《复变函数积分数学物理方法柯西定理推论及应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数积分数学物理方法柯西定理推论及应用（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数学物理方法李晓红 西南科技大学理学院*n复变函数积分的定义n复变函数积分的性质n柯西定理n柯西积分公式复变函数的积分复变变函数的积积分.积分的定义：说明：(1) 当 是连续函数，且L是光滑曲线时，积分 一定存在；(2) 可以通过两个二元实变函数的线积分来计算.复积分的基本性质(1)若 f(z) 沿L 可积，且 L 由 L1 和 L2 连接而成，则 (2) 常数因子 k 可以提到积分号外，即(3) 函数和（差）的积分等于各函数积分的 和（差），即(4)若积分曲线的方向改变，则积分值改变符号.即其中， L- 为 L 的负向曲线闭曲线的正方向：曲线上点顺此方向沿该曲线前进时，邻近P点曲线内部始终位
2、于P点的左方0xy111+i0xy111+i解法一例 计算 其中 C 以 z0为中心，r为半径的正方向，n 为整数解： 的方程为 所以：结论：与积分路线的圆周中心及半径无关柯西定理如果函数 在单连通区域 内处处解析那么函数 沿 内任何一条封闭曲线 的积分为零 柯西定理：如果曲线 是区域的边界， 在 内及 上解析即在闭区域 上解析则柯西古萨积分定理注：经修改后的柯西古萨积分定理成立的条件可以弱化为在区域D内解析，在边界上连续以后使用中，当满足此条件时柯西积分定理仍然成立这个定理是柯西(Cauchy)于1825年发表的，古萨(Goursat)于1900年提出了修改，故又称为柯西古萨定理.柯西定理推
3、论这个定理可用来计算周线内部有奇点 的积分!柯西定理2柯西积分公式有界区域的单连通柯西积分公式定理 （柯西积分公式） 如果 在有界区域D处处解析，L为D内的任何一条正向简单闭曲线，且其内部全含于D, 为L内的任一点，那么称为柯西积分公式。柯西积分公式意义:对于解析函数，只要知道了它在区域边界上 的值，那么通过上述积分公式，区域内部点上的 值就完全确定了结论：如果两个解析函数在区域的边界上处处相等，则它们在整个区域上也相等设 f (z) 在区域 D 内解析，在边界 C 上连续，则1. 任意阶导数 在区域 D 内函数 f (z) 的任意阶导数存在，且： 2. Morera 定理：设函数 f (z)
4、 在区域 D 内连续，且沿区域内任意围线积分为零，则该函数在区域 D 内解析。柯西积分公式的重要推论例 计算 其中 C 以 z0为中心，r为半径的正方向，n 为整数1y1C1OLx1C2解题思路1y1C1OLx1C2计算积分【解】（1）注意到 在复平面内解析，而 -i 在积分环路C内，由柯西积分公式得（2）注意到函数 在 内解 析，而 i 在 内， 由柯西积分公式得【解】根据柯西积分公式，得到故得到 任何两个原函数相差一个常数不定积分的定义:定理(复积分的Newton-Leibnitz公式)例题例2 计算积分 【解法1】 在整个复平面上解析，且例3 计算积分可用分部积分法得【解】 由于 在复平面内处处解析，复变函数积分计算方法总结方法一方法二方法三方法四作 业nP31：2-10（任选1个）；nP31：2-11（任选2个）； nP32：2-12；
