(n)n系统的传输函数系统的传输函数的意义（1）n输出同频 序列n幅度受频率响应幅度 加权n相位为输入相位与系统相位响应之和( )0wn输出信号的频谱取决于输入信号的频谱特性和系统的传输函数n 成为系统的频率相应函数n设计不同的频率相应函数，实现对信号的放大、滤波、
4、相位均衡等功能。系统的传输函数的意义（2）系统函数n定义n表征系统的复频域特性n如果 H(z)的收敛域包含单位圆 ，则序列的傅立叶变换存在n系统的传输函数是系统单位脉冲响应在单位圆上的Z变换，有时亦将系统函数称为传输函数2.4.2 根据系统函数极点的分布分析系统的因果性和稳定性n系统的差分方程表示nZ变换，得系统函数n因式分解nA影响输出信号的幅度n 是 的零点， 是 的极点；n零极点分布将影响系统的频率特性n极点分布影响系统的因果性和稳定性因果性n单位脉冲响应是因果序列，其Z变换的收敛域为n因果序列Z变换的极点在以 为半径的圆内n结论：因果序列 Z 变换的极点均集中在某个圆内；收敛域如下，包
5、含 。稳定性n稳定：系统稳定：系统函数的收敛域包含单位圆；系统函数的极点不在单位圆上序列h(n)绝对可和，即h(n)的z变换nZ变换的收敛域：因果稳定系统：系统函数的极点在单位圆内l 系统稳定的充要条件：其H(z)的收敛域包含单位圆l系统因果的充要条件：其H(z)在 处也收敛；l系统既因果又稳定的条件：H(z)的收敛域为： ，即系统函数的全部极点必须在单位圆内。 n解：系统的极点为 （1）收敛域取收敛域包含 ，是因果系统收敛域不包含单位圆，系统不稳定单位脉冲响应为（2）收敛域取收敛域不包含 ，不是因果系统收敛域包含单位圆，系统稳定单位脉冲响应为（3）收敛域取收敛域不包含 ，不是因果系统收敛域不
6、包含单位圆，系统不稳定单位脉冲响应为2.4.3 用Z变换求解系统的输出响应n递推法：已知差分方程、初始条件，递推求解差分方程n卷积nZ变换nMatlab1.零状态响应与零输入响应n移位序列的Z变换n系统的差分方程nZ变换n第一项与系统和输入信号有关，与初始状态无关系统的零状态响应n第二项与系统和初始状态有关，与输入信号无关系统的零输入响应n系统的响应全响应系统的零输入响应系统的零状态响应例2.4.2 已知系统的差分方程为输入信号为 ，初始条件为求系统的输出。解：对输入信号和差分方程进行Z变换收敛域取：代入初始条件及输入系统输出：2.稳态响应和暂态响应n系统的零状态响应 n系统的时域零状态响应
7、n系统的稳态响应n如果系统不稳定， 将会无限制的增长，和输入信号无关n如果系统稳定， 将取决于输入信号和系统的频率特性。n例n零状态响应n展为部分分式n如系统稳定，H(z)的极点在单位圆内，第二部分所对应的序列收敛, ，这部分序列趋于0。n稳态响应为n稳态响应与系统的输入信号和频率特性有关n如系统不稳定，H(z)的部分获全部极点在单位圆外，第二部分所对应的序列发散, ，这部分序列趋于无限大。n系统的输出与输入信号无关例2.4.3 已知系统的输入信号 ，系统函数为求系统的输出响应解：系统的零状态响应为：展为部分分式极点为：z=1，2，-0.5展为部分分式取收敛域输出响应为：系统的稳定性？输入信号
8、系统的 不稳定极点系统的 稳定极点极点变为：z=1，0.8，-0.5系统稳定，取收敛域输出响应为：稳态响应稳态输出的结论n条件：系统稳定，输入为单位阶跃序列，n系统的稳态输出为n例： 输入为基于差分方程的稳态输出求解n该系统稳定，其差分方程如下：n输入为 ，当n于是例2.4.4 因果稳定系统的传输函数和系统函数分别为： ，幅频特性表示为 ，相频特性表示为： 输入为 求解：先求复正弦序列 的稳态输出令 其Z变换为n系统的零状态输出为n部分分式展开n系统稳定，系统函数的极点在单位圆内，当 H(z)极点引起的序列趋于零。n对于因果稳定系统输入复指数序列 稳态响应为同频率的复指数序列 ;输出的幅度与相
9、位取决于 的传输函数n余弦序列是复指数序列的实部，因果稳定系统对于余弦序列的稳态输出为：n因果稳定系统对于正弦序列的稳态输出为：2.4.5根据系统的零极点分布，分析系统的频率特性n系统差分方程：n系统函数nM个零点，N个极点n系统函数n频率特性与系统函数的零极点有关，希望根据零极点的分布进行定性的分析 n 系统的频率响应的几何确定n设系统稳定 n极点 矢量n 矢量n零点 矢量n 矢量n幅频特性n相频特性2c方法： 由0到 ，也就是零/极矢量的终端点沿单位圆逆 时针方向旋转一周，从零/极矢量长度的变化情况估算出 系统的幅频特性。例: 某系统的系统函数为判断该系统是何种滤波器？步骤分析：求零极点画
10、零极点图确定某些特殊频率点的幅频特性粗略画出幅频特性图滤波器类型方法： 由0到 ，也就是零/极矢量的终端点沿单位圆逆 时针方向旋转一周，从零/极矢量长度的变化情况估算出 系统的幅频特性。例: 某系统的系统函数为判断该系统是何种滤波器？步骤分析：求零极点画零极点图确定某些特殊频率点的幅频特性粗略画出幅频特性图滤波器类型方法： 由0到 ，也就是零/极矢量的终端点沿单位圆逆 时针方向旋转一周，从零/极矢量长度的变化情况估算出 系统的幅频特性。例: 某系统的系统函数为判断该系统是何种滤波器？步骤分析：求零极点画零极点图确定某些特殊频率点的幅频特性粗略画出幅频特性图滤波器类型方法： 由0到 ，也就是零/
11、极矢量的终端点沿单位圆逆 时针方向旋转一周，从零/极矢量长度的变化情况估算出 系统的幅频特性。例: 某系统的系统函数为判断该系统是何种滤波器？步骤分析：求零极点画零极点图确定某些特殊频率点的幅频特性粗略画出幅频特性图滤波器类型方法： 由0到 ，也就是零/极矢量的终端点沿单位圆逆 时针方向旋转一周，从零/极矢量长度的变化情况估算出 系统的幅频特性。例: 某系统的系统函数为判断该系统是何种滤波器？步骤分析：求零极点画零极点图确定某些特殊频率点的幅频特性粗略画出幅频特性图滤波器类型方法： 由0到 ，也就是零/极矢量的终端点沿单位圆逆 时针方向旋转一周，从零/极矢量长度的变化情况估算出 系统的幅频特性
12、。例: 某系统的系统函数为判断该系统是何种滤波器？步骤分析：求零极点画零极点图确定某些特殊频率点的幅频特性粗略画出幅频特性图滤波器类型例: 某系统的系统函数为判断该系统是何种滤波器？步骤分析：求零极点画零极点图确定某些特殊频率点的幅频特性粗略画出幅频特性图滤波器类型方法： 由0到 ，也就是零/极矢量的终端点沿单位圆逆 时针方向旋转一周，从零/极矢量长度的变化情况估算出 系统的幅频特性。例: 某系统的系统函数为判断该系统是何种滤波器？步骤分析：求零极点画零极点图确定某些特殊频率点的幅频特性粗略画出幅频特性图滤波器类型方法： 由0到 ，也就是零/极矢量的终端点沿单位圆逆 时针方向旋转一周，从零/极
13、矢量长度的变化情况估算出 系统的幅频特性。例: 某系统的系统函数为判断该系统是何种滤波器？步骤分析：求零极点画零极点图确定某些特殊频率点的幅频特性粗略画出幅频特性图滤波器类型方法： 由0到 ，也就是零/极矢量的终端点沿单位圆逆 时针方向旋转一周，从零/极矢量长度的变化情况估算出 系统的幅频特性。例: 某系统的系统函数为判断该系统是何种滤波器？步骤分析：求零极点画零极点图确定某些特殊频率点的幅频特性粗略画出幅频特性图滤波器类型方法： 由0到 ，也就是零/极矢量的终端点沿单位圆逆 时针方向旋转一周，从零/极矢量长度的变化情况估算出 系统的幅频特性。例: 某系统的系统函数为判断该系统是何种滤波器？步骤分析：求零极点画零极点图确定某些特殊频率点的幅频特性粗略画出幅频特性图滤波器类型方法： 由0到 ，也就是零/极矢量的终端点沿单位圆逆 时针方向旋转一周，从零/极矢量长度的变化情况估算出 系统的幅频特性。例: 某系统的系统函数为判断该系统是何种滤波器？步骤分析：求零极点画零极点图确定某些特殊频率点的幅频特性粗略画出幅频特性图滤波器类型方法： 由0到 ，也就是零/极矢量的终端点沿单位圆逆 时针方向旋转一周，从零/极矢量长度的变化情况估算出 系统的幅频特性。例: 某系统的系统函数为判断该系统
