数学文化中的数学思维和方法

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1、数学文化 四川省内江师范学院 数学系 王新民三大逻辑传统三大逻辑传统希腊逻辑传统希腊逻辑传统三段论三段论 中国逻辑传统中国逻辑传统推类推类 印度逻辑传统印度逻辑传统因明论因明论希腊逻辑传统希腊逻辑传统三段论三段论亚里士多德三段论：亚里士多德三段论：大前提：所有人都是要死的；大前提：所有人都是要死的；小前提：苏格拉底是人；小前提：苏格拉底是人；结结 论：所以苏格拉底是要死的。论：所以苏格拉底是要死的。印度逻辑传统印度逻辑传统因明论因明论印度新因明的推理形式。有三个部分（印度新因明的推理形式。有三个部分（“ “支支” ”） 组成，即：宗（论题目）、因（理由）、喻组成，即：宗（论题目）、因（理由）、

2、喻 （例证）。（例证）。 宗：此处有热；宗：此处有热；因：由于有火的缘故；因：由于有火的缘故；喻：有火的地方都有热。喻：有火的地方都有热。 宗：苏格拉底是要死的。宗：苏格拉底是要死的。 因：人故。因：人故。 同喻：有某个人是要死的，如张三。同喻：有某个人是要死的，如张三。 异喻：不死的都不是人。异喻：不死的都不是人。中国逻辑传统中国逻辑传统推类推类n n推类例推类例1 1：关关雎鸠，在河之州。窈窕淑女，：关关雎鸠，在河之州。窈窕淑女， 君子好逑。（君子好逑。（诗经诗经）n n推类例推类例2 2：“ “绘事后素绘事后素” ”是孔子在是孔子在论语论语 八佾八佾 中说的一句话：子夏问曰：中说的一句话

3、：子夏问曰：“巧笑倩兮，美巧笑倩兮，美 目盼兮，素以为绚兮。目盼兮，素以为绚兮。 何谓也？何谓也？” ”子曰：子曰：“ “绘绘 事后素。事后素。” ”曰：曰：“ “礼后乎？礼后乎？” ”子曰：子曰：“ “起予者商起予者商 也！始可与言也！始可与言诗诗已矣。已矣。” ”中国逻辑传统中国逻辑传统推类推类n n推类例推类例3 3：论语：论语 述而述而载载: :“ “子曰子曰: : 不愤不启不愤不启, , 不悱不发。举一隅而不以三隅反不悱不发。举一隅而不以三隅反, ,则不复也则不复也 。” ”n n推类例推类例4 4：周易周易 说卦说卦有有: :“ “乾为天乾为天, ,为圆为圆, ,为为 君君, ,为

4、父为父, ,为玉为玉, ,为金为金, ,为寒为寒, ,为冰为冰, ,为大赤为大赤, ,为良马为良马, , 为老马为老马, ,为瘠马为瘠马, , 为驳马为驳马, ,为木果。为木果。” ”周易周易 说说 卦卦有有“ “坤为地坤为地, ,为母为母, ,为臣为臣, ,为釜为釜, ,为吝啬为吝啬, ,为均为均, , 为子母牛为子母牛, ,为大兴为大兴, ,为文为文, ,为众为众, ,为柄为柄, ,其于地也为其于地也为 黑。黑。” ”中国逻辑传统中国逻辑传统推类推类n n推类例推类例5 5：墨经：墨经小取小取:(1):(1)白马白马, ,马也马也; ;乘白乘白 马马, ,乘马也乘马也; ;获获, ,人也人

5、也; ;爱获爱获, ,爱人也。爱人也。(2)(2)白马白马, ,马马 也也; ;乘白马乘白马, ,乘马也乘马也; ;盗人盗人, ,人也人也; ;爱盗爱盗, ,爱人也。爱人也。n n推类例推类例6 6：唐律疏议唐律疏议对对“ “举重以明轻举重以明轻” ”的解的解 释：释：“ “依依贼盗律贼盗律：夜无故入人家，主人登：夜无故入人家，主人登 时杀之，勿论。假有折伤，灼然不坐时杀之，勿论。假有折伤，灼然不坐” ”。n n推类推类依照类的同、异关系进行的推论被称依照类的同、异关系进行的推论被称 为为“ “推类推类” ”第四章第四章 数学文化中的思维与方法数学文化中的思维与方法演绎推理演绎推理归纳推理归纳

6、推理类比推理类比推理统计推理统计推理演绎推理演绎推理推理模式推理模式: :一般一般 特殊特殊世界上第一个演绎体系世界上第一个演绎体系欧几里得欧几里得几何原本几何原本 柏拉图柏拉图 “ “理念世界理念世界” ”亚里斯多德亚里斯多德 “ “三段论三段论” ”演绎推理演绎推理 公理化思想对人类思维的影响公理化思想对人类思维的影响爱因斯坦：爱因斯坦：一切科学的伟大目标，即要从尽一切科学的伟大目标，即要从尽 可能少的假说或者公理出发，通过逻辑的演绎，可能少的假说或者公理出发，通过逻辑的演绎， 概括尽可能多的经验事实。概括尽可能多的经验事实。欧几里得欧几里得的的几何原本几何原本、牛顿牛顿的的自然哲学自然哲

7、学 的数学原理的数学原理、马克思马克思的的资本论资本论、杰文斯杰文斯的的 政治经济学原理政治经济学原理、瓦尔拉斯瓦尔拉斯的的纯粹经济学纯粹经济学 要义要义、斯宾诺沙斯宾诺沙的的论理学论理学、洛克洛克的的人类人类 理性论理性论、贝可莱贝可莱的的人类知识原理人类知识原理、休谟休谟的的 人性论人性论和和人类的理解研究人类的理解研究、边沁边沁的的道道 德与立法原理理论德与立法原理理论、穆勒穆勒的的人性分析人性分析等。等。演绎推理演绎推理公理化思想对人类思维的影响公理化思想对人类思维的影响西尔伯特：西尔伯特：“ “的确，不管在哪个领域，对的确，不管在哪个领域，对 于任何严正的研究精神来说，公理化方法于任

8、何严正的研究精神来说，公理化方法 都是并且始终是一个合适的不可或缺的助都是并且始终是一个合适的不可或缺的助 手；它在逻辑上是无懈可击的，同时也是手；它在逻辑上是无懈可击的，同时也是 富有成果的；因此它保证了研究的完全自富有成果的；因此它保证了研究的完全自 由。在这个意义上，用公理化进行研究就由。在这个意义上，用公理化进行研究就 等于用已掌握了的东西进行思考。早年没等于用已掌握了的东西进行思考。早年没 有公理化方法的时候，人们只能素朴地把有公理化方法的时候，人们只能素朴地把 某些关系作为信条来遵守，公理化的研究某些关系作为信条来遵守，公理化的研究 方法则可去掉这种素朴性而使信仰得到利方法则可去掉

9、这种素朴性而使信仰得到利 益益” ”几何原本几何原本的公理体系的公理体系五个公设：五个公设： 1.1.过相异两点，能作且只能作一直线（直线公理）。过相异两点，能作且只能作一直线（直线公理）。 2.2.线段线段( (有限直线有限直线) )可以任意地延长。可以任意地延长。 3.3.以任一点为圆心、任意长为半径，可作一圆以任一点为圆心、任意长为半径，可作一圆( (圆公理圆公理) )。 4.4.凡是直角都相等凡是直角都相等( (角公理角公理) )。 5.5.两直线被第三条直线所截，如果同侧两内角和小於两个两直线被第三条直线所截，如果同侧两内角和小於两个 直角，直角， 则两直线作延长时在此侧会相交。则两

10、直线作延长时在此侧会相交。几何原本几何原本的公理体系的公理体系五个公理：五个公理：1.1.跟同一个量相等的两个量相等；即若跟同一个量相等的两个量相等；即若 a=c a=c 且且 b=cb=c， 则则 a = ba = b（等量代换公理）。等量代换公理）。 2.2.等量加等量，其和相等；即若等量加等量，其和相等；即若 a=b a=b 且且 c=dc=d，则则 a+c a+c = b+d= b+d（等量加法公理）。等量加法公理）。 3.3.等量减等量，其差相等；即若等量减等量，其差相等；即若 a=b a=b 且且 c=dc=d，则则 a-c a-c = b-d= b-d（等量减法公理）。等量减法公

11、理）。 4.4.完全叠合的两个图形是全等的（移形叠合公理）。完全叠合的两个图形是全等的（移形叠合公理）。 5.5.全量大於分量，即全量大於分量，即 a+baa+ba（全量大於分量公理）。全量大於分量公理）。自然科学的数学原理自然科学的数学原理的公理的公理 化展开模式化展开模式n n8 8个定义：个定义：物质的量，运动的量，物体固有的力，外力物质的量，运动的量，物体固有的力，外力 ，向心力，向心力的绝对度量，问心力的加速度，问心，向心力，向心力的绝对度量，问心力的加速度，问心 力的运动度量。力的运动度量。n n公理（公理（3 3条）：条）：n n11牛顿第一定律：每个物体都保持其静止或匀速直线牛

12、顿第一定律：每个物体都保持其静止或匀速直线 运动的状态，除非有外力作用于它迫使改变那个状态。运动的状态，除非有外力作用于它迫使改变那个状态。n n22牛顿第二定律：运动的变化正比于外力，变化的方牛顿第二定律：运动的变化正比于外力，变化的方 向沿外力作用的直线方向。向沿外力作用的直线方向。n n33牛顿第三定律：每一种作用都有一个相等的反作用牛顿第三定律：每一种作用都有一个相等的反作用 ，或者两个物体间的相互作用总是相等的而且指向相反，或者两个物体间的相互作用总是相等的而且指向相反 。n n六个基本定理：六个基本定理：n nl l力的平行四边形法则：二力共同作用于一物力的平行四边形法则：二力共同

13、作用于一物 体时，此物体沿二力组成的平行四边形的对角线体时，此物体沿二力组成的平行四边形的对角线 运动；运动所需的时间与它分别受到这两个力作运动；运动所需的时间与它分别受到这两个力作 用时沿平行四边形两边运动的时间相同。用时沿平行四边形两边运动的时间相同。n n2 2力的三角形法则：沿力的三角形法则：沿ADAD的力可由沿的力可由沿ABAB的力的力 与沿与沿BDBD的力合成；同样沿的力合成；同样沿ADAD的力也可分解为两的力也可分解为两 个任意的沿个任意的沿ABAB的力与沿的力与沿BDBD的力。的力。n n3 3运动（动量）守恒，即在物体互相碰撞时，运动（动量）守恒，即在物体互相碰撞时， 各方向

14、运动（动量）的总和不变。各方向运动（动量）的总和不变。n n4 4二物体或多物体体系的公共重心，在无外力二物体或多物体体系的公共重心，在无外力 作用时，保持静止或匀速直线运动，而不以体系作用时，保持静止或匀速直线运动，而不以体系 内的物体的作用而改变其状态。内的物体的作用而改变其状态。n n5 5当某空间静止或匀速直线运动时，该空间内当某空间静止或匀速直线运动时，该空间内 所有物体的运动不受影响。所有物体的运动不受影响。n n6 6不管物体之间以任何方式运动，如果有相等不管物体之间以任何方式运动，如果有相等 的加速力以平行的方向对之发生作用，则物体之的加速力以平行的方向对之发生作用，则物体之

15、间仍继续以相同的方式运动着，就像没有受到这间仍继续以相同的方式运动着，就像没有受到这 个力的作用一样。个力的作用一样。n n全书共全书共8888个定理。个定理。公理化思想对人类思维的影响公理化思想对人类思维的影响独立宣言独立宣言 美国美国 17761776年年在人类历史事件的进程中，当一个民在人类历史事件的进程中，当一个民 族必须解除其与另一个民族之间迄今所存族必须解除其与另一个民族之间迄今所存 在着的政治联系，而在世界列国之中取得在着的政治联系，而在世界列国之中取得“ “ 自然法则自然法则” ”和和“ “自然神明自然神明” ”所规定给他们的所规定给他们的独独 立与平等立与平等的地位时，就有一种真诚的尊重的地位时，就有一种真诚的尊重 人类公意的心理，要求他们一定要把那些人类公意的心理，要求他们一定要把那些 迫使他们不得已而独立的原因宣布出来。迫使他们不得已而独立的原因宣布出来。 独立宣言独立宣言 美国美国 17761776年年我们坚信这些不言而喻的真理：我们坚信这些不言而喻的真理：人人生而平人人生而平 等等，他们都从他们