数学建模常用方法介绍

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1、数学建模常用方法介绍刘兵兵 安庆师范学院数学与计算科学学院 2008-11-06我校十年来参加数学建模竞赛的 基本情况简介l 1983年，数学建模作为一门独立的课程 进入我国高等学校，在清华大学首次开设。 1987年高等教育出版社出版了国内第一本 数学模型教材。20多年来，数学建模工作 发展的非常快，许多高校相继开设了数学建 模课程，我国从1989年起参加美国数学建模 竞赛，1992年国家教委高教司提出在全国普 通高等学校开展数学建模竞赛，旨在“培养学 生解决实际问题的能力和创新精神，全面提 高学生的综合素质”。l 我校在1998年之前就为数学与应用数学 专业学生开设了数学建模课程（当时由叶淼

2、 林教授主讲，后改为苏本跃博士主讲），并 于1998年参加全国大学生数学建模竞赛。在 2007年扩大到信息与计算科学专业（刘兵兵 讲师主）。同年，又把数学建模课增设为全 校公选课，授课对象为四个院系的学生,即： 数学与计算科学学院、计算机与信息学院、 物理与电气工程学院和经济与管理学院，授 课教师共有4位不同方向的数学教师。同时还 指导本科生撰写数学建模方向的毕业论文。十多年来，数学建模课程的教 学 使学生在知识的渗透和交叉方面,使 学 生和教师的知识结构得到了更新和完 善,同时也促进了数学学科和其它学 科 的交流。学生应用数学和计算机解决 实际问题的能力得到了提高。学生的 综合素质在毕业论文

3、、读研究生和以 后的工作中充分体现出来。我校在全国大学生数学建模竞赛中 取得了较好的成绩，自从1998年参加比赛 以来，累计共有1队获得国家级一等奖，1 队获得国家级二等奖，2队获得安徽赛区 一 等奖，16队获得安徽赛区二等奖，10队获得安徽赛区三等奖，其余均获得成功参赛 奖。数学建模需要的知识三类最基本的必备知识运筹学（MATLAB or LINDNO/LINGO ）多元统计分析（SPSS）微分方程(MATLAB)数学建模常用的方法类比法量纲分析法差分法变分法图论法层次分析法数据拟合法回归分析法数学规划（线性规划，非线性规划，整数 规划，动态规划，目标规划）数学建模常用的方法机理分析法排队方

4、法对策方法决策方法模糊评判方法时间序列方法灰色理论方法现代优化算法（禁忌搜索算法，模拟退火 算法，遗传算法，神经网络）数学模型分类优化模型微分方程模型统计模型概率模型图论模型决策模型拟合与插值方法问题给定一批数据点（输入变量与输 出变量的数据），需确定满足特定要求 的曲线或曲面插值问题要求所求曲线（面）通过所 给所有数据点数据拟合不要求曲线（面）通过所有 数据点，而是要求它反映对象整体的变 化趋势数据拟合一元函数拟合多项式拟合非线性函数拟合多元函数拟合（回归分析）MATLAB实现函数的确定插值方法一维插值的定义已知n个节点，求任 意点处的函数值。分段线性插值多项式插值 样条插值 y=inter

5、p1(x0,y0,x,method)二维插值节点为网格节点z=interp2(x0,y0,z0,x,y,method) pp=csape(x0,y0,z0,conds,valconds) 二维插值节点为散点z1=griddata(x,y,z,x1,y1) 优化方法优化模型四要素决策变量目标函数（尽量简单、光滑）约束条件（建模的关键）求解方法 （MATLAB,LINDO）优化模型分类线性规划模型（目标函数和约束条件都是线 性函数的优化问题）非线性规划模型（目标函数或者约束条件是 非线性的函数）整数规划（决策变量是整数值得规划问题）多目标规划（具有多个目标函数的规划问题 ）目标规划（具有不同优先级

6、的目标和偏差的 规划问题）动态规划（求解多阶段决策问题的最优化方 法） 优化模型求解无约束规划 fminsearch fminbnd线性规划 linprog非线性规划 fmincon多目标规划（计算有效解） 目标加权、效用函数动态规划（倒向、正向）整数规划（分支定界法、枚举法、LINDO）统计方法（回归分析）回归分析对具有相关关系的现象，根据其关系形 态，选择一个合适的数学模型，用来近似地表示变 量间的平均变化关系的一种统计方法 （一元线性 回归、多元线性回归、非线性回归）回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题： 建立因变量与自变量之间的回归模型（经验公式） 对回归模型的可信度进行检验 判

7、断每个自变量对因变量的影响是否显著 判断回归模型是否适合这组数据 利用回归模型对进行预报或控制 b, bint,r,rint,stats=regress(Y,X,alpha) （线性回归）rstool（x，y，model, alpha）（多元二项式回归）beta,r,J=nlinfit（x，y，model, beta0）（非线性 回归）统计方法（逐步回归分析）逐步回归分析从一个自变量开始，视自变 量作用的显著程度，从大到地依次逐个引入 回归方程当引入的自变量由于后面变量的引入而变得不显 著时，要将其剔除掉 引入一个自变量或从回归方程中剔除一个自变量 ，为逐步回归的一步对于每一步都要进行值检验，

8、以确保每次引入新 的显著性变量前回归方程中只包含对作用显著的 变量这个过程反复进行，直至既无不显著的变量从回 归方程中剔除，又无显著变量可引入回归方程时 为止stepwise(x,y,inmodel,alpha)SPSS,SAS统计方法（聚类分析）聚类分析所研究的样本或者变量之间 存在程度不同的相似性，要求设法找出 一些能够度量它们之间相似程度的统计 量作为分类的依据，再利用这些量将样 本或者变量进行分类系统聚类分析将n个样本或者n个指标 看成n类，一类包括一个样本或者指标 ，然后将性质最接近的两类合并成为一 个新类，依此类推。最终可以按照需要 来决定分多少类，每类有多少样本（指 标）统计方法

9、（系统聚类分析步骤）系统聚类方法步骤：计算n个样本两两之间的距离构成n个类，每类只包含一个样品合并距离最近的两类为一个新类计算新类与当前各类的距离（新类与当 前类的距离等于当前类与组合类中包含 的类的距离最小值），若类的个数等于 1，转5，否则转3画聚类图决定类的个数和类。统计方法（判别分析）判别分析在已知研究对象分成若干类型，并已取 得各种类型的一批已知样品的观测数据，在此基础 上根据某些准则建立判别式，然后对未知类型的样 品进行判别分类。距离判别法首先根据已知分类的数据，分别计算 各类的重心，计算新个体到每类的距离，确定最短 的距离（欧氏距离、马氏距离）Fisher判别法利用已知类别个体的

10、指标构造判别 式（同类差别较小、不同类差别较大），按照判别 式的值判断新个体的类别Bayes判别法计算新给样品属于各总体的条件概 率，比较概率的大小，然后将新样品判归为来自概 率最大的总体 与模糊数学相关的问题（一）模糊数学研究和处理模糊性现象的数 学 （概念与其对立面之间没有一条明 确的分界线）与模糊数学相关的问题（一）模糊分类问题已知若干个相互之间不分 明的模糊概念，需要判断某个确定事物用 哪一个模糊概念来反映更合理准确模糊相似选择 按某种性质对一组事物或 对象排序是一类常见的问题，但是用来比 较的性质具有边界不分明的模糊性与模糊数学相关的问题（二）模糊聚类分析根据研究对象本身的属性 构造

11、模糊矩阵，在此基础上根据一定的隶 属度来确定其分类关系 模糊层次分析法两两比较指标的确定模糊综合评判综合评判就是对受到多个 因素制约的事物或对象作出一个总的评价 ，如产品质量评定、科技成果鉴定、某种 作物种植适应性的评价等，都属于综合评 判问题。由于从多方面对事物进行评价难 免带有模糊性和主观性，采用模糊数学的 方法进行综合评判将使结果尽量客观从而 取得更好的实际效果 图论方法（一）最短路问题两个指定顶点之间的最短路径给出了一个连接若干 个城镇的铁路网络，在这个网络的两个指定城镇间， 找一条最短铁路线 （Dijkstra算法 ）每对顶点之间的最短路径 （Dijkstra算法、Floyd算法 ）

12、最小生成树问题连线问题欲修筑连接多个城市的铁路设计一个线路 图，使总造价最低（prim算法、Kruskal算法 ）图的匹配问题人员分派问题：n个工作人员去做件n份工作，每人适 合做其中一件或几件，问能否每人都有一份适合的工 作？如果不能，最多几人可以有适合的工作？(匈牙 利算法)图论方法（二）遍历性问题中国邮递员问题邮递员发送邮件时，要 从邮局出发，经过他投递范围内的每条街 道至少一次，然后返回邮局，但邮递员希 望选择一条行程最短的路线最大流问题运输问题最小费用最大流问题在运输问题中，人们总是希望在完成运输 任务的同时，寻求一个使总的运输费用最 小的运输方案 现代优化算法80年代初开始兴起的启

13、发式算法，包 括 禁忌搜索（tabu search），模拟退火 （simulated annealing, SA），遗传算法 （genetic algorithm, GA），蚁群算法 （ant colony algorithm, ANA），人工神经 网络（neural network, NN）等等，用于解决大量的实际应用问题。遗传算法基于生物遗传学和进化论所构造的 一 类搜索算法。对生物进化过程进行了数学 仿真，体现了自然界中“物竞天择、适者 生 存”的进化过程。l遗传算法把问题的解表示成个体（染色 体），并基于适应值来选择染色体，使 适应性好的染色体有更多的繁殖机会。 通过染色体群一代一代的

14、进化，获得适 应环境的最优解。Holland, Adaptation in Natural and Artificial Systems, 1975 生物遗传概念与遗传算法l个体（individual）问题的解染色体（chromosome）：解的编码基因（gene）：解中各分量的值l适应性（fitness）适应函数值l群体（population）选定的一组解生物遗传概念与遗传算法l种群（reproduction）根据适应函数值选取的一组解l交配（crossover）通过交配原则产生一组新解的过程l变异（mutation）编码的某一个分量发生变化的过程l适者生存算法停止时，最有可能存活的是最优解

15、遗传算法的基本要素1.编码与译码 编码：将问题结构变换为位串形式编码表示 的 染色体译码：将染色体表示变换为原问题结构。 2.适应度函数 对染色体适应性进行度量的函数。通过适应 度函数来决定染色体的优劣程度，体现了自 然进化中的优胜劣汰原则。适应度函数的取 值大小与求解问题对象的意义有很大的关系 。对优化问题，适应度函数就是目标函数。遗传算法的基本要素3. 遗传操作 简单遗传算法的遗传操作主要有三种:选择(selection)、交叉 (crossover)、变异(mutation)。改进的遗传算法大量扩充了遗传操作。 (1) 选择，也叫复制从群体中按个体的适应度函数值选择出较适应环境的个体 ，

16、 使适应度高的个体繁殖下一代的数目较多，而适应度较小的个 体，繁殖下一代的数目较少,甚至被淘汰。 轮盘赌(roulette wheel)模型：个体被选择的概率等于其适应度值与群体总适应 度值之比。例： Fitness 值：2200 1800 1200 950 400 100遗传操作（2）交叉(Crossover)将被选中的两个个体的基因链按一定概率进行 交 叉，生成两个新的个体，交叉位置是随机的。 分 为单点交叉、双点交叉、均匀交叉.单点交叉操作的简单方式是将两个个体作为父母 个 体，将两者的部分基因码值进行交换。 例: 遗传操作(3) 变异(Mutation)在被选中的个体中，将其基因链的各位按 概 率进行异