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1、数学思想与数学文化之第三讲数学思想方法介绍 内 容一.前言二.中学数学中常用的数学方法三.几类常用的数学思想方法介绍1.演绎法或公理化方法2.类比法3.归纳法与数学归纳法4.数学构造法5.化归法6.数学模型方法附：参考文献一. 前 言 数学思想-对数学的知识内容和所使用的方法的本 质认识，它是从某些具体数学认识过程中提炼和概括，而 在后继的认识活动中被反复证实其正确性，带有一般意义 和相对稳定的特征，是对数学规律的理性认识。 数学方法-以数学为工具进行科学研究的方法，即用数学的语言表达事物的状态、关系和过程，经过推导、运 算与分析，以形成解释、判断和预言的方法。 二者关系- 数学思想直接支配着
2、数学的实践活动。 数学方法是数学思想具体化的反映。简言之，数学思想是 数学的灵魂，数学方法是数学行为，数学思想对数学方法 起指导作用。数学方法具有三个基本特征：（1）高度的抽象性和概括性；（2）精确性，即逻辑的严密性及结论的确定性；（3）应用的普遍性和可操作性。数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用 ：（1）提供简洁精确的形式化语言；（2）提供数量分析及计算的方法；（3）提供逻辑推理的工具。数学研究的基本方法 数学抽象方法 数学模型方法 数学研究活动的一般方法数学中的逻辑方法 数学定义方法 逻辑划分方法 数学公理化方法数学解题的思维方法 数学推理方法（演绎法、归纳法、类比法） 分析法
3、与综合法 数学实验方法 数形结合方法 关系影射反演原则（换元法、初等变换方法）二. 中学数学中常用的数学方法数学证明的重要方法 反证法与同一法 数学归纳法中学数学中几种常用的具体方法 待定系数法 配方法 基本量法 递推法有人这样给数学思想方法分类： 1. 操作性思想方法例如：换元法、配方法、待定系数法、割补法、构 造法等； 2. 逻辑性思想方法例如：抽象、概括、分析、综合、演绎等； 3 .策略性思想方法例如：方程与函数、化归、猜想、数形结合、整体 与系统等。事实上，数学思想方法是有层次的。操作性思想方法、逻辑性思想方法、策略性思想方法，从思维的角度上看，层次是逐渐上升的。三. 几类常用的数学思
4、想方法介绍1. 演绎法或公理化方法（逻辑思维方法 ） 演绎法是由一般到特殊的推理，它在逻辑上的依据 是三段论。演绎法的重要性：1）数学理论都是用演绎推理组织 起来的；2）它能超越技术与仪器的限制。演绎法的基本构件：定义（概念）、公理和定理。公理化方法的例子：欧几里德几何原本，希尔伯特几何学基础柯尔莫哥洛夫概率论基础ZFC公理化集合论2.类比法（数学创造发现的方法）类比是一种相似，即类比的对象在某些部分或关系上 相似。三个层次：描述、说理、数学上的类比。数学上的类比：两个系统，如果它们各自的部分之间 ，可以清楚地定义一些关系，在这些关系上，它们具有 共性，那么，这两个系统就可以类比。 例子：1）
5、线段、三角形、四面体2）Newton-Leibniz公式、Green公式、Gauss公式3）同态与同构4）数的概念的扩充5）多项式理论与整数理论的类比整数、 、带余除法算术基本定理多项式 、 、 带余除法 代数基本定理3. 归纳法（逻辑学中的方法）与数学归纳法（数学中的一般方法）归纳就是从特殊的、具体的认识推进到一般的认识的 一种思维方法。归纳法是实验科学最基本的方法。归纳法的特点：1）立足于观察和实验；2）结论具有猜 测的性质；3）结论超越了前提所包含的内容。归纳法用于猜测和推断。例子：1) Fermat数(1640年，Fn=22n+1, Fermat素数：3，5，17，257，65537)
6、；2)Goldbach猜想（1742年）。数学归纳法：P(n)是一个含有自然数n的命题，如果（1）P(n) 当n=1时成立；（2）若P(k)成立的假定下，则P(k+1)也成立。 那么P(n)对任意自然数n都成立。这两个步骤，（1）称为归纳起点，（2）称为归纳推断。数学归纳法是一种完全归纳法，其应用范围及其广泛。数学归纳法用于证明。例子：证明数列 单调增加有上界。，。数学思想方法介绍(续)数学思想与数学文化之第三讲4数学构造法（基本数学方法）数学构造法-数学中的概念或方法按固定的方式 经有限步骤能够定义或实现的方法。应用-构造概念、图形、公式、算法、方程、函 数、反例、命题等。构造法在数学中的地
7、位不仅古老，而且重要。 例子1）求一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0)的根。2）求两个正整数最大公因数的欧几里德辗转相除法。3）勾股定理（毕氏定理）。宋刻本周髀算经， （上海图书馆藏）第24届“国际数学家大会 ”会标例子：4）导数的概念。5）定积分的概念。练习：1. 求证在任何两个有理数a和b之间一定还有有理数。2. 有没有2000个连续自然数，它们都是合数？3. 证明：素数的个数是无穷的。4. 求证：对于定义域包含于实数集且关于原点对称的任何函数f(x) 都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和。5. 化归法（基本数学方法）（ 1)特殊化与一般化，2)关系映射反演方法 ）化归原则是指把
8、待解决的问题，通过某种转化过 程，归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题 中去，最终求得原问题的解答的一种手段和方法。其过程就是将一个问题由繁化简，由难化易，由 复杂化简单，由未知化已知。化归有三个要素：化归的对象，化归的目标，化 归的手段。使用各种化归方法时一般应遵循下面几个原则：a)熟悉化原则b)简单化原则c)和谐化原则实行化归的常用方法有：特殊化与一般，关系映射反 演（RMI），分解与组合1）特殊化与一般化依据（1）若命题P在一般条件下为真，则在特殊条件下P也为真；（2）若命题P在特殊条件下为假，则在一般条件下P也为假。特殊化方法-在研究一个给定集合的性质时，先研究某些个 体或子集的性
9、质，从中发现每个个体都具有的特性后，再猜想 给定集合的性质，最后用严格的逻辑推理论证猜测的正确性；一般化方法-在研究一个给定集合的性质时，先研究包含该 集合的较大集合的性质，从中发现较大集合所具有的性质，再 根据特殊化与一般化的依据（1）推出所要证明的命题。2）关系映射反演（RMI）方法 基本思想：当处理某问题甲有困难时，可以联想适当 的映射，把问题甲及其关系结构R，映成与它有一一对应关系，且易于考察的问题乙，在新的关系结构中问 题乙处理完毕后，再把所得到的结果，通过映射反演 到R，求得问题甲的结果。问题甲问题乙问题甲的解问题乙的解映射映射-1RMI 方法是一种矛盾转化的方法，它可以化繁为简，
10、化难为易，化生为熟，化未知为已知，因而是数学中应用非常广泛的 一种方法，数学中许多方法都属于RMI方法，例如，分割法、函数法、坐标法、换元法、复数法、向量法、参数法等。RMI方法不仅是数学中应用广泛的方法，而且可以拓展到人文社会科学中去。例如，哲学家处理现实问题的思想方法，就 可以看作RMI方法的拓展 （客观物质世界-哲学家的思维-哲学理论体系-解决客观世界的现实问题）。例1. 证明方程(m+1)x4-(3m+3)x3-2mx2+18m=0，对任何实数m都有一个共同的实数解，并求此实数解。例2.计算p=a1/3b1/7 数值。（对数）（原像关系-映像关系-求得映像的值-求得原像的值）例3.用解
11、析几何方法处理平面几何问题。（几何关系问题-代数关系问题-求出某些代数关系-确定某种 几何关系）6. 数学模型方法（基本数学方法 ）数学模型（MM）-针对或参照某种事物系统的特征 或数量相依关系，采用形式化数学语言，概括地或近 似地表述出来的一种数学结构。数学模型方法（MM方法）-借助数学模型来揭示对 象本质特征和变化规律的方法。分类：1）由来-理论MM，经验MM2）使用工具-微分方程MM、概率MM3) 涉及变量的特征-离散MM、连续MM；线性MM、非线性MM ；确定MM、随机MM、模糊MM例1 哥尼斯堡七桥问题（确定性模型）以上网络中哪一个是可以遍历的( 即一笔而不重复地画成)？ 你能找到穿
12、经每个门各一次且笔不离纸的通道吗？试证明你的结论 （摘自数学趣闻集锦,T帕帕斯）现实原型七桥问题数学模型一笔画问题无 解（一次过桥不可能）无 解（一笔画不可能）欧拉解决哥尼斯堡七桥问题的思想方法框图例2. 普丰投针实验1777年法国科学家布丰提出的一种 计算圆周率的方法随机投针法， 即著名的布丰投针问题。这一方法的 步骤是：1) 取一张白纸，在上面画上许多 条间距为d的平行线；2) 取一根长度为l（ld） 的针， 随机地向画有平行直线的纸上掷n次 ，观察针与直线相交的次数，记为m ；3）计算针与直线相交的概率 MM构造过程a）对现实原型，分析其对象与关系结构的本质属性，以便确定MM 的类别；b
13、）要确定所研究的系统并抓住主要矛盾；c）要进行数学抽象。 MM的特点a）在MM上应具有严格推导（逻辑推理）的可能性以及导出结论的确定性；b）MM 相对于较复杂的现实原型来说，应具有化繁为简、化难为易的特点。数学建模的过程：模型准备-模型假设-模型建立-模型求解-模型检验-模型应用 成功的MM:a）解释已知现象；b）预言未知现象；c）被实践所证明。数学模型的意义：a)对所研究的对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果；b)任何一项数学的应用，主要或首先就是数学模型方法的应用。精彩范例：力学：牛顿万有引力定律；电磁学：麦克斯韦方程组；化学：门捷列夫元素周期表；生物学：孟德尔遗传定律数学模型应
14、用日益广泛的原因：a) 社会生活的各个方面日益数量化；b) 计算机的发展为精确化提供了条件；c) 很多无法试验或费用很大的试验问题，用数学模型进行研究是一 条捷径。附：参考文献1 王子兴数学方法论中南工业大学出版社20022 徐利治数学方法论选讲（第三版）华中理工大学出版社20003 姜启源等数学模型（第三版）高等教育出版社2003几何概率是十九世纪末新发展起来的一门学科，使很多 概率问题的解决变得简单而不用运用微积分的知识。然 而，1899年，法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖论” ，矛头直指几何概率概念本身： 在一给定圆内所有的弦中任选一条弦，求该 弦的长度长于圆的内接正三角形边长的概率。
15、从 不同方面考虑，可得不同结果： 由于对称性，可预先指定弦的方向。作垂直 于此方向的直径，只有交直径于1/4 点与 3/4 点 间的弦，其长才大于内接正三角形边长。所有交 点是等可能的,则所求概率为1/2 。 2) 由于对称性，可预先固定弦的一端。仅当弦与过 此端点的切线的交角在60 120 之间，其长才合乎要 求。所有方向是等可能的，则所求概率为1/3 。 3) 弦被其中点位置唯一确定。只有当弦的中点落在半径 缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。中点位置都 是等可能的,则所求概率为1/4。 这导致同一事件有不同概率，因此为悖论。 而此悖论在提出概率公理化后发现根本都不是问题！本节结束谢 谢
