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1、6.3 几种常用的迭代法华长生制作1记 ，A非奇异，且对角元 ，可以把 A 分解为其中雅可比迭代法华长生制作2方程组Ax=b等价于由此构造迭代公式：其中迭代距阵 和向量 为称之为Jacobi 迭代法（简称 J 法），称 为雅可比迭代矩阵。华长生制作3雅可比法的分量形式为由前面的定理知雅可比迭代关于任意初始向量收敛 的充要条件为 ，充分条件为利用这些判别 J 法的收敛性，有时不太方便，对 于大型方程组，要求出迭代矩阵谱半径 是不 容易的。下面给出一些容易验证收敛性的充分条件 ，先讨论对角占优矩阵的性质。华长生制作4定义 1 若 满足则称 A 为严格对角占优矩阵。若满足且其中至少有一个严格不等式成
2、立，则称 A 为弱对角占优矩阵。华长生制作5定义2 设 ，若A不能经过行置换与相应的列置换 化为其中 和 均为方阵，则称 A 为不可约的，否则称 A 为可约的。定理 若A为严格对角占优矩阵，或不可约的弱对角占优矩阵，则解方程组 的 J 法关于任意初始向量收敛。 设 ，这里只给出A为严格对角占优阵时的证明。对 J法，迭代矩阵 ，易得。由A的严格对角占优性，得到 ，所以 J 法收敛。证华长生制作6与雅可比法相应的高斯-赛德尔迭代法在J 法中，计算 时，分量 已经算出，所以可考虑在J法中的求和分成两部分，从而得到与雅可比迭代法相应 的高斯-赛德尔迭代法为这就是Gauss-Seidel 迭代法，简称
3、GS 法。华长生制作7将上式写成距阵形式整理为简单迭代的形式其中迭代矩阵 和向量 为Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法的分量形式供计算编程用，它们的矩阵形式供研究迭代序列是否收敛等理论分析用。华长生制作8例 用法和法分别求解方程组。解 用 J 法计有华长生制作9用 GS 法计算有取 ，J 法迭代4次的计算结果是GS 法迭代4次的计算结果是精确解为（1，1，1），从计算结果看，本例用 GS 法显然比用 J 法收 敛快，但并不是任何时候GS法都比J法快，甚至有J法收敛而GS法不收 敛的例子。华长生制作10显然，高斯-赛德尔法关于任意初始向量收敛的充要条件是 另外与雅可比法相仿
4、有如下结论：定理 若A为严格对角占优矩阵，或不可约的弱对 角占优矩阵，则解 方程组Ax=b 的G S 法关于任意初始 向量收敛。 华长生制作11例.判别下列方程组用J法和G-S法求解是否收敛解:(1) 求Jacobi法的迭代矩阵华长生制作12因此不能用范数判断所以即Jaobi迭代法收敛(2) 求Gauss-Seidel法的迭代矩阵华长生制作13所以Gauss-Seidel迭代法发散华长生制作14无论是解线性方程组的Jacobi迭代法和GS迭代法都涉及到收敛速度问题如何加快迭代法的速度呢？如何改善迭代法的适用范围呢？逐次超松弛（SOR）迭代法华长生制作15考虑解线性方程组的Gauss-Seide
5、l迭代法-(1)华长生制作16令因此-(2)华长生制作17上式称为逐次超松弛法(SOR迭代法),逐次超松弛法(SOR迭代法)的矩阵形式为两边乘上D，整理为简单迭代法的形式为华长生制作18令华长生制作19SOR法化为G-S迭代法G-S法为SOR法的特例, SOR法为G-S法的加速例1.用G-S法和SOR法求下列方程组的解,要求精度1e-6,取初值（0，0，0）华长生制作20解:(1)G-S迭代法华长生制作21gauss_seidel.mx,k=gauss_seidel(a,b,1,1,1,1e-6)1 1 10.7500000 0.3750000 1.50000000.5625000 0.531
6、2500 1.54166670.6510417 0.5963542 1.61458330.7018229 0.6582031 1.6727431 .0.9999933 0.9999923 1.99999260.9999943 0.9999935 1.99999370.9999952 0.9999944 1.9999946k = 71x= 0.999995 0.999994 1.999995满足精度的解迭代次数为71次华长生制作22(1)SOR迭代法1 1 10.6375000 0.0121875 1.31990630.2004270 0.3717572 1.31228050.6550335 0
7、.5340119 1.69228480.7058468 0.7733401 1.7771932 .0.9999990 0.9999976 1.99999910.9999984 0.9999993 1.99999890.9999998 0.9999994 1.99999980.9999996 0.9999998 1.9999997k = 24x= 1.000000 1.000000 2.000000满足精度的解迭代次数为24次sor.mSOR法的收敛速度比G-S法要快得多华长生制作23SOR法都收敛吗？1.SOR迭代法收敛的充要条件是对于SOR迭代法(7),有如下结论另外,松弛因子的选取是很困难的,一般采用试算进行华长生制作24
